求数列通项公式的十种方法[1].doc

求数列通项公式的十种方法
一、公式法
例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。
二、利用
例2．若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数
，.求数列的通项公式；
解：
……2分 当
当……4分
练习：1. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an
解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)
当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3
2．（2006年全国卷I）设数列的前项的和
，
（Ⅰ）求首项与通项；
（Ⅱ）设，，证明：
解：（I），解得：

所以数列是公比为4的等比数列
所以：
得： （其中n为正整数）
（II）

所以：
三、累加法
例3 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则

所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例4 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则

所以
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例5已知数列满足，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，
则，故

因此，
则
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
四、累乘法
例6 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，则，故
所以数列的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例7已知数列满足，求的通项公式。
解：因为 ①
所以 ②
用②式－①式得
则
故
所以 ③
由，，则，又知，则，代入③得。
所以，的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。
五.构造等差或等比或
例8（2006年福建卷）已知数列满足
求数列的通项公式；
解：

是以为首项，2为公比的等比数列。

即　
例9．已知数列中，,，求。
解：在两边乘以得：
令，则,解之得：
所以
练习. 已知数列满足，且。
（1）求；
（2）求数列的通项公式。
解： （1）
（2）

∴
六、待定系数法
例10已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ④
将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
例11 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ⑥
将代入⑥式，得

整理得。
令，则，代入⑥式得
⑦
由及⑦式，
得，则，
故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
例12 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ⑧
将代入⑧式，得
，则

等式两边消去，得，
解方程组，则，代入⑧式，得
⑨
由及⑨式，得
则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

七、对数变换法
例13 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：因为，所以。在式两边取常用对数得 ⑩
设
将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则
，故
代入式，得
由及式，
得，
则，
所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此
则。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
八、迭代法
例14已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以

又，所以数列的通项公式为。
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。
九、数学归纳法
例15已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由及，得

由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当时，，所以等式成立。
（2）假设当时等式成立，即，则当时，

由此可知，当时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。
十、换元法
例16已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，则
故，代入得

即
因为，故
则，即，
可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得
。
评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

附： 构造辅助数列
1．构造数列，使其为等差数列。 （形式：）
例：已知数列满足 ，求证：是等差数列，并求的通向公式。
解： ，，即
是首项为1，公差为3的等差数列。
.
2. 构造数列，使其为等比数列。（或）
例：在数列中，已知，求证：数列的通项公式。
解：由可知，对，.
，即.
又 .
数列是首项为，公比为的等比数列.
.

3. 构造数列，使其为等比数列。
例：已知数列满足，，求的通项公式。
解：设 ，即
则 与 比较后的得
.
或 .
当时，，是以为首项，2为公比的等比数列。

().
经验证，n=1时适合上式，.
同理，当时，也得到.
综上知.