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基于神经网络的变厚齿轮RV减速器动态优化设计

吴俊飞 李瑰贤 李华敏
摘要：利用BP神经网络的高度非线性映射能力，建立了变厚齿轮ＲＶ减速器设计变量与其动态参数之间的映射关系，解决了动态优化设计中目标函数难以建立的难题，使复杂的动态优化问题转化为一个简单的普通优化问题，为在系统设计阶段就能够得到具有良好动态特性的结构方案提供了一种新途径。

关键词：神经网络；映射；ＲＶ减速器；动态优化
中图分类号：ＴＧ１３２．４１ 文献标识码：Ａ

工业机器人是一种高精密的机械产品，其关节传动装置动态性能的好坏，直接决定机器人的工作性能，因此，对驱动机器人关节的新型装置——变厚齿轮ＲＶ减速器的结构进行动态优化设计，使其具有良好的动态特性，以满足精密机器人生产的需要，具有现实的意义。
一般情况下，在进行机械产品结构设计时，对动态特性考虑得不多，最多只是根据经验对关键部位采取一些措施，效果也很不理想。这种设计方法对于像变厚齿轮ＲＶ减速器这种对动态性能有严格要求的机械系统来说已不太适用，因此，为了能够在设计阶段就能获得具有良好动态特性的设计方案，利用计算机对这些结构进行动态优化设计就变得非常重要。对复杂机械系统进行动态优化设计，关键问题是其目标函数的建立。从数学原理上看，机械结构振动系统的设计变量与其动态特性参数之间的关系，实际上是一种高度非线性的映射关系，无法用一个简单的数学函数来表示，因此其目标函数很难建立【１】。
人工神经网络是最近发展起来的一门新兴学科，由于其独特的结构和处理信息的方法，使其在许多实际应用领域中取得了显著的成效，能够解决一些传统方法极难求解的问题。人工神经网络模型是由大量神经元互连而成的网络，具有极强的非线性映射功能，是一种描述和处理非线性关系的有力数学工具【２～４】，因此，可以通过神经网络实现机械系统设计变量与其动态特性参数之间的映射，并利用该神经网络模型建立目标函数，从而使一个复杂的动态优化问题转化为一个相当简单的优化问题，这样可以利用数学规划法自动实现动态优化设计。根据这一思想，我们利用ＢＰ神经网络尝试着对变厚齿轮ＲＶ减速器系统进行了结构动态优化设计。
１． 设计变量的选取
在确定设计变量时，由于是动态优化设计，所以应将与计算减速器动态特性参数有关的各零部件的尺寸参数作为设计变量。有关的设计变量共有２０个，分别为输入轴直径、输入轴长度、太阳轮齿数、太阳轮模数、太阳轮齿宽、行星轮齿数、行星轮齿宽、变厚外齿轮齿数、变厚外齿轮模数、变厚外齿轮齿宽、行星支架的等效直径、行星支架的等效宽度、支架侧板的等效直径、支架侧板的等效宽度、另外６个设计变量是双偏心轴的参数,分别为、、、、、，其含义参见图１。

图1 双偏心轴设计变量
设计变量为：

（1）
2.神经网络训练样本和权值的确定
将上述的设计变量作为BP网络的输入量，将经过动态分析得出的系统五阶模态柔度作为网络的教师样本，这样，通过不断改变设计变量的值就可以得到多组设计变量与系统模态柔度之间映射的样本，在这里选取20组映射作为神经网络训练样本。由于系统有20个设计变量和五阶模态柔度，因此可以建立起一个输入层有,20个节点，输出层有5个节点的网络，隐含层节点取20个，这样一个3层BP神经网络模型就建立起来了。有了训练样本和网络模型后，我们利用Visual Basic语言编制出了ＢＰ神经网络的训练程序（程序框图略）。利用该程序对神经网络进行训练，得到了设计变量与系统模态柔度之间的精确映射。
进行动态优化时，若要建立起目标函数，首先要获得一组能够精确计算系统模态柔度的权值，这就需要通过样本训练ＢＰ神经网络，当误差精度达到要求时，训练即停止，这时就得到了该组权值，利用该组权值与设计变量通过３层ＢＰ网络可以计算出模态柔度。在训练神经网络时，其步长初值取为0.001，动量因子取为,0.15。当训练次数达到32000次时，网络输出值与样本目标值之间的误差均方根值为，训练过程误差的变化情况见图２。

图2 训练神经网络过程中误差的变化
3.目标函数的建立
在神经网络经过训练获得权值后，一个表达结构设计变量与系统模态柔度之间映射关系的神经网络模型就建立起来了。此时，利用该网络模型和系统设计变量，就能计算出相应的系统模态柔度，这就等于获得了一个计算速度极快、数学处理非常方便的“目标函数”，使一个复杂的动态优化问题转化为一个相当简单的优化问题。
一个动态性能好的系统，其各阶模态柔度应该尽量小且各柔度应均匀以至相等，因此，在动态优化时，可以将减速器系统模态柔度最小作为目标函数。通过动态特性分析知道该减速器具有五阶模态柔度，因此属于多目标函数优化。在处理多目标函数时，采用了统一目标法【5】。该方法的实质就是将各个目标函、、…、统一到一个总的统一目标函数中，即令

这样就把多目标函数的最优化问题转变为单目标函数的最优化问题来求解。在寻求极小统一目标函数的过程中，为了使各个分目标函数能均匀一致地趋向各自的最优值，可采用加权组合法，即在将各个分目标函数组合为总的“统一目标函数”的过程中，引入加权因子，以考虑各个分目标函数在相对重要程度方面的差异及在量级和量纲上的差异，为此$统一目标函数可写为

式中，为第项分目标函数的加权因子，是一个大于零的数，其值决定于各项目标的数量级及重要程度。在这里，五阶模态柔度同等重要，可取。
综上所述$再利用前面已建立起来的3层BP神经网络模型，就可以得到该减速器动态优化的目标函数为
（2）
式中，为BP网络隐含层与输出层间的权值；为BP网络输入层与隐含层之间的权值；为隐含层神经元个数；为输入变量个数。
4. 约束条件的建立
4.1 几何约束
4.1.1重合度约束
一级行星传动齿轮重合度约束条件为：
（3）
式中，第一级行星齿轮的重合度。
二级变厚齿轮重合度约束条件为：
（4）

式中，为变厚内齿轮的齿数；为变厚外齿轮的齿数；为变厚内齿轮的齿宽；为变厚齿轮螺旋角；为变厚齿轮端面啮合角；为变厚齿轮端面数；、分别为变厚外齿轮和变厚内齿轮端面压力角；、分别为变厚外齿轮和变厚内齿轮的齿顶圆半径；、分别为变厚外齿轮大端截面齿顶压力角和变厚内齿轮小端截面齿顶压力角；下角标2代表变厚齿轮的大端截面，下角标0代表小端截面。

4.1.2 齿顶厚约束
一级行星传动渐开线圆柱直齿轮齿顶厚约束条件为：
（5）
式中，为太阳轮齿顶厚。
二级内啮合变厚齿轮齿顶厚约束：
（6）
式中，-为行星轮齿顶厚。
由于变厚外齿轮和内齿轮的大端截面变位系数大，因此大端的齿顶厚比其它截面薄。建立齿顶厚约束时只需考虑大端截面。变厚外齿轮和内齿轮的齿顶厚约束条件分别为：
（7）
（8）
4.1.3 内啮合变厚齿轮齿廓重迭干涉约束
减速器中的内啮合变厚齿轮副是两齿差传动，很容易出现齿廓重迭干涉现象。由于变厚齿轮各截面的变位系数沿轴向呈线性变化，因此，建立齿廓重迭干涉约束时，只要其大小两个端截面不出现齿廓重迭现象，则其它截面也必然会满足要求。内啮合变厚齿轮副小端截面和大端截面不发生齿廓重迭干涉的约束条件分别为：
（9）

（10）
式中，、可参照、的计算式。
4.1.4 过渡曲线干涉约束
内外齿轮的过渡曲线干涉主要取决于刀具和被切齿轮极限啮合点的曲率半径，曲率半径愈大，干涉的可能性就愈大；反之，干涉的可能性就愈小。对变厚内齿轮、变厚外齿轮来说，由于其各截面上变位系数沿轴向呈线性变化，刀具和被切齿轮的极限啮合点处的曲率半径随着变位系数的变化而变化。变位系数愈大，极限啮合点离被切齿轮的基圆愈远，该点的曲率半径愈大，从而愈容易发生过渡曲线干涉。也就是说，变厚内齿轮和外齿轮的大端易发生过渡曲线干涉，在建立约束时，只需考虑齿轮的大端截面。变厚内齿轮和外齿轮大端截面不发生过渡曲线干涉的约束条件分别为：
（11）
（12）
式中，为刀具的齿数；为刀具的齿顶压力角；为切制变厚内齿轮时的切削啮合角；为切制变厚外齿轮时的切削啮合角。
4.2 齿轮强度约束
强度约束条件是所有约束条件中最重要的，也是计算工作量最大的。在计算齿轮强度的安全系数时，采用了文献【6】中的计算公式，其强度公式中的各项系数均通过有关的公式进行详细计算,从而能够较为准确地反映齿轮的承载能力与各个影响因素之间的复杂关系。这虽然会使优化设计的程序变得复杂，使计算时间大大增加，但却可以保证优化计算的可信性，使优化设计方案具有实用性。
变厚齿轮RV减速器的强度约束共有6个：
（13）
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
式中, 为一级太阳轮与行星轮的齿面接触疲劳强度安全系数； 、分别为太阳轮和行星轮齿根弯曲疲劳强度的安全系数；为二级变厚齿轮的齿面接触疲劳强度的安全系数；、分别为变厚外齿轮和内齿轮齿根弯曲疲劳强度的安全系数。
4.3 边界约束
为了使优化出的结果有实际意义，根据减速器的设计经验和有关设计规范，每个设计变量给一定的取值范围，即得到边界约束条件为：
（19）
式中，为设计变量的下限；为设计变量的上限。
5 优化程序设计
在设计变量中，模数和齿数是离散变量，计算时按连续变量处理，待求出优化结果后进行圆整，使模数符合荐用系列，齿数取整。设计计算中还涉及到插齿刀参数的选择，可将所需的插齿刀的各种型号编制在程序中，根据被加工变厚齿轮的模数和齿数自动寻找相应的插齿刀参数。在众多优化方法中，我们采用了可变容差法。由于本优化设计有20个设计变量，计算量非常大，若采用其它约束优化方法，则为了满足严格的可行性要求，往往要花去相当多的计算时间。而可变容差法实际上是在可行域和近乎可行域中探索最优点的，当迭代向着原问题的最优解逼近时，原问题中的约束条件的违背程度是逐渐减小的，在迭代初期这些约束条件无须严格的满足，这样就可大大地缩小迭代计算的时间。本优化程序用Visual Basic语言编写，其程序框图略。
6 优化实例【7】
变厚齿轮RV减速器输出扭矩为，额定转速为，总传动比为121，齿轮精度等级为6级。一级太阳轮和行星轮材料为，并进行渗碳淬火处理，齿面硬度为，齿面接触疲劳极限应力，齿根弯曲疲劳极限应力；二级变厚内齿轮和外齿轮材料为，进行调质处理，齿面硬度为，齿面接触疲劳极限应力，齿根弯曲疲劳极限应力。
将原设计方案的设计参数作为设计变量初始参数进行优化，其值见表1。经过编程运算得到减速器的动态优化结果，见表2。
表1 变厚齿轮RV减速器优化设计参数 单位：mm

表2 变厚齿轮RV减速器动态优化结果 单位：mm

为了验证优化后的结构方案是否比原设计方案具有更好的动态特性，所以对动态优化后所获得的减速器新结构进行动态分析。在原设计方案中，各阶模态柔度相差较大，而且在二阶危险模态柔度中，各元件能量分布也不均匀，其中1号弹性元件（即输入轴）的势能分布率最大，即它的弹性变形最大，是减速器结构中影响动态特性的薄弱环节。动态优化后所获得的减速器结构的各阶模态柔度都有所降低，各元件的能量分布也比原方案更均匀，尤其是二阶危险模态柔度从降低到优化后的，而且该阶模态下的能量分布更加均匀。其中，原方案中的最薄弱元件输入轴的直径由原来的改变为优化后的，扭转刚度得到很大提高，其势能分布率由原来的降低到。另外，优化后的系统各阶固有频率有了很大的提高，一阶基频由提高到，其激励频率为，可见，优化后结构的振动水平比原设计方案有了很大的改善。