概率论基本公式.docx

概率论与数理统计基本公式第一部分 概率论基本公式1、 A B = A = A AB; A B = A (B A) 2、对偶率： A B = A B；A B = A B .3 、概率性率：P (A B) = P (A) P(AB ), 特别， B 仁 A时有：P (A B) = P (A) P (B ); P (A) P (B )4、古典概型5、条件概率例：有三个罐子， 1 号装有 2 红 1 黑共 3 个球， 2 号装有 3 红 1 黑 4 个球， 3 号装有 2 红 2 黑 4 个球，某人随 机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，(1)求取得红球的概率；(2)如果取得是红球，那么是从第一个罐 中取出的概率为多少？解：(1)设B = 球取自i号罐， i = 1,2,3。 A = 取得是红球，由题知B、 B、 B 是一个完备事件i 1 2 3由全概率公式P(B) = P(A )P(B | A )，依题意，有：i ii1P(B ) = P(B ) = P(B ) = ，：P(A) 0.639.1 2 3 32 3 1P(A | B ) = ; P(A | B ) = ; P(A | B ) = .1 3 2 4 3 2(2)由贝叶斯公式： P(B | A) = 0.348.1 P(A)6、独立事件(1) P(AB)=P(A)P(B),则称 A、 B 独立。(2)伯努利概型如果随机试验只有两种可能结果：事件 A 发生或事件 A 不发生，则称为伯努利试验，即：P(A)=p,P( ) = 1 p = q (0p1,p+q=1)相同条件独立重复 n 次，称之为n 重伯努利试验，简称伯努利概型。伯努利定理： b(k;n,p) = n(Ck)pk (1 p)nk (k=0,1,2)事件 A 首次发生概率为： p(1 p)k1例：设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号，(1)进行 5 次 重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；(2)进行了 7 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。第二章7、常用离散型分布(1)两点分布：若一个随机变量 X 只有两个可能的取值，且其分布为：1 2 1 2PX = x = p;PX = x = 1 p (0p0 ) 都 是 常 数 。 分 布 函 数 为 ：F(x) = 2(1)装 j _w(x)e(t_山)2_2装2dt,_wx+w.。当 山 = 0,装 = 1时，称为标准正态分布，概率密度函数为：2 2 _wQ (x) = 1 e_ 2(x2) , 分布函数为： C(x) = 1 j x e_ 2(t2)dt.定理：设 X N(山,装 2),则Y = X _ 山装 N(0,1)其期望 E(X)= ,D(X)= 装 2。9、随机变量函数的分布(1)离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量 X 的所有可能取值确定因变量 Y 的所有可能值，然后通过 Y 的每一个可能的取值 y (i=1,2,)来确定 Y 的概率分布。i(2)连续型随机变量函数分布方法：设已知 X 的分布函数F (x) 或者概率密度 f (x) ，则随机变量 Y=g(X)X XY Y y的 分 布 函 数 F (y) = PY 共 y = Pg(X ) 共 y = PX = C , 其 中 C = x | g(x) 共 y ，FY (y) = PX = CY = j fX (x)dx ，进而可通过 Y 的分布函数F (y) ，求出 Y 的密度函数。yC Y例 ： 设 随 机 变 量 X 的 密 度 函 数 为 fX (x) = l 0, 其他 ， 求 随 机 变 量(1_ | x |,_1 x 1Y = X 2 + 1的分布函数和密度函数。解：设F (y)和f (y)分别是随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则由 _ 1 x 1得：Y Y1 y 2, 那么当y 1时F (y) = PY 共 y = PX 2 + 1 共 y = P(0 ) = 0, 当1 y 2时， F (y) = PY 共 y = PX 2 + 1 共 y = j1 0dx +Y0 -w1( 0, y 共 1j1 (1_ | x |)dx + j+w0dx = 1, 所以， FY (y) = |2 y _ 1 _ (y _ 1),1 y 21 _ 1,1 共 y 2fX (x) = FY (y) = | |l(y _ 10, 其他0、设随机变量 XN(山,装 2 ) ,Y= aX + b 也服从正态分布. 即 Y = aX + b N (a山 + b, (a装 )2 )。11、联合概率分布(1)离散型联合分布： xx P = 1iji jX Yy 1 y j PX= xi p11PY= y p1j1j(2)连续型随机变量函数的分布：(| 1 (x + y),0 不 x 不 2,0 不 y 不 2例：设随机变量(X， Y)的密度函数 f (x, y) = |l0(8), 其他求 f (x), f (y),E(X ), E(Y),cov( X , Y)， p ， D(X+Y).XY解：当 0x2 时由 f (x) = j x 1/ 8(x + y) dy ，得： f (x) = 1/8x 2 + 1/ 4x ，当 x2 时，由X X0f (x) = j0 0dy + jw 0dy = 0 ，所以，-w 2Xf ( y ) = 1/8y 2 + 1 / 4 y , 0 不 y 不 2同理可求得: Y 0，其他 ； E(X)=j2 xf (x) dx = 7/6 , 由对称性同理可求得， E(Y)=7/6。 X0因为 E(XY)= j2 j2 xyf (x, y)dxdy = j2 j2 1/8xy(x + y)dxdy = 4/3. 0 0 0 0所以， cov (X,Y) = E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6)2 =- 1/36。D(X ) = E(X 2 ) - E(X )2 = j2 j2 x 2 f (x， y)dxdy - ( 7 )2 = 11 0 0 6 36同理得 D(Y)= ,所以， p = = - 11 cov(X , Y) 136 XY D(X )D(Y) 115D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)= 9F (x | A) = PX 不 x | A = PX 不 x, A , 称F(x | A)为在A发生条件下，12、条件分布：若 PAX的条件分布函数13、随机变量的独立性：由条件分布设 A=Yy,且 PYy0,则：F (x | Y 不 y = PX 不 x,Y 不 yPY不y = F (x, y)FY(y)，设随机变量(X,Y)的联合分布概率为 F (x,y)，边缘分布概率为F (x)、F (y) ，若对于任意 x 、y 有：X Yf (x, y) (2e_2x， x 0,PX 共 x, Y 共 y = PX 共 xPY 共 y，即： F (x, y) = F (x)F (y) ，则称 X 和 Y 独立。X Y14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为 f (x, y) ,边缘概率密度函数 为 f (x)、f (y)， 则 对 于 一 切 使 f (x) 0 的 x, 定 义 在 X=x 的 条 件 下 Y 的 条 件 密 度 函 数 为：X Y XY |X f (x) X |Y f (y)f (y | x) = f (x, y) ，同理得到定义在 Y=y 条件下 X 的条件概率密度函数为： f (x | y) = f (x, y) ，若X Yf (x, y) = f (x)f (y) 几乎处处成立，则称 X,Y 相互独立。X Y(ce _ ( 2 x+ y ) , x 0, y 0例：设二维随机变量(X， Y)的概率密度函数为： f (x, y) = l 0, 其它 ，求(1)确定常数 c；(2) X,Y 的边缘概率密度函数；(3)联合分布函数 F(x,y);(4)PYX;X | Y(5)条件概率密度函数 f ( x | y ) ；(6) PX2|Y 0, y 0，则：当x 0时， f (x) = j+w 2e_( 2x+ y)dy = 2e_2xl 0, 其它 X 0：f (x) = (2e_2x , x 0，当y 0时， f (y) = j+w 2e_( 2x+ y)dx = e_y , ：f (y) = (e_y , y 0. X l 0, 其它 Y 0 Y l 0, 其它(3)当x 0, y 0时， F (x, y) = jx jy 2e_( 2x+ y)dxdy = jx (2e_2x _ 2e_( 2x_y)dx = (1 _ e_2x )(1 _ e_y ) 0 0 0当x 共 0, y 共 0时， F (x, y) = jx jy 0dxdy =0, ：F(x, y) = (1 _ e_2x )(1 _ e_y ), x 0, y 0.0 0 l 0, 其它(4)PY 共 X = j+w jx 2e_( 2x+ y)dxdy = j+w (2e_2x _ 2e_3xdx = 1 ; 0 0 0 3X |Y fY (y) X |Y l 0，其它(5)当x 0, y 0时， f (x | y) = = 2e_2x，：f (x | y) = y 0.(6) F (y) = jy e_y dy = 1 _ e_y Y0：PX 2 | Y 0， D(Y)0，则当且仅当存在常数 a， b ( a 丰 0 )，使：p = 0时，只能说明Y与X之间不是线性关系，但可能有其他函数关系， 附注： XY从而不能推注Y与X独立。 设 e=EY-( aX + b)2 , 称 为 用 aX + b 来 近 似 Y 的 均 方 差， 则： 设 D(X)0， D(Y)0, 有：0 D(X ) 0 0a cov(X , Y) , b E(Y) a E(X ), 使均方误差达到最小。18 、切比雪夫不等式：设随机变量 X 的期望 E(X)= , 方差 D(X)= 2 , 则对于给定任意正数 ，有： 2 2 .P| X | 2 ，或者为： P| X | 1 219、大数定理：设随机变量 X ,X , X 相互独立，且具有相同的期望和方差： 1 2 nE(X ) , D(X ) 2 ， i=1,2,3 ， 记Y 1 n X ， 则 对 于 任 意 0, 有 ：i i n n ii 1limP| Y | 1, 推论 limP| nA p | 1(其中n 为n重伯努利中n nn n AA发生的次数， p为概率。20、 中 心 极 限 定理； ( 1 ) 设 随 机 变 量 X ,X , X 相 互 独 立， 服 从 同 一 分 布， 且1 2 nE(X ) , D(X ) 2， i=1,2,3 ，则：i i(2)棣莫佛拉普拉斯定理：设随机变量 X ,X , X 相互独立，并且都服从参数为 p 的两点分布，则 1 2 nn X np对任意实数 x，有： lim P i 1 i x x 1 e t2/ 2 dt (x)n np(1 p) 2第二部分 数理统计24、点估计常用方法(1)矩估计法：先求 E (X) ,得到一个 E(X)与未知参数的式子，用 E(X)表示未知参数，再把 E(X)用 X 代替即可。例：已知总体 X 的概率分布为PX k C k (1 )k 2 k , k 0,1,2, 求参数 的矩估计。2(2)最大似然估计：一般方法： a 、写出最大似然函数 L( x1 , x2 , xn ; ) ; b 令 dL ( )d 0 或d 0, 求出驻点； c、判断并求出最大值点，在最大值点得表达式中，用样本均值代入即得到参数d ln L( )的最大释然估计值。