2023年高考数学数列的综合应用专项练习题(含答案解析).docx

2023 年高考数学-数列的通项、求和及综合应用专项 练习题(含答案解析)一、单选题1 (2022 全国 模拟预测)已知数列 an 的前 n 项和为Sn， a1 = 1， nan+1 = 2Sn， bn = (1)n an， 数列bn 的前 n 项和为Tn ，则T100 = ( )A 0 B 50 C 100 D 2525【答案】 Bn+1 n n n 1【解析】法一：由于 na = 2S ，则当n 2 时， (n 1)a = 2S ，n+1 n n a n a 1-，得 na (n 1)a = 2a ，即 an+1 = n + 1 ，易知 a2 = 2，n 1a a所以 a = a 2 3a2 3= 1 1 2nn 1n 1 a aa n = n (n 2)又 a1 = 1 满足 ，故 = n (n N* )，则bn = (1)n n，易知b + b = b + b = = b + b = 1 ，所以T = 50 .1 2 3 4 99 100 100n+1 n n n 1法二：由于 na = 2S ，则当n 2 时， (n 1) a = 2S ，-，得 na (n 1)a = 2a ，即 an+1 = an ，又易知 a2 = a1 ，n + 1 n n n + 1 n 2 1所以数列 为常数列，所以 = 1(a)1 = 1 ，所以 an = n ，则bn = (1)n n，易知b + b = b + b = = b + b = 1 ，所以T = 50 .1 2 3 4 99 100 100故选： B 2 (2022 黑龙江 哈尔滨市第六中学校高三期中)一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始 建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台， 自上而下一共 12 层， 每层的塔数均不少于上 一层的塔数， 总计 108 座已知其中10 层的塔数成公差不为零的等差数列， 剩下两层的塔数之和为 8，则第 11 层的塔数为( )A 17 B 18 C 19 D 20 【答案】 A19【解析】 设成为等差数列的其中 10 层的塔数为： a , a , , a ， 由已知得， 该等差数列为递增数1 2 10列，因为剩下两层的塔数之和为 8，故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔数必为 a ；10故 1 10 = 108 8 = 100， a + a = 20 ；10(a + a )2 1 10又由 a a = 9d ， d 0 ，且 d = N * ，所以，10 1+得， 2a = 20 + 9d ，得a = 10 + d，10 10 2由 a + a = 20 知a 20，1 10 1010 10 满足条件，所以， a10 = 19；又因为 a = N*，观察答案，当且仅当d = 2 时， a组成等差数列的塔数为： 1， 3， 5， 7， 9， 11， 13， 15， 17， 19；剩下两层的塔数之和为 8，只能为 2， 6.所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列：1， 2， 3， 5， 6， 7， 9， 11， 13， 15， 17， 19；其中第二层的 2 和第五层的 6 不组成等差数列， 满足题意，则第 11 层的塔数为 17.故答案选： A3 (2022 江苏 常熟市中学高三阶段练习)等差数列a 各项均为正数，首项与公差相等， n15 1 = 2 ，则 a 的值为( )a + a 2022k =1 k k +1A 9069 B 9079 C 9089 D 9099【答案】 D【解析】设等差数列an 的公差为d ，因为首项 a1与公差d 相等，所以 an = a1 +(n 1)d = nd，因为 1 = ak +1 ak = 1 ( a a )， 15 1 = 2ak + ak +1 ak +1 ak d k +1 k k =1 ak + ak +1所以 15 1 = 1 ( a a )= 1 ( 16d d ) = 3 d = 2 ，所以d = 9a + a d 16 1 d d 2k =1 k k +19所以 a = 2022 d = 2022 = 9099，2022 2故选： D4 (2022 浙江 绍兴市越州中学高三阶段练习)记 x表示不超过实数x 的最大整数，如1= 1，21.2= 1， 1.2= 2 ，设 a = log n，则 2x022 a = ( )n 8 ii=1A 5475 B 5479 C 5482 D 5485【答案】 D【解析】因为 a = log n，且log 8 = 1， log 82 = log 64 = 2， log 83 = log 512 = 3，n 8 8 8 8 8 8log 84 = log 4096 = 4，8 8所以 a = a = = a = 0， a = a = = a = 1，1 2 7 8 9 63a = a = = a = 2， a = a = = a = 3，64 65 511 512 513 2022所以 a + a + + a = 0根 7 = 0，1 2 7a + a + + a = 1根56 = 56，8 9 63a + a + + a = 2 根 448 = 896，64 65 511a + a + + a = 3根1511 = 4533，512 513 2022所以 2x022 a = 0 + 56 + 896 + 4533 = 5485 .ii=1故选： D.5 (2022 上海市洋泾中学高三阶段练习)设等比数列a , a , , a ， 首项 a = 1， 实系数一元二次1 2 5 1方程 a x2 + x +a = 0 的两根为x , x 若存在唯一的a (k = 1,2, ,5)，使得 x x 0,0 a2 共 ，且 x + x = , x x = 1，k k 4 1 2 a 1 2k由 x x = (x + x )2 4x x = 1 4 3，1 2 1 2 1 2 a2k1 1 1得 4 3, .a2 a2 k 7k k1 1所以 a2 共 ，7 k 43ABCD【解析】 5 = 5 = 1 9 =b 2b b + b5 5 1 91若 = 1 4a2 ， k k 4 4a2 1由求根公式可得 x x = = k 3，1 2 a ak k1解得 a2 1 .4 k1 17 k 7 k综上所述， a2 0 ，所以 a 1， a2019 . a2020 1，A S S2019 2020a 1a 12019 0 ，下列结论正确的是( )2020B a2019 . a2021 1 1 ，则 n 最大为 4038n【答案】 ABD【解析】对 A， a 1， a a 1，1 2019 2020 a 1， a 1 ，0 q 1，2019 2020a 1 n 0 ， S S ，故 A 正确；2020 2019 2020对 B， a a = a 2 1 ， a a 1 0 ，故 B 正确；2019 2021 2020 2019 2021对 C，因为等比数列a 的公比0 q 1 ，所以数列a 是递减数列，n 1 n因为 a 1， a 1， 因为 a2019 1， a2020 1，a q2019 1 ，故 n 1 2019 ，即n n2 nC a 16n1 + 1 2n【答案】 BCDB a 2n1 nD log a 4n1 2 2n1 3【解析】 a a = a2 a +1 = (a )2 + 0 ， a a ，n+1 n n n n 2 4 n+1 na 是递增数列，n7又 a1 = 1 ，所以 an 0， a2 = 2， a3= 5， a4 = 26，a 32， A 显然错误；3a = a2 +1 2a 22 a 2n a = 2n ， a 2n1， B 正确；n+1 n n n1 1 n对选项 C， a a2 (a2 )2 = a4，n+2 n+1 n n a a4 (a4 )4 = (a )42 ，依此类推：2n 2n2 2n4 2n4a (a )4 (a )42 (a )4n1 = 24n1，2n 2n2 2n4 224n1 = 164n2 ，下证 4n2 n 1，n = 1 时， 41 0，n = 2 时， 40 = 1 1，n = 3 时， 42 2，假设n = k 时， 4k 2 k 1成立， k 2，则n = k +1 时， 4k +12 = 4 . 4k 2 4(k 1) (k +1)1，所以对任意不小于 3 的正整数n， 4n2 n 1，所以 a = 164n2 16n1 ，又 a 是正整数，所以 a 16n1 +1， C 正确；2n 2n 2n对选项 D，由选项 C 得a 24n1 ，所以 log a log 24n1 = 4n1， D 正确2n 2 2n 2故选： BCD11 (2022 山西临汾 高三阶段练习)已知数列a 的前n 项和为S ，则( )n nA若S = 2n2 n ，则a 是等差数列 n nB若S = 2n+1 1 ，则a 是等比数列 n nC若a 是等差数列，则S = 2023an 2023 1012D若an 是等比数列，且a1 0， q 0 ，则 S2n1 . S2n+1 S2(2)n【答案】 AC【解析】对于 A，若S = 2n2 n ，则a = 1，n 1当n 2 时， a = S S = 4n 3 ，显然n = 1 时也满足a = 4n 3，n n n1 n故 a = 4n 3 ，由 a a = 4 ，则a 为等差数列，故 A 正确；n n n 1 n对于 B，若S = 2n+1 1 ，则 a = 3，n 1a = S S = 4， a = S S = 8，2