适用2023年全国高考文数模拟试卷(全国甲卷)附参考答案.docx

A．
C．
B．
D．
全国高考文数模拟试卷(全国甲卷)

注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认 真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题
1．已知集合， ，则 ( )






2．下表是 2017 年至 2022 年硕士研究生的报名人数与录取人数(单位：万人)，

年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
报名人数
201
238
290
341
377
457
录取人数
72
76
81
99
106
112

根据该表格，下列叙述错误的是( )
A．录取人数的极差为 40 B．报名人数的中位数是 315.5
C．报名人数呈逐年增长趋势 D．录取比例呈逐年增长趋势
3．已知复数 ( 为虚数单位)，则为( )
A．1 B． C． D．

4．某几何体的三视图(单位： )如图所示，则该几何体的体积(单位： )是( )

A．2

5．函数


B．
D．
C．6

的部分图象如图所示，则函数




的图象可以由

的图象( )

A．向左平移个单位长度得到 B．向左平移个单位长度得到
C．向右平移个单位长度得到 D．向右平移个单位长度得到
6．在区间上随机取一个数，则事件“ ”发生的概率为( )
A． B． C． D．
7．函数的部分图象大致为( )
A．
B．

C．

D．
8．若函数在上可导，且，则( )
A． B．
C． D．以上答案都不对
9．设是一个平面， 、 是两条直线，则正确的命题为( )
A．如果， ，那么
B．如果， ，那么 C．如果， ，那么 D．如果， ，那么
10．已知正四棱锥的侧棱长为 3，其顶点均在同一个球面上，若球的体积为，则该正四棱锥的体积
为( )
A． B． C． D．
11．已知抛物线的焦点为，过 的直线交抛物线于， 两点，则的最小值为 ( )
A．6 B．9 C．12 D．15
12．设， ， ，则( )
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知单位向量， 的夹角为，则 .
14．已知直线 l： 与圆 C： 相交于 A，B 两点，则.
15． 已知双曲线的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，则双曲线 C 的离 心率为．
16．在中，若，点 为边的中点， ，则 的最小值为.
三、解答题
17．某校高二年级学生参加数学竞赛，随机抽取了 100 名学生进行成绩统计，成绩的频率分布直方图如

．
在椭圆上，且
图所示，数据的分组依次为： 、 、 、 、 、 ．

(1)求这 100 名学生成绩的平均值；
(2) 若采用分层抽样的方法， 从成绩在和内的学生中共抽取 7 人， 查看他们的答题情 况来分析知识点上的缺漏， 再从中随机选取 2 人进行调查分析， 求这 2 人中恰好有 1 人成绩在内
的概率．
18．已知是公差不为 0 的等差数列， ，且 ， 的等比中项为．
(1)求通项公式 ；
(2)若 ，求数列 的前 2022 项和 T．

19．如图，在正三棱柱



中，D 为AB 的中点，




，




(1)求证：平面 平面 ；
(2)求点 A 到平面 的距离．

20．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求 在区间 上的最小值．
21．已知椭圆： ( )的左 右焦点分别为， ，点

.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)是否存在过点 的直线，交椭圆 于， 两点，使得？若存在，求
直线的方程，若不存在，请说明理由.
四、选考题，请考生在第 22、23 题中任选一题作答
22．在平面直角坐标系中，已知直线： (t 为参数)．以坐标原点 O 为极点，x 轴正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
(1)求曲线 C 的直角坐标方程；
(2)设点 M 的直角坐标为，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求的值．
23．已知函数．
(1)求不等式 的解集；
(2)函数 的最小值为 m，正实数 a，b 满足，求 的最小值．

1．B
2．D
3．C
4．C
5．D
6．A
7．B
8．C
9．D
10．B
11．B
12．D
13．1
14．
15．2
16． -2
17． (1)解： ， ．
这名学生的成绩的平均值为
， 因此，这 100 名学生成绩的平均值为 71.5 分.
(2)解：设“抽取 2 人中恰好有人成绩在内”为事件．
由题设可知，成绩在和内的频率分别为 0.20 和 0. 15，
则抽取的人中，成绩在内的有人，成绩在内的有人．
记成绩在内位同学分别为、 、 、 ，成绩在 的 3 位同学分别为、 、 ． 则从 7 人中任取 2 人，所有的基本事件有： 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 21 种， 其中事件所包含的基本事件有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 ，共 12 种， 故 .
18． (1)解：设 的公差为 d，因为， 的等比中项为，所以 ．

中，
，

平面 ABC，又因为
平面 ABC，所以
因为，所以 ．因为 ，所以
所以数列是首项为 2，公差为 2 的等差数列，故

，
(2)解：因为

所以

19． (1)证明：在正三棱柱

．

在正三角形 ABC 中，D 为AB 的中点，所以

，又因为

，

，

平面

，
所以 平面 ，又因为 平面 ，所以平面 平面 (2)解：由(1)可知， 平面 ，又因为 平面 ，所以 ， 在正三角形 ABC 中， ，在正三棱柱 中， 平面 ABC，
因为 平面 ABC，所以 ，所以 ，因为 ，

所以点 A 到平面ACD 的距离 ．

20． (1)解：因为 ，所以 ．
当 时， ，则 在 R 上单调递增；

当 时，令
则 在 ，
当 时，令
则 在 ，
(2)解：由(1)知，当

，解得 或 ，
上单调递增，在 上单调递减；
，解得 或 ，
上单调递增，在 上单调递减．
时， 或 ．

当 ，即 时，
在 上单调递减，在 上单调递增，
此时 在 上的最小值为 ；

当 ，即 时， 在 上单调递减，
此时 在 上的最小值为
21． (1)解：由题知 ， ， ， ，
由椭圆定义知，即 ，
又，所以椭圆 的标准方程为 .
(2)解：存在满足题意的直线 .
由题知直线 的斜率存在，设 的方程为 ， ， ，

联立
，
，整理得

，
其中 ，

∵
，∴
，
，即

，
化简得：

即 ，解得 ，或 .
当 时，直线经过点，不满足题意，故舍去 .
所以存在直线 满足题意，其方程为 .
22． (1)解：由 ，得 . 两边同乘，即 .

由 ，得曲线 的直角坐标方程为

(2)解：将 代入 ，得 ，

设 A，B 对应的参数分别为

则

所以 .

由参数的几何意义得
23． (1)解：不等式等价于 ，

当时，不等式化为 ，解得 ；

当时，不等式 化为，此不等式组无解；
当时，不等式 化为，此不等式组无解，
综上所述：不等式 的解集为 .

(2)解：∵ ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴函数的最小值为 1，即 ，∴ ．

∴ ，

当且仅当时，等号成立，∴的最小值是 16．