2011-2012全国各中考数学试题分考点解析汇编-一元二次方程.doc

2011-2012全国各中考数学试题分考点解析汇编一元二次方程
一、选择题
1.（2011重庆江津4分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A、＜2 B、＞2 C、＜2且≠l D、＜﹣2
【答案】C。
【考点】一元二次方程定义和根的判别式，解一元一次不等式。
【分析】利用一元二次方程一元二次方程定义－1≠0和根的判别式△=4﹣4（﹣1）列不等式，解不等式求出的取值范围：。故选C。
2.（2011浙江舟山、嘉兴3分）一元二次方程的解是
（A） （B） （C）或 （D）或
【答案】C。
【考点】因式分解法解一元二次方程。
【分析】用因式分解法把一元二次方程转化成两个一元一次方程=0或﹣1=0，求出方程的解即可。故选C。
3.（2011辽宁本溪3分）一元二次方程的根
A、 B、 C、 D、
【答案】D。
【考点】解一元二次方程。
【分析】解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法。本题运用配方法，将原方程左边写出完全平方式即可求得：。故选D。
4．（2011广西百色3分）关于的方程的一个根为1，则的值为
A.1 B. . C.1或. D.1或－.
【答案】D。
【考点】方程根的定义，解一元二次方程。
【分析】把1代入，方程，得，解得＝1或－。故选D。
5.（2011广西贵港3分）若关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0的一个根为－1，则另一个根为
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】C。
【考点】一元二次方程的根和解一元二次方程。
【分析】根据一元二次方程的根的定义，将1代入方程，即可求出m＝1，从而得到一元二次方程，解之
即得另一根为2。故选C。
6.（2011广西柳州3分）方程2－4＝0的解是
A．＝2 B．＝－2 C．＝±2 D．＝±4
【答案】C。
【考点】直接开平方法解一元二次方程。
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的方法：先把方程变形为，再把方程两边直接开方，然后利用二次根式的性质化简得到方程的解：。故选C。
7.（2011广西钦州3分）下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是
A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】根据一元二次方程根的判别式，直接得出结果；A．方程的△＝－4＜0，无实数根，选项错误；B．方程的△＝0，有两个相等的实数根，选项错误；方程C．的△＝－3＜0，无实数根，选项错误； D．方程的△＝8＞0，有两个不相等的实数根，选项正确。故选D。
8.（2011黑龙江哈尔滨3分）若=2是关于的一元二次方程2－m＋8=0的一个解．则m的值是．
(A) 6 (B) 5 (C) 2 (D)－6
【答案】A。
【考点】一元二次方程的解。
【分析】把=2代入方程2－m＋8=0即可得到一个关于m的一元一次方程4－2m＋8=0，，解之即得：m=6。故选A。
9.（2011湖南湘潭3分）一元二次方程（﹣3）（﹣5）=0的两根分别为
A、3，﹣5 B、﹣3，﹣5 C、﹣3，5 D、3，5
【答案】D。
【考点】因式分解法解一元二次方程。
【分析】由（﹣3）（﹣5）=0得﹣3=0或﹣5=0，解得1=3，2=5。故选D。
10.（2011湖南张家界3分）已知1是关于的一元二次方程的一个根，则的值是
A、1 B、—1 C、0 D、无法确定
【答案】B。
【考点】一元二次方程的解，解一元一次方程。
【分析】把=1代入方程，即可得到一个关于的方程：（－1）＋1＋1=0，解得：=－1。故选B。
11.（2011江苏苏州3分）下列四个结论中，正确的是
A．方程有两个不相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根
D．方程（其中a为常数，且）有两个不相等的实数根
【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可：
A、整理得：，△＝0，∴原方程有2个相等的实数根，选项错误；
B、整理得：，△＜0，∴原方程没有实数根，选项错误；
C、整理得：，△＝0，∴原方程有2个相等的实数根，选项错误；
D、整理得：，当时， ，∴原方程有2个不相等的实数根，选项正确。
故选D。
12.（2011江苏南通3分）若3是关于方程x2－5x＋c＝的一个根，则这个方程的另一个根是
A．－2 B．2 C．－5 D．5
【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数，所以有。故选B。
13.（2011江苏泰州3分）一元二次方程的根是
A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】因式分解法解一元二次方程。
【分析】利用利因式分解法解一元二次方程的求解方法，直接得出结果：
。故选C。
14.（2011山东济宁3分）已知关于的方程2＋＋=0的一个根是－（≠0），则－值为
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】 A。
【考点】一元二次方程的根。
【分析】∵－是2＋＋=0的一个根，∴（－）2＋（－）＋=0－＋1=0 = ＋1－=-1。故选A。
15.（2011山东潍坊3分）关于的方程的根的情况描述正确的是.
A．为任何实数，方程都没有实数根
B．为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C．为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数
根三种
【答案】B。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，然后据此判别，从而得出答案；∵一元二次方程根的判别式为△=（2k）2－4×（k－1）=4k2－4k+4=（2k﹣1）2+3＞0，∴不论k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选B。
16.（2011山东威海3分）关于x的一元二次方程2＋（－2）＋＋1=0有两个相等的实数根，则的
值是
A．0 B．8 C．4±2 D． 0或8
【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】由一元二次方程2＋（－2）＋＋1=0有两个相等的实数根知，它的根的判别式等于0，
即。故选D。
17.（2011山东淄博4分）已知是方程的一个根，则的值为
A． B． C．－1 D．1
【答案】D。
【考点】方程根的定义，分式化简，代数式代换。
【分析】∵，
又∵是方程的一个根，∴，即。∴。故选D。
18. （2011江西省A卷3分）已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是
A、1 B、2 C、﹣2 D、﹣1
【答案】C。
【考点】一元二次方程根的定义和解一元二次方程。
【分析】∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，∴1+b﹣2=0，∴x2+x﹣2=0。则方程的另一个根是：﹣2。故选C。
2.（2011江西南昌3分）已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是
A.1 B.2 C.﹣2 D.﹣1
【答案】C。
【考点】一元二次方程根的定义和解一元二次方程。
【分析】∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，∴1+b﹣2=0，∴x2+x﹣2=0。则方程的另一个根是：﹣2。故选C。
3.（2011湖北武汉3分）若1，2是一元二次方程2＋4＋3=0的两个根，则12的值是
 A.4.  B.3.  C.-4.  D.－3.
【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得12=。故选B。
4.（2011湖北荆州、荆门3分）关于的方程有两个不相等的实根、，且有
，则的值是 
A. B. C. 或 D.
【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式。
【分析】依题意△＞0，即，即，∴。
∵由一元二次方程根与系数的关系，得＋=，·=，
且
∴，解并检验，得
又，∴。故选B。
5.（2011湖北咸宁3分）若关于的方程的一个根为，则另一个根为
A． B． C．1 D．3
【答案】D。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】设方程另一个根为1，根据一元二次方程根与系数的关系得到1+（﹣1）=2，解此方程即得1=3。
故选D。
6.（2011湖北恩施3分）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为
A、x1=1，x2=3 B、x1=﹣2，x2=3 C、x1=﹣3，x2=﹣1 D、x1=﹣1，x2=﹣2
【答案】D。
【考点】换元法解一元二次方程。
【分析】设y=2x+5，方程可以变为 y2﹣4y+3=0，∴y1=1，y2=3。
当y=1时，即2x+5=1，解得x=﹣2；
当y=3时，即2x+5=3，解得x=﹣1，
所以原方程的解为：x1=﹣2，x2=﹣1。
故选D。
7.（2011内蒙古包头3分）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是
A、有两个不等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定
【答案】B。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】计算△=b2﹣4ac，然后根据△的意义进行判断根的情况：
∵△=b2﹣4ac=12﹣4•1•=0，∴原方程有两个相等的实数根。故选B。
8.（2011四川成都3分）已知关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，则下列关于判别式n2﹣4mk的判断正确的是
A、n2﹣4mk＜0 B、n2﹣4mk=0 C、n2﹣4mk＞0 D、n2﹣4mk≥0
【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】根据一元二次方程根的判别式直接得到答案：
∵关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，
∴△=n2﹣4mk≥0。故选D。
9.（2011四川自贡3分）已知是方程的两个实数根，则的值等于
A． B．6 C． 10 D．
【答案】C。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。
【分析】∵是方程的两个实数根，∴，。
∴。故选C。
10.（2011四川攀枝花3分）一元二次方程x（x﹣3）=4的解是
A、x=1 B、x=4 C、x1=﹣1，x2=4 D、x1=1，x2=﹣4
【答案】C。
【考点】因式分解法解一元二次方程。
【分析】把方程化为右边为0的形式，然后把左边再分解因式，即可得到答案：
∵x（x﹣3）=4，∴x2﹣3x﹣4=0，∴（x﹣4）（x+1）=0，
∴x﹣4=0或x+1=0，∴x1=4，x2=﹣1。故选C。
11.（2011四川南充3分）方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是
A、2 B、3 C、﹣1，2 D、﹣1，3
【答案】D。
【考点】解一元二次方程。
【分析】解出方程，对照所给答案，选出正确的即可：
（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，
∴（x+1）（x﹣2﹣1）=0，即（x+1）（x﹣3）=0，
∴x+1=0，或x﹣3=0，∴x1=﹣1，x2=3。故选D。
12.（2011甘肃兰州4分）下列方程中是关于的一元二次方程的是
A. B. C. D.
【答案】C。
【考点】一元二次方程的定义。
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；（4）含有一个未知数。由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案：
A、不是整式方程，故本选项错误；
B、当=0时，方程就不是一元二次方程，故本选项错误；
C、由原方程，得，符合一元二次方程的要求，故本选项正确；
D、方程中含有两个未知数；故本选项错误。故选C。
13.（2011甘肃兰州4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为
A、（x+1）2=6 B、（x+2）2=9 C、（x﹣1）2=6 D、（x﹣2）2=9
【答案】C。
【考点】解一元二次方程的配方法。
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方。
由原方程移项，得x2﹣2x=5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x2﹣2x+1=6
∴（x﹣1）2=6。故选C。
14.（2011青海省3分）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是
A． k≥4 B. k≤4 C. k＞4 D . k=4
【答案】B。
【考点】一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式。
【分析】∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，∴b2－4ac=42－4×1×k≥0。
解得，k≤4，故选B。
15.（2011新疆乌鲁木齐4分）关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为
A． B．0 C．1 D．或1
【答案】A。
【考点】一元二次方程的解，一元二次方程的定义。
【分析】把x=0代入方程得：|a|－1=0，∴a=±1。
∵a－1≠0，∴a=－1．故选A。
16.（2011安徽省4分）一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是
A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2
【答案】D。
【考点】一元二次方程的根。
【分析】解出一元二次方程，直接得出结果。
17.（2011辽宁朝阳3分）用配方法解一元二次方程x2－4x＋2＝0时，可配方得 ．
A. (x－2)2＝6 B. (x＋2)2＝6 C. (x－2)2＝2 D. (x＋2)2＝2
【答案】C。
【考点】配方法解一元二次方程，完全平方公式。
【分析】∵，∴C正确。故选C。
18.（2011辽宁盘锦3分）一元二次方程x2－2x＝0的解是
A. x1＝0，x2＝2 B. x1＝1，x2＝2
C. x1＝0，x2＝－2 D. x1＝1，x2＝－2
【答案】A。
【考点】解一元二次方程。
【分析】解出一元二次方程，作出判断：。故选A。
19. （2011云南昆明3分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+4=0的两根，则x1+x2与x1•x2的值分别是
A、﹣，﹣2 B、﹣，2 C、，2 D、，﹣2
【答案】C。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=－=－，x1•x2= =。故选C。
20.（2011贵州黔南4分）二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的一个解，另一个解=
A、1 B、 C、 D、0
【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，，而，所以。故选B。
21.（2011贵州黔东南4分）若、是一元二次方程的两根，则的值为
A、2010 B、2011 C、 D、
【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，代数式求值。
【分析】∵、是一元二次方程的两根，∴＋＝2011。·＝1。
∴。故选B。
22.（2011福建福州4分）一元二次方程（﹣2）=0根的情况是
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、只有一个实数根 D、没有实数根
【答案】A。
【考点】一元二次方程根的判别式或解一元二次方程。
【分析】原方程变形为：2﹣2=0，∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根。
故选A。本题也可直接求出方程的两个根作答。
二、填空题
1.（2011上海4分）如果关于的方程（为常数）有两个相等实数根，那么＝ ▲ ．
【答案】１。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】根据一元二次方程根的判别式的送别方法，由方程（为常数）有两个相等实数根，得，解得。
2.（2011浙江衢州4分）方程2﹣2=0的解为　 ▲ 　．
【答案】1=0 或2=2。
【考点】因式分解法解一元二次方程。
【分析】把方程的左边分解因式得（﹣2）=0，得到=0或 ﹣2=0，求出方程的解1=0 或2=2。
3.（2011广西来宾3分）已知一元二次方程2+m﹣2=0的两个实数根分别为1，2，则1•2=　 ▲ 　．
【答案】－2。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得：1•2=。
4.（2011湖南娄底4分）如果方程2+2+=0有两个相等的实数根，则实数的值为　 ▲ 　．
【答案】1。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵方程2+2+=0有两个相等的实数根，∴△=22﹣4=0，∴=1。
5.（2011湖南株洲3分）孔明同学在解一元二次方程时，正确解得，，则的值
为 ▲ ．
【答案】2。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据两根，，得出两根之积求出的值即可：。
6.（2011江苏苏州3分）已知a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式
的值等于 ▲ ．
【答案】－1。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，等量代换。
【分析】∵a、b是一元二次方程的两个实数根，∴。
∴。
7.（2011江苏常州、镇江2分）已知关于的方程的一个根为2，则 ▲ ，另一个根是 ▲ 。
【答案】1， －3。
【考点】一元二次方程的根和解一元二次方程。
【分析】把2代入求出，从而求出另一个根是－3。
8.（2011江苏淮安3分）一元二次方程的解是 ▲ .
【答案】±2。
【考点】直接开平方法解一元二次方程。
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的基本方法：经过移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解：由。
9.（2011江苏徐州3分）若方程有两个相等的实数根,则 ▲
【答案】。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】根据一元二次方程根的判别式，要方程有两个相等的实数根，即要，即 ，解得。
10. （2011山东滨州4分）若＝2是关于的方程2－－2＋5＝0的一个根，则的值为　 ▲ ．
【答案】。
【考点】一元二次方程的解和解一元二次方程。
【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把＝2代入方程，即可得到一个关于的方程，即可求得的值：把＝2代入方程2－－2＋5＝0得4－2－2＋5＝0，解得＝。
11.（2011山东德州4分）若1，2是方程2+﹣1=0的两个根，则12+22=　 ▲ 　．
【答案】3。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，代数式变换。
【分析】先根据根与系数的关系求出1+2和1•2的值，再利用完全平方公式对所求代数式变形，然后把1+2和1•2的值整体代入计算即可：∵1，2是方程2+﹣1=0的两个根，∴1+2=，1•2=。∴12+22=（1+2）2﹣21•2=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=1+2=3。
12.（2011山东济南3分）方程2－2＝0的解为 ▲ ．
【答案】=0或=2。
【考点】解一元二次方程。
【分析】。
13.（2011山东泰安3分）方程22＋5－3＝0的解是 ▲ ．
【答案】1=－3，2=。
【考点】因式分解法解一元二次方程。
【分析】原方程可化为：（＋3）（2－1）＝0，∴＋3＝0或2－1＝0。∴方程的解是1=－3，2=。
14.（2011山东淄博4分）方程2―2=0的根是 ▲ ．
【答案】1=，2=－。
【考点】解一元二次方程。
【分析】解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程
有四种解法：直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法。本题利用直接开平方法可求。
15. （2011内蒙古呼伦贝尔3分）一元二次方程的解为 ▲ 。
【答案】。
【考点】因式分解法解一元二次方程。
【分析】。
16.（2011四川资阳3分） 一元二次方程x2+x=0的两根为 ▲ ．
【答案】x1=0，x2=－1。
【考点】因式分解法解一元二次方程。
【分析】。
17.（2011四川达州3分）已知关于x的方程x2﹣mx+n=0的两个根是0和﹣3，则m= ▲ ，n= ▲ ．
【答案】﹣3、0。
【考点】一元二次方程的解，解二元一次方程组。
【分析】根据一元二次方程的解的定义，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可：
根据题意，得，解得，。
18.（2011四川宜宾3分）已知一元二次方程x2–6x–5=0两根为、，则 的值是 ▲
【答案】。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵，是一元二次方程的两根，∴＋=6，=-5，
∴。
19.（2011四川眉山3分）已知一元二次方程y2－3y+＋1=0的两个实数根分别为y1、y2，则（y1－1）（y2－1）的值为 ▲ ．
【答案】－1。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。
【分析】∵一元二次方程y2－3y+＋1=0的两个实数根分别为y1、y2，
∴y1＋y2=3，y1•y2=1。
∴（y1－1）（y2－1）=y1y2－y1－y2＋1=y1y2－（y1＋y2）＋1=1－3＋1=－1。
20.（2011四川遂宁4分）若、是方程的两根，则 ▲ 。
【答案】9。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，代数式变换求值。
【分析】由于方程的两个实数根为、，从而根据一元二次方程根与系数的关系，得到＋=2，·=－5。因此。
21.（2011四川泸州2分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为　 ▲ 　．
【答案】1。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程。
【分析】设方程方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0设其两根为x1，x2，得
∵△=（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）=4k+9＞0，∴k＞﹣。
∵x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2﹣2，
又∵x12+x22=11，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=11。
∴（2k+1）2﹣2（k2﹣2）=11，解得k=1或﹣3。
∵k＞﹣，∴k=1。
22.（2011甘肃兰州4分）关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是 ▲ ．
【答案】x1=﹣4，x2=﹣1。
【考点】一元二次方程的解与二次函数的关系，平移变化的规律。
【分析】由一元二次方程的解与二次函数的关系，关于x的方程a（x+m）2+b=0的解可以看成二次函数y=a（x+m）2+b的图象与x轴交点的横坐标，
同样a（x+m+2）2+b=0的解可以看成二次函数y=a（x+m+2）2+b的图象与x轴交点的横坐标。
y=a（x+m+2）2+b的图象可以由y=a（x+m）2+b的图象向左平移2个单位得到，根据平移变化的规律：左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。
由y=a（x+m）2+b的图象与x轴交点的横坐标x1=﹣2，x2=1，可得出y=a（x+m+2）2+b的图象与x轴交点的横坐标x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1。
∴方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣4，x2=﹣1。
23.（2011新疆自治区、兵团5分）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数根，则a的取值范围是_ ▲ ．
【答案】。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵关于x的一元二次方程有实根，∴△=，解之得a≤1。
24.（2011辽宁盘锦3分）关于x的方程(k－2)x2－4x＋1＝0有实数根，则k满足的条件是 ▲ ．
【答案】k≤6。
【考点】一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式。
【分析】由关于x的方程(k－2)x2－4x＋1＝0有实数根，根据一元二次方程根的判别式，得
，解得k≤6。
25.（2011贵州铜仁4分）当 ▲ 时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根；
【答案】。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵方程有两个相等的实数根，∴△ =，解得。
三、解答题
1.（2011广西玉林、防城港6分）已知：是一元二次方程的两个实数根．求：的值．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．
分析：分别根据负整数指数幂、0指数幂、绝对值的性质及二次根式的化简计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解答：解：原式=2-1-3+2，
=0．
故答案为：0．
点评：本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂、0指数幂、绝对值的性质及二次根式的化简是解答此题的关键．

【答案】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴。
∴。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，代数式化简求值，等量代换。
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系确定出的两根之积与两根之和的值，再对化简，通过等量代换即可解答。
2.（2011湖南郴州6分）当t取什么值时，关于的一元二次方程22+t+2=0有两个相等的实数根？
【答案】解：∵一元二次方程22+t+2=0的二次项系数=2，一次项系数=t，常数项=2，
∴△=t2﹣4×2×2=t2﹣16=0，解得，t=±4，
∴当t=4或t=﹣4时，原方程有两个相等的实数根。
【考点】一元二次方程根的判别式，解一元二次方程。
【分析】一元二次方程的根与系数的关系：当△=2﹣4＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；△＜0时，方程无实数根。从而根据一元二次方程的根的判别式△=0列出关于t的一元二次方程，然后解方程即可。
3.（2011湖南张家界8分）阅读材料：
如果是一元二次方程的两根，那么，，。这就是著名的韦达定理。现在我们利用韦达定理解决问题：
已知是方程的两根，（1）填空： ， ；
（2）计算的值。
【答案】解：（1）3， 。
(2) =2 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】（1）直接根据韦达定理计算即可得到和。
（2）先把 变形，用和表示，然后把（1）的值整体代入进行计算即可。
4.（2011湖南怀化10分）已知：关于的方程．
（1）当取何值时，二次函数的对称轴是；
（2）求证：取任何实数时，方程总有实数根．
【答案】解：（1）∵对称轴是，∴，解得：。
∴当时，二次函数的对称轴是
（2）①当时，方程为一元一次方程：，
∴方程有一个实数根．
②∵当时，方程为一元二次方程，
∴△=，
∴取任何实数时，方程总有实数根。
【考点】二次函数的性质，一元二次方程根的判别式。
【分析】（1）根据二次函数对称轴求法得出，即可求出。
（2）分和讨论，对得一元二次方程，对利用一元二次方程根的判别式，证明其大于等于0即可。
5. (江苏无锡4分) 解方程：；
【答案】解:
【考点】－元二次方程求根公式。
【分析】利用－元二次方程求根公式，直接得出结果。
6.（2011江苏南京6分）解方程
【答案】解：移项，得．配方，得，
由此可得
∴，
【考点】解－元二次方程。
【分析】利用－元二次方程求解方法，将原方程转化为完全平方的形式，利用配方法解答。
7.（2011山东聊城7分）)解方程： (－2)＋－2＝0．
【答案】解：把方程左边因式分解，得．
从而，得，或
所以。
【考点】解一元二次方程。
【分析】解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：直接开平方法； 配方法；公式法；因式分解法。本题即应用因式分解法求解。
8.（2011广东清远6分）解方程：2－－1=0．
【答案】解：由原方程，得(－2)2＝5
＋2＝±
∴＝－2±
【考点】解一元二次方程。
【分析】用配方法或公式法求解。
9.（2011湖北武汉6分）解方程：2+3+1=0.
  【答案】解： ∵=1, =3, =1
∴△=2－4=9－4×1×1＝5＞0，∴=－3±。
 ∴1=－3＋，2=－3－。
【考点】公式法解一元二次方程。
【分析】根据方程的特点可直接利用求根公式法求解。
10.（2011湖北黄石8分）解方程：
【答案】解：由题意得：
由方程（2）得：代人（1）式得：，
解得，或。
分别代人得得：或
∴原方程的解为或。
【考点】高次方程，非负数的性质，绝对值，偶次幂。
【分析】根据绝对值的性质以及数的偶次方的性质得出和，从而得出关于的一元二次方程，求出，即可得出的值。
11.（2011湖北孝感10分）已知关于的方程有两个实数根.
（1）求的取值范围；（4分）
（2）若，求的值；（6分）
【答案】解：（1）依题意得，即 。
解得。
（2）依题意 ，
以下分两种情况讨论：
①当时，则有，即，
解得
∵，∴不合题意，舍去 。
②时，则有，即，
解得，
∵，∴。
综合①、②可知 。
【考点】一元二次根与系数的关系，根的判别式。
【分析】（1）方程有两个实数根，可得，解出的取值范围。
（2）由一元二次根与系数的关系得，，结合（1）中的取值范围，去绝对值号结合等式关系，可得出的值。
12.（2011湖北潜江仙桃天门江汉油田6分）若关于的一元二次方程的两个实数根为、，且满足，试求出方程的两个实数根及的值.
【答案】解:由根与系数的关系得:① ，②
又∵③，联立①、③，解方程组得。
∴。
答：方程两根为。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据根与系数的关系列出等式，再由已知条件联立组成方程组，解方程组即可。
13.（2011四川乐山10分）选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分。
题甲：已知关于的方程的两根为、，且满足.求的值。
【答案】解：∵关于的方程的两根为、，
∴，
∴
解得：或，
但∵的
∴。∴舍去。
又∵。
当时，原式=。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，分式的化简求值。
【分析】利用根与系数的关系求得，的值，然后代入即可求得的值，并根据根的判别式取舍，然后化简 ，代入的值即可求得答案
14.（2011四川自贡10分） 阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程。
例：解方程
解：(1)当即时．，
原方程化为，即，
解得．
∵，故舍去，是原方程的解
(2)当即时．，
原方程化为，即，
解得．
∵，故舍去，是原方程的解．
综上所述，原方程的解为。
解方程：
【答案】解：(1)当即时．，
原方程化为，即，
解得。
∵，故是原方程的解。
(2)当即时．，
原方程化为，即，
解得。
∵，故不是原方程的解。
综上所述，原方程的解为。
【考点】绝对值，解一元二次方程。
【分析】把中的绝对值去号求解，分别讨论即可。
15.（2011四川遂宁8分）解方程：
【答案】解：去括号，得：，
移项，得：
合并同类项，得：，
左边因式分解，得：（）（），
或 。
，。
【考点】解一元二次方程（因式分解法）。
【分析】将方程整理后，应用因式分解法解之即可。
16.（2011四川南充8分）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
【答案】解：（1）∵方程有实数根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，解得k≤0。
∴k的取值范围是k≤0。
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1，
∴x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）。
由﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2。
又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0。
∵k为整数，∴k的值为﹣1和0。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元一次不等式组。
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围。
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入所给不等式即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值。
17.（2011福建厦门10分）已知关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．
【答案】解：（1）∵于x的方程x2﹣2x﹣2n=0的二次项系数a=1、一次项系数b=﹣2、常数项c=﹣2n，
∴△=b2﹣4ac=4+8n＞0，解得，n＞－。
（2）由原方程，得（x﹣1）2=2n+1，∴x=。
∵方程的两个实数根都是整数，且n＜5，∴0＜2n+1＜11，且2n+1是完全平方形式。
∴2n+1=1，2n+1=4或2n+1=9。解得，n=0，n=1.5或n=4。
【考点】一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解一元二次方程。
【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围；
（2）利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值。
一元二次方程 (1)
（2012江苏泰州市，4,3分）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒。设平均每次降价的