2023年高考数学数列的综合应用专项练习题(含答案解析).docx

2023 年高考数学-----数列的通项、求和及综合应用专项 练习题(含答案解析)
一、单选题
1． (2022· 全国 · 模拟预测)已知数列 an 的前 n 项和为Sn， a1 = 1， nan+1 = 2Sn， bn = (−1)n an， 数列bn 的前 n 项和为Tn ，则T100 = ( )
A． 0 B． 50 C． 100 D． 2525
【答案】 B
n+1 n n n −1
【解析】法一：由于 na = 2S ①，则当n 2 时， (n − 1)a = 2S ②，
n+1 n n a n a 1
①-②，得 na −(n − 1)a = 2a ，即 an+1 = n + 1 ，易知 a2 = 2，
n 1
a a
所以 a = a 2 3
a
2 3
= 1 1 2
n
n − 1
n 1 a a
a
n = n (n 2)．
又 a1 = 1 满足 ，故 = n (n N* )，则bn = (−1)n n，
易知b + b = b + b = = b + b = 1 ，所以T = 50 .
1 2 3 4 99 100 100
n+1 n n n −1
法二：由于 na = 2S ①，则当n 2 时， (n − 1) a = 2S ②，
①-②，得 na −(n − 1)a = 2a ，即 an+1 = an ，又易知 a2 = a1 ，
n + 1 n n n + 1 n 2 1
所以数列 为常数列，所以 = 1(a)1 = 1 ，所以 an = n ，则bn = (−1)n n，
易知b + b = b + b = = b + b = 1 ，所以T = 50 .
1 2 3 4 99 100 100
故选： B ． 2． (2022· 黑龙江 · 哈尔滨市第六中学校高三期中)一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始 建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台， 自上而下一共 12 层， 每层的塔数均不少于上 一层的塔数， 总计 108 座．已知其中10 层的塔数成公差不为零的等差数列， 剩下两层的塔数之
和为 8，则第 11 层的塔数为( )

A． 17 B． 18 C． 19 D． 20 【答案】 A

1
9
【解析】 设成为等差数列的其中 10 层的塔数为： a , a , , a ， 由已知得， 该等差数列为递增数
1 2 10
列，因为剩下两层的塔数之和为 8，故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第
十二层塔数必为 a ；
10
故 1 10 = 108 − 8 = 100， a + a = 20 ①；
10(a + a )

2 1 10
又由 a − a = 9d ②， d > 0 ，且 d = N * ，所以，
10 1
①+②得， 2a = 20 + 9d ，得a = 10 + d，
10 10 2
由 a + a = 20 知a < 20，
1 10 10
10 10 满足条件，所以， a10 = 19；
又因为 a = N*，观察答案，当且仅当d = 2 时， a
组成等差数列的塔数为： 1， 3， 5， 7， 9， 11， 13， 15， 17， 19；
剩下两层的塔数之和为 8，只能为 2， 6.
所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列：
1， 2， 3， 5， 6， 7， 9， 11， 13， 15， 17， 19；其中第二层的 2 和第五层的 6 不组成等差数列， 满足题意，则第 11 层的塔数为 17.
故答案选： A
3． (2022· 江苏 · 常熟市中学高三阶段练习)等差数列a }各项均为正数，首项与公差相等， n
15 1 = 2 ，则 a 的值为( )
a + a 2022
k =1 k k +1
A． 9069 B． 9079 C． 9089 D． 9099
【答案】 D
【解析】设等差数列an }的公差为d ，因为首项 a1与公差d 相等，所以 an = a1 +(n −1)d = nd，
因为 1 = ak +1 − ak = 1 ( a − a )， 15 1 = 2
ak + ak +1 ak +1 − ak d k +1 k k =1 ak + ak +1
所以 15 1 = 1 ( a − a )= 1 ( 16d − d ) = 3 d = 2 ，所以d = 9
a + a d 16 1 d d 2
k =1 k k +1
9
所以 a = 2022 d = 2022 = 9099，
2022 2
故选： D．
4． (2022· 浙江 · 绍兴市越州中学高三阶段练习)记 [x]表示不超过实数x 的最大整数，如[1]= 1，

2
[1.2]= 1， [−1.2]= −2 ，设 a = [log n]，则 2x022 a = ( )．
n 8 i
i=1
A． 5475 B． 5479 C． 5482 D． 5485
【答案】 D
【解析】因为 a = [log n]，且log 8 = 1， log 82 = log 64 = 2， log 83 = log 512 = 3，
n 8 8 8 8 8 8
log 84 = log 4096 = 4，
8 8
所以 a = a = = a = 0， a = a = = a = 1，
1 2 7 8 9 63
a = a = = a = 2， a = a = = a = 3，
64 65 511 512 513 2022
所以 a + a + + a = 0根 7 = 0，
1 2 7
a + a + + a = 1根56 = 56，
8 9 63
a + a + + a = 2 根 448 = 896，
64 65 511
a + a + + a = 3根1511 = 4533，
512 513 2022
所以 2x022 a = 0 + 56 + 896 + 4533 = 5485 .
i
i=1
故选： D.
5． (2022· 上海市洋泾中学高三阶段练习)设等比数列a , a , , a ， 首项 a = 1， 实系数一元二次
1 2 5 1
方程 a x2 + x +a = 0 的两根为x , x ．若存在唯一的a (k = 1,2, ,5)，使得 x − x < 3，则公比q
k k 1 2 k 1 2
的取值可能为( )．
A． 1 B． 1 C． 2 D． 3 4 2 3 4
【答案】 B
【解析】依题意，等比数列 a , a , , a ，首项 a = 1 ，所以a 才 0，
1 2 5 1 k
由于实系数一元二次方程a x2 + x + a = 0 的两根为x , x ，
k k 1 2
1 1
①若编 = 1− 4a2 > 0,0 < a2 共 ，且 x + x = − , x x = 1，
k k 4 1 2 a 1 2
k
由 x − x = (x + x )2 − 4x x = 1 − 4 < 3，
1 2 1 2 1 2 a2
k
1 1 1
得 − 4 < 3, < 7,a2 > .
a2 a2 k 7
k k
1 1
所以 < a2 共 ，
7 k 4

3
A．
B．
C．
D．
【解析】 5 = 5 = 1 9 =
b 2b b + b
5 5 1 9
1
①若 = 1− 4a2 < 0, a2 > ， k k 4

4a2 −1
由求根公式可得 x − x = = k < 3，
1 2 a a
k k
1
解得 < a2 < 1 .
4 k
1 1
7 k 7 k
综上所述， < a2 < 1 ，注意到选项中的q > 0 ，所以 < a <1 (*)，

1 1 1 1 1
4 1 2 4 3 16 4 64 5 256 k .
当 q = 时， a = 1,a = , a = , a = , a = ，没有符合题意的 a

1 1 1 1 1
当 q = 时， a = 1,a = , a = , a = , a = ，
2 1 2 2 3 4 4 8 5 16
其中 a = 符合(*)，具有唯一性， B 选项正确.
1

2 2
2 2 4 8 16
当 q = ， a = 1,a = , a = , a = , a = ，
3 1 2 3 3 9 4 27 5 81
其中 a = , a = 符合(*)，没有唯一性.
2 4

2 3 3 9
3 3 9 27 81
当 q = 时， a = 1,a = , a = , a = , a = ，
4 1 2 4 3 16 4 64 5 256
其中 a = , a = , a = 符合(*)，没有唯一性.
3 9 27

2 4 3 16 4 64
故选： B
6．(2022· 全国 · 高三阶段练习)已知等差数列an}，bn}的前 n 项和分别为Sn，Tn，且 T(S)n = n
a
则 5 = ( )
b
5

4


1

2


7

12


5

8


8

13

【答案】 B

a 2a a + a



= 9
S
(b + b ). 9 T9 ，
1 9 2

S 29 + 3 21 7
由题意可得 9 = = =
T 49 36 12 .
9
故选： B

n+1 2an , an 0 1 2 n
7． (2022· 广西 · 南宁市第十九中学模拟预测(文))数列a 满足 a = −4， n 1
a = n n , n N* 则满足 a + a + + a 2018 的n 的最小值为( )
a +1,a 0

A． 16 B． 15 C． 14 D． 13 【答案】 A
【解析】因为当 a 0 时， a = a + 1， a = −4，
n n+1 n 1
所以 a = −3,a = −2,a = −1,a = 0,a = 1，
2 3 4 5 6
当 a 0 时， a = 2a ，
n n+1 n
所以当 n 6 时， an 是以 a6 = 1， q = 2 的等比数列，故an = a6 qn−6 = 2n−6，
所以 a1 + a2 + + an = −4 − 3 − 2 − 1+ 0 + 20 + 21 + + 2n−6 = − 10 + = 2n−5 − 11，
故 2n−5 − 11 2018 ，即 2n−5 2029，
( )

因为210 = 1024,2 11 = 2048， n N*，所以n −5 11，即 n 16，
所以n 的最小值为16 .
故选： A.
8． (2022· 福建省福州第十一中学高三期中)已知定义在 0, + )上的函数 f(x )满足
f (x ) = 3f (x + 2) ，当x 0,2 ) 时， f (x)= −3x2+ 6x ，设 f (x )在x 2n − 2,2 n)上的最大值为 a
n
(n N *)，且 an 的前n 项和为Sn ，则Sn = ( )
A． 9 1 − 1 B． 4 − 1 C． 3 − 1 D． 4 − 1
2 3n 2n−2 3n 2n−1
【答案】 A
【解析】当n = 1 时， f (x)= −3x2 + 6x = −3(x −1)2 + 3
f (x) 在0,2 )上的最大值为： a = f (1)= 3；
1
当n = 2 时，由 f (x) = 3f (x + 2) f (x) = 1 f (x − 2)，
3
所以 f (x) 在 2, 4) 上的最大值即1 f(x)在 0,2 )上的最大值为： 1 f (1) = 1；
3 3
同理，当n = 3 时， f (x) 在4,6 )上的最大值即 1 f (x)在 0,2 )上的最大值为： 1 f (1) = 1；
32 32 3
当n = 4 时， f (x) 在 6,8) 上的最大值即1 f (x)在 0,2 )上的最大值为： 1 f (1) = 1；
33 33 9

5

所以数列{an } 为以3 为首项， 3(1) 为公比的等比数列，所以： Sn = = 2(9)(|(1 − 3n(1) ))|，
故选： A
二、多选题
9． (2022· 江苏盐城 · 模拟预测)设等比数列 {an }的公比为 q，其前 n 项和为Sn ，前 n 项积为Tn，

6
并满足条件 a1 > 1， a2019 . a2020 > 1，
A． S < S
2019 2020

a − 1
a − 1
2019 < 0 ，下列结论正确的是( )
2020

B． a2019 . a2021 − 1 < 0
C． T 是数列{T }中的最大值
2020 n
D．若T > 1 ，则 n 最大为 4038．
n
【答案】 ABD

【解析】对 A，∵ a > 1， a a > 1，
1 2019 2020
∴ a > 1， a < 1 ，∴0 < q < 1，
2019 2020

a − 1 n
< 0 ，且数列 {a }为等比数列，
2020

因为 a > 0 ，∴ S < S ，故 A 正确；
2020 2019 2020
对 B，∵ a a = a 2 < 1 ，∴ a a − 1 < 0 ，故 B 正确；
2019 2021 2020 2019 2021
对 C，因为等比数列{a }的公比0< q < 1， a > 1 ，所以数列{a }是递减数列，
n 1 n
因为 a > 1， a < 1 ，所以T 是数列{T }中的最大项，故 C 错误；
2019 2020 2019 n
对 D， Tn = a1 . a1q1 . a1q2 ...a1qn−1 = a1n . q n(2(n−)1) = (|(a1q n2(−)1 ))|n > 1， 因为 a2019 > 1， a2020 < 1，故 a1q2018 > 1，
a q2019 < 1 ，故 n −1 < 2019 ，即n < 4039 ，故 n 最大为 4038，故 D 正确．
1 2
故选： ABD．
10． (2022· 江苏南京 · 模拟预测)已知数列 {a }满足 a = 1， a = a 2 + 1 ，则( )
n 1 n+1 n

A． a > n2 n
C． a > 16n−1 + 1 2n
【答案】 BCD

B． a > 2n−1 n
D． log a > 4n−1 2 2n

1 3
【解析】 a − a = a2 − a +1 = (a − )2 + > 0 ，∴ a > a ，
n+1 n n n n 2 4 n+1 n

{a } 是递增数列，
n

7

又 a1 = 1 ，所以 an > 0， a2 = 2， a3= 5， a4 = 26，

a 32， A 显然错误；
3

a = a2 +1> 2a > 22 a > > 2n a = 2n ，∴ a > 2n−1， B 正确；
n+1 n n n−1 1 n
对选项 C， a > a2 > (a2 )2 = a4，
n+2 n+1 n n
∴ a > a4 > (a4 )4 = (a )42 ，依此类推：
2n 2n−2 2n−4 2n−4
a > (a )4 > (a )42 > > (a )4n−1 = 24n−1，
2n 2n−2 2n−4 2
24n−1 = 164n−2 ，下证 4n−2 > n −1，
n = 1 时， 4−1 > 0，
n = 2 时， 40 = 1 > 1，
n = 3 时， 42 > 2，
假设n = k 时， 4k −2 > k −1成立， k > 2，
则n = k +1 时， 4k +1−2 = 4 . 4k −2 > 4(k −1) > (k +1)−1，
所以对任意不小于 3 的正整数n， 4n−2 > n −1，
所以 a = 164n−2 > 16n−1 ，又 a 是正整数，所以 a > 16n−1 +1， C 正确；
2n 2n 2n
对选项 D，由选项 C 得a > 24n−1 ，所以 log a > log 24n−1 = 4n−1， D 正确．
2n 2 2n 2
故选： BCD．
11． (2022· 山西临汾 · 高三阶段练习)已知数列a }的前n 项和为S ，则( )
n n
A．若S = 2n2 − n ，则a }是等差数列 n n
B．若S = 2n+1 −1 ，则a }是等比数列 n n
C．若a }是等差数列，则S = 2023a
n 2023 1012
D．若an }是等比数列，且a1 > 0， q > 0 ，则 S2n−1 . S2n+1 > S2(2)n
【答案】 AC
【解析】对于 A，若S = 2n2 − n ，则a = 1，
n 1
当n > 2 时， a = S − S = 4n − 3 ，显然n = 1 时也满足a = 4n − 3，
n n n−1 n
故 a = 4n − 3 ，由 a − a = 4 ，则a }为等差数列，故 A 正确；
n n n −1 n

对于 B，若S = 2n+1 −1 ，则 a = 3，
n 1

a = S − S = 4， a = S − S = 8，
2