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概率论与数理统计基本公式

第一部分 概率论基本公式
1、 A B = A = A AB; A B = A (B A) 2、对偶率： A B = A B；A B = A B .

3 、概率性率：

P (A B) = P (A) P(AB ), 特别， B 仁 A时有：
P (A B) = P (A) P (B ); P (A) > P (B )

4、古典概型
5、条件概率
例：有三个罐子， 1 号装有 2 红 1 黑共 3 个球， 2 号装有 3 红 1 黑 4 个球， 3 号装有 2 红 2 黑 4 个球，某人随 机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，(1)求取得红球的概率；(2)如果取得是红球，那么是从第一个罐 中取出的概率为多少？
解：(1)设B = {球取自i号罐}， i = 1,2,3。 A = {取得是红球}，由题知B、 B、 B 是一个完备事件
i 1 2 3

由全概率公式P(B) = P(A )P(B | A )，依题意，有：
i i
i
1
P(B ) = P(B ) = P(B ) = ，：P(A) 0.639.
1 2 3 3

2 3 1
P(A | B ) = ; P(A | B ) = ; P(A | B ) = .
1 3 2 4 3 2

(2)由贝叶斯公式： P(B | A) = 0.348.
1 P(A)
6、独立事件
(1) P(AB)=P(A)P(B),则称 A、 B 独立。
(2)伯努利概型
如果随机试验只有两种可能结果：事件 A 发生或事件 A 不发生，则称为伯努利试验，即：
P(A)=p,P( ) = 1 p = q (0<p<1,p+q=1)
相同条件独立重复 n 次，称之为n 重伯努利试验，简称伯努利概型。
伯努利定理： b(k;n,p) = n(Ck)pk (1 p)nk (k=0,1,2……)
事件 A 首次发生概率为： p(1 p)k1
例：设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号，(1)进行 5 次 重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；(2)进行了 7 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。
第二章
7、常用离散型分布
(1)两点分布：若一个随机变量 X 只有两个可能的取值，且其分布为：
1 2 1 2
P{X = x } = p;P{X = x } = 1 p (0<p<1)则称 X 服从x、 x 处参数为 p 的两点分布。
其中期望 E (X) =p,D(X)=p(1-p)
(2)二项分布：若一个随机变量 X 的概率分布由P{X = k} = C k p k (1 - p)nk (k=0,1,2……) 给出，则称
n
X 服从参数为 n， p 的二项分布，记为： X~b(n,p) (或 B(n， p)

其中 n P{X k} 1 ，当 n=1 时为 0— 1 分布。 其期望 E (X) =np，方差 D(X)=np(1-p)
k 0
k! ,
(3) 泊松分布：若一个随机变量 X 概率分布为： P{X k} e k 0， k 0,1,2 则称 X 服从参数

为 的泊松分布，记为： X ~ P()(或X ~ () ,其中 P{X k} 1 .
k 0
泊 松 定理： 在 n 重 伯 努 利 试 验 中， 事 件 A 在 每 次 试 验 中 发 生 的 概 率 为 P , 如 果 n 时，
n
nP ( 0的 常数 )，则对任意给定的 k，
n

有 limb(k; n, p) lim C k p k (1 p )nk k e ，这表明，当 n 很大时， p 接近 0 或 1 时，有
n n n n n k!

n n n k!
C k p k (1 p )nk k e ( np ) 。 N≥20，p≤0.05 时用泊松分布。其期望方差相等，即： E(X)=D(X)=

。
8、常用连续型分布
f(x) 1/(ba),axb
(1)均匀分布：若连续随机变量 X 的概率密度为 0,其他 则称 X 在区间(a， b)上服从

f(x)dx 1
均匀分布，记为 X~U(a,b)。其中 ，分布函数为：
-

其期望 E (X) = a b2，方差 D(X)= (b a)212。

ex ,x 0
(2)指数分布：若随机变量的概率为 0,其他 ，则称 X 服从参数为 的指数分
f(x) ， 0

1 ex , x 0
0, 其他，
布，简记为 X~e( ).其分布函数： F (x) ， 0

2 .
1 1
其期望 E(X)= ,方差 D(X)=

f(x) 1 e x
(3)正态分布：若随机变量 X 的概率密度为 2 ，则称 X 服从参数为p 和 2 的 正 态 分 布， 记 为 X~N( p , 2 ), 其 中 p 和 ( >0 ) 都 是 常 数 。 分 布 函 数 为 ：

F(x) = 2"(1)装 j _w(x)e(t_山)2_2装2dt,_w<x<+w.。当 山 = 0,装 = 1时，称为标准正态分布，概率密度函数为：
2" 2" _w
Q (x) = 1 e_ 2(x2) , 分布函数为： C(x) = 1 j x e_ 2(t2)dt.
定理：设 X ~ N(山,装 2),则Y = X _ 山装 ~ N(0,1)
其期望 E(X)= μ,D(X)= 装 2。
9、随机变量函数的分布(1)离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量 X 的所有可能取值确定因变
量 Y 的所有可能值，然后通过 Y 的每一个可能的取值 y (i=1,2,……)来确定 Y 的概率分布。
i
(2)连续型随机变量函数分布方法：设已知 X 的分布函数F (x) 或者概率密度 f (x) ，则随机变量 Y=g(X)
X X
Y Y y
的 分 布 函 数 F (y) = P{Y 共 y} = P{g(X ) 共 y} = P{X = C } , 其 中 C = {x | g(x) 共 y} ，
FY (y) = P{X = CY } = j fX (x)dx ，进而可通过 Y 的分布函数F (y) ，求出 Y 的密度函数。
y
C Y

例 ： 设 随 机 变 量 X 的 密 度 函 数 为 fX (x) = 〈l 0, 其他 ， 求 随 机 变 量
(1_ | x |,_1 < x < 1

Y = X 2 + 1的分布函数和密度函数。
解：设F (y)和f (y)分别是随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则由 _ 1 < x <1得：
Y Y
1 < y < 2, 那么当y < 1时F (y) = P{Y 共 y} = P{X 2 + 1 共 y} = P(0 ) = 0, 当1< y < 2时，得：
Y
(y) = P{Y 共 y} = P{X 2 + 1 共 y} = P{_ y _ 1 共 x 共 y _ 1 = j y_1 (1_ | x |)dx = j0 (1 + x)dx +
Y
_ y _1 _ y _1
j y _1 (1 _ x)dx = 2 y _ 1 _ (y _ 1),当y > 2时， F (y) = P{Y 共 y} = P{X 2 + 1 共 y} = j1 0dx +
Y
0 -w
1
( 0, y 共 1
j1 (1_ | x |)dx + j+w0dx = 1, 所以， FY (y) = 〈|2 y _ 1 _ (y _ 1),1 < y < 2,
_1 1 |l 1, y > 2
1 _ 1,1 共 y < 2
fX (x) = FY (y)' = 〈| |l
(
y _ 1
0, 其他
0、设随机变量 X~N(山,装 2 ) ,Y= aX + b 也服从正态分布. 即 Y = aX + b ~ N (a山 + b, (a装 )2 )。
11、联合概率分布(1)离散型联合分布： xx P = 1
ij
i j
X Y
y 1 …… y j P{X= xi }

p
11

P{Y= y }
p
1j
1
j

(2)连续型随机变量函数的分布：

(| 1 (x + y),0 不 x 不 2,0 不 y 不 2
例：设随机变量(X， Y)的密度函数 f (x, y) = 〈|l0(8), 其他

求 f (x), f (y),E(X ), E(Y),cov( X , Y)， p ， D(X+Y).
XY

解：①当 0≤x≤2 时由 f (x) = j x [1/ 8(x + y) dy ，得： f (x) = 1/8x 2 + 1/ 4x ，当 x<0 或 x>2 时，由
X X
0
f (x) = j0 0dy + jw 0dy = 0 ，所以，
-w 2
X

{
f ( y ) = 1/8y 2 + 1 / 4 y , 0 不 y 不 2
同理可求得: Y 0，其他 ；
② E(X)=j2 xf (x) dx = 7/6 , 由对称性同理可求得， E(Y)=7/6。 X
0
③因为 E(XY)= j2 j2 xyf (x, y)dxdy = j2 j2 1/8xy(x + y)dxdy = 4/3. 0 0 0 0

所以， cov (X,Y) = E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6)2 =- 1/36。
④D(X ) = E(X 2 ) - [E(X )]2 = j2 j2 x 2 f (x， y)dxdy - ( 7 )2 = 11 0 0 6 36
同理得 D(Y)= ,所以， p = = -
11 cov(X , Y) 1
36 XY D(X )D(Y) 11

5
⑤D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=
9
F (x | A) = P{X 不 x | A} = P{X 不 x, A} , 称F(x | A)为在A发生条件下，
12、条件分布：若 P{A}
X的条件分布函数
13、随机变量的独立性：由条件分布设 A={Y≤y},且 P{Y≤y}>0,则：
F (x | Y 不 y} = P{X 不 x,Y 不 y}P{Y不y} = F (x, y)FY(y)，设随机变量(X,Y)的联合分布概率为 F (x,y)，边缘分布概
率为F (x)、F (y) ，若对于任意 x 、y 有：
X Y

f (x, y) (2e_2x， x > 0,

P{X 共 x, Y 共 y} = P{X 共 x}P{Y 共 y}，即： F (x, y) = F (x)F (y) ，则称 X 和 Y 独立。
X Y
14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为 f (x, y) ,边缘概率密度函

数 为 f (x)、f (y)， 则 对 于 一 切 使 f (x) >0 的 x, 定 义 在 X=x 的 条 件 下 Y 的 条 件 密 度 函 数 为：
X Y X
Y |X f (x) X |Y f (y)
f (y | x) = f (x, y) ，同理得到定义在 Y=y 条件下 X 的条件概率密度函数为： f (x | y) = f (x, y) ，若
X Y
f (x, y) = f (x)f (y) 几乎处处成立，则称 X,Y 相互独立。
X Y

(ce _ ( 2 x+ y ) , x > 0, y > 0
例：设二维随机变量(X， Y)的概率密度函数为： f (x, y) = 〈l 0, 其它 ，求(1)
确定常数 c；(2) X,Y 的边缘概率密度函数；(3)联合分布函数 F(x,y);(4)P{Y≤X};
X | Y
(5)条件概率密度函数 f ( x | y ) ；(6) P{X<2|Y<1}
解：(1)由j+w j+w f (x, y)dxdy =j+w j+w ce_( 2x+ y)dxdy =cj+w e_2xdx = 1 c = 1, ：c = 2
0 0 0 0 0 2
(2)由c = 2得到： f (x, y) = 〈(2e_( 2x+ y) , x > 0, y > 0，则：当x > 0时， f (x) = j+w 2e_( 2x+ y)dy = 2e_2x
l 0, 其它 X 0
：f (x) = 〈(2e_2x , x > 0，当y > 0时， f (y) = j+w 2e_( 2x+ y)dx = e_y , ：f (y) = 〈(e_y , y > 0. X l 0, 其它 Y 0 Y l 0, 其它
(3)当x > 0, y > 0时， F (x, y) = jx jy 2e_( 2x+ y)dxdy = jx (2e_2x _ 2e_( 2x_y)dx = (1 _ e_2x )(1 _ e_y ) 0 0 0
当x 共 0, y 共 0时， F (x, y) = jx jy 0dxdy =0, ：F(x, y) = 〈((1 _ e_2x )(1 _ e_y ), x > 0, y > 0.
0 0 l 0, 其它
(4)P{Y 共 X} = j+w jx 2e_( 2x+ y)dxdy = j+w (2e_2x _ 2e_3xdx = 1 ; 0 0 0 3
X |Y fY (y) X |Y l 0，其它
(5)当x > 0, y > 0时， f (x | y) = = 2e_2x，：f (x | y) = 〈 y > 0.
(6) F (y) = jy e_y dy = 1 _ e_y Y
0
：P{X < 2 | Y < 1} = = F(2,1)F(1)Y = 1 _ e_4 .
15、数学期望：(1)离散型： E(X ) = xw x p i i
i=1
(2)连续型： E(X ) = j +wxf (x)dx ，因为并不是每一个函数都能积分，所以并非所有随机变量都有数学期 _w
望。
数 学 期 望 的 性 质： ① E(CX)=CE(X) ① E(X + X ) = E(X ) + E(X ) ③ 设 X,Y 独 立， 则
1 2 1 2
E(XY)=E(X)E(Y).

14
i i l0，第i次 试 不 出 现

例： 10 个人随机进入 15 个房间，每个房间容纳的人数不限，设 X 表示有人的房间数，求 E(X)(设每个人进入 房间是等可能的，且各人是否进入房间相互独立)
附：二项分布 b(n,p)和两点分布 b(1,p) 的另一个关系，仍设一个实验只有两个结果： A和 ,且 P(A)=p,现 在 将 试 验 独 立 进 行 n 次， 记 为 n 次 试 验 中 结 果 A 出 现 的 次 数， 则 X ~ b(n, p) ， 若 记
X 为第i次试验中结果A出现的次数，即： X = 〈
( 1，第i次试验A出现

其中： X = X + X + …… + X
1 2 i

( 1, 第i号房间有人；
i l0，第i号房间没人； 易知X = X + X + …… + X
1 2 15
解：引入随机变量x = 〈 i = 1,2,3, ……15.

由题意，任意房间没有人的概率为 ，则10个人都不在第i号房间的概率为：( ) 10， 15 15
14
14 14

那么在第i号房间有人的概率为1 - ( ) 10，即： 16 、方
15
14 14
P{x = 0} = ( ) 10 , P{x = 1} = 1 - ( ) 10 , i = 1,2,3，……，15
i 15 i 15
：E(x ) = 1 - ( ) 10 , i = 1,2,3, ……，15. i 15
14

：E(X ) = E(X + X + …… + X ) = E(X ) + E(X ) + …… + E(X ) = 15[1 - ( ) 10 ] 如 7.48 1 2 15 1 15 15
差： (1)D(X ) = E[X - E(X )]2 = E(X 2 ) - [E(X )]2

(2)方差性质：①D(CX)=C2 D(X);②若 X.Y 相互独立，则： D(X 士 Y) = D(X ) + D(Y)
17 、协方差： (1)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),特别， X,Y 独立时，有： cov(X,Y)=0.
( 2 ) 协 方 差 性 质 ： ① cov(X,X)=D(X); ② cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); ③ cov(C,Y)=0; ④
cov( X + X ,Y)= cov(X , Y) + cov (X ， Y) ⑤ 随 机 变 量 和 的 方 差 与 协 方 差 的 关 系
1 2 1 2
D(X 士 Y) = D(X ) + D(Y) 士 2 cov(X , Y) .
(3)相关系数p = cov(X , Y) 性质：①| p |共 1 ;②若 X 和 Y 相互独立，则 p =0，即 X 和 Y 不相 XY D(X )D(Y) , XY XY

关。 ③若 D(X)>0， D(Y)>0，则当且仅当存在常数 a， b ( a 丰 0 )，使：

p = 0时，只能说明Y与X之间不是线性关系，但可能有其他函数关系， 附注： XY
从而不能推注Y与X独立。
④ 设 e=E[Y-( aX + b)]2 , 称 为 用 aX + b 来 近 似 Y 的 均 方 差， 则： 设 D(X)>0， D(Y)>0, 有：

0 D(X ) 0 0
a cov(X , Y) , b E(Y) a E(X ), 使均方误差达到最小。

18 、切比雪夫不等式：设随机变量 X 的期望 E(X)= μ , 方差 D(X)= 2 , 则对于给定任意正数 ，有：
2 2 .
P{| X | } 2 ，或者为： P{| X | } 1 2

19、大数定理：设随机变量 X ,X , ……X ……相互独立，且具有相同的期望和方差： 1 2 n

E(X ) , D(X ) 2 ， i=1,2,3 … … ， 记Y 1 n X ， 则 对 于 任 意 >0, 有 ：
i i n n i
i 1
limP{| Y | } 1, 推论 limP{| nA p | } 1(其中n 为n重伯努利中
n n
n n A
A发生的次数， p为概率。

20、 中 心 极 限 定理； ( 1 ) 设 随 机 变 量 X ,X , … … X … … 相 互 独 立， 服 从 同 一 分 布， 且
1 2 n
E(X ) , D(X ) 2， i=1,2,3 ……，则：
i i

(2)棣莫佛—拉普拉斯定理：设随机变量 X ,X , ……X ……相互独立，并且都服从参数为 p 的两点分布，则 1 2 n
n X np
对任意实数 x，有： lim P{ i 1 i x} x 1 e t2/ 2 dt (x)
n np(1 p) 2
第二部分 数理统计
24、点估计常用方法(1)矩估计法：先求 E (X) ,得到一个 E(X)与未知参数的式子，用 E(X)表示未知参数，

再把 E(X)用 X 代替即可。
例：已知总体 X 的概率分布为P{X k} C k (1 )k 2 k , k 0,1,2, 求参数 的矩估计。
2
(2)最大似然估计：一般方法： a 、写出最大似然函数 L( x1 , x2 , xn ; ) ; b 令 dL ( )d 0 或
d 0, 求出驻点； c、判断并求出最大值点，在最大值点得表达式中，用样本均值代入即得到参数
d ln L( )

的最大释然估计值。