应用微分中值定理的常见证明方法修改后.doc

专题研究：应用微分中值定理的常见证明方法
一 至少存在一点，使得的命题。
其思路有二：
（1） 验证在上满足罗尔中值定理条件(Roll theory),由该定理得证。
（2） 验证为的最值点或极值点，用费马定理（Format theory）得到命题证明。
例1 设函数在上可导，且有，则在内至少存在一个，使得
解：由题设，可知异号，不妨设<0, >0
,由极限的保号性可得：
，当时有
同理：
，当时有
又因为在上连续，在上必有最小值，由以上可知最小值必在内。设，由费马定理可知
例2 若函数在内具有二阶导数，且，其中
，证明：在内至少有一点，使得：
证：依题意，可对在分别应用罗尔中值定理，故存在 ， 。则在上满足罗尔中值定理条件，所以在内至少有一点使得：。
例3 已知函数在上连续，在内存在，又连结， 两点的直线交曲线于，且，试证：在内至少存在一个,使得：
证：依题意，可对在分别应用拉格朗日中值定理(Lagrange theory) ，则有：

因为三点共线，所以：
故：，所以在上满足罗尔定理
于是存在一个，使得：
练习: 设在内连续, 在内可导，且，则至少存在一点，使得：
分析：要证结论成立，只需证明：

，做辅助函数，利用罗尔定理。
二 至少存在一点，使得的命题。
其证明思路如下：
（1）做辅助函数；（2）验证满足罗尔定理条件；（3）由定理结论得出证明。
构造辅助函数的常用方法：
（一） 原函数法。
（1） 将欲证结论中的换成；
（2） 通过恒等变形（一般两边求不定积分）将结论化为以消除导数符号的形式；
（3） 利用观察法或积分法求出原函数（一般取积分常数为零）；
（4） 移项，使等式一边为0，则另一边为所求辅助函数。
下面以拉格朗日定理中的证法的辅助函数做法为例：
令（两边求不定积分）
令 则辅助函数
例1 设在上连续，在上可导，且，证明：至少存在一点，使得： 。
分析：可作辅助函数：
例2 设在上连续，在上可导，且，证明：至少存在一点，使得：。
分析：令，则要证结论
所以： 若令
则可作辅助函数：
练习：1.在上可导，且，证明：至少存在一点，使得：。
分析：令，则要证结论
所以： 若令
则可作辅助函数：
2.在上二阶可导，且，证明：至少存在一点，使得：。
分析本题结论：

令
积分
故可做辅助函数
3.（05年数学（一）考研试题18）已知函数在上连续，在内可导，且，证明：
（1）存在使得；
（2）存在两个不同的点使得.
证：（1）令，则在上连续，且
，
所以存在使得，即
（2） 根据拉格朗日中值定理，存在，使得：

从而
4. (练习): 设函数在上连续，在内可导，且，证明：
存在两个不同的点使得.
证：令，则在上连续，且，
所以存在使得，即
根据拉格朗日中值定理，存在，使得：

从而
思考题：设在上可导，且。证明：对任意正数，必存在内的两个不同的数与，使。
证 设，令，则。因且在[0, 1]上连续，由介值定理存在，使得。现在在[0,c]上利用拉格朗日中值定理，存在，有

同理在[c,1]上利用拉格朗日中值定理存在，有

于是
。命题得证。

（二） 常数值法（此法适用于常数易分离的命题）
（1） 将常数部分令作。
（2） 恒等变形，使等式一端为及构成的代数式，另一端为及构成的代数式。
（3） 分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式。若是，只要把任意端点或改写为，相应的函数值或变为，则端点表达式即为辅助函数。
例1 设在上连续，在上可导，证明：至少存在一点，使得：
分析：令
故可作辅助函数
例2设在上连续，在上可导，证明：至少存在一点，使得：
分析: 要证原结论
令
故可作辅助函数
例3设在上存在，，试证至少存在一点，使得：
证：令上式左端为，并同乘以，可得：

令也可令：
则：
显然在上满足罗尔定理，于是分别存在使得：

又因为：

由题设及以上证明可知：在上满足罗尔定理，因此至少存在一点使得： 即：=0
所以命题得证。
练习：设在上可导，且，证明：至少存在一点，使得： （令）
三 在内至少存在，且满足某种关系的命题。
其思路是：或是用两次拉格朗日中值定理，或是一次拉格朗日中值定理，一次柯西中值定理，或是两次柯西中值定理，然后再将所得结果做某种运算。
证明中的辅助函数的做法比较简单，仅将欲证结论中的或看作变量，做某种简单的恒等变形即可看出。
例1 设函数在上连续，在上可导，且，试证：存在，使得
分析： 将看作变量，则可写成：
，可作辅助函数为
证明：令，由题设条件可知：在上满足拉格朗日中值定理，于是存在使得：
因为： 上式变为： （1）
令，则在上满足拉格朗日中值定理，于是存在使得： （2）
由（1）（2）可知：
例2 设函数在上连续，在上可导，且，试证：存在，使得：
分析：， 将看作变量，则可写成：
可作辅助函数
证明：令，则由题设可知：在满足柯西中值定理，于是存在
使得： （1）
又在满足拉格朗日中值定理，于是存在使得：
（2）
由（1）（2）及题设条件，，即得：
四 微分中值定理的其他应用
例1 求极限：
解：对在上用拉格朗日中值定理即可得：
原式
例2 积分估值：设在上连续，且 试证
解：若，不等式显然成立。若，存在使得
在及上分别用拉格朗日定理有：
从而 再利用 即得所证。
例3 判定方程根的存在性：设在上可导，，且，则方程在内至少有两个根。
解：不妨设，由导数定义知，，使得，使得由连续函数的介值定理，，使得，在区间上分别应用罗尔定理即可证得结论。
例4 证明不等式：设，求证：
证：在区间上对函数使用中值定理，并注意在区间上是严格单调递减函数即可证得结论。
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