广东省艳阳天中学2013年第一次调研测试(含答案).doc

广东省艳阳天中学2013年第一次调研测试
数 学（文 科）

本试卷共4页。21小题。满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，则（ ）
A．　 B. C. D.
2．设，，其中是虚数单位，若复数是纯虚数，则有（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若，则的值为
A． B．4 C． D．
4．已知数列的通项公式是，则
A． B． C．5 D．55
5．若、为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是（ ）
①若、都平行于平面，则、一定不是相交直线；
②若、都垂直于平面，则、一定是平行直线；
③已知、互相垂直，、互相垂直，若，则；
④、在平面内的射影互相垂直，则、互相垂直.
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据

3
4
5
6

2.5

4
4.5
根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为（ ）
A. 3 B. 3.15 C. 3.5 D. 4.5
7．已知，是的导函数，即，，…，，，则
A． B． C． D．
8．一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为
A． B． C． D．
c
b
a
9．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数，，的部分图象（如图），则
A．为，为，为
B．为，为，为
C．为，为，为
D．为，为，为
10．已知圆面的面积为，平面区域与圆面的公共区域的面积大于，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
（一）必做题（11～13题）
11．已知平面向量，，若，则实数等于

12．某射击运动员在四次射击中分别打出了环的成绩，已知这组数据的平均值是9，则这组数据的方差是　　　　．
12．已知满足约束条件，则的最小值为 .
13．如果实数满足，对任意的正数，不等式恒成立，则的取值范围是
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆的极坐标方程是，则它的圆心到直线：（为参数）的距离等于
P
A
O
B
C
15．（坐标系与参数方程选做题）如图，⊙的半径，是弦延长线上的一点，过点作⊙的切线，切点为，若，则圆心到弦的距离是 。

三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分14分）
已知向量与向量垂直，其中为第二象限角．
（1）求的值；
（2）在中，分别为所对的边，若，求的值．

17．（本小题满分12分）
M
S
D
C
B
A
如图，在四棱锥中，，，，平面平面，是线段上一点，，，．
（1）证明：平面；
（2）设三棱锥与四棱锥的体积分别为与，求的值．

18．（本小题满分14分）
已知函数，其中实数是常数．
（1）已知，，求事件A“”发生的概率；
（2）若是上的奇函数，是在区间上的最小值，求当时的解析式．

19．（本题满分12分）
A
B
C
D
O
F
E
如图，有一正方形钢板缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线是以直线AD为对称轴，以线段的中点为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．

20．（本题满分14分）
已知椭圆的左焦点及点，原点到直线的距离为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若点关于直线的对称点在圆上，求椭圆的方程及点的坐标．

21．已知数列前项和.数列满足，数列满足。
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围。

广东省艳阳天中学2013年第一次调研测试
数 学（文 科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
C
A
A
A
D
B
C
二、填空题：
11、-2 12、-3 13、 14、 15、3
三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分14分）
已知向量与向量垂直，其中为第二象限角．
（1）求的值；
（2）在中，分别为所对的边，若，求的值．
【命题意图】本题主要考查向量的数量积、二倍角公式、同角间三角函数关系、余弦定理、两角和的正切公式等基础知识，以及运算求解能力.
解: (1) ,
即……………………3分
为第二象限角,
………………………6分
(2) 在中,

…………………………………………9分
,
……………………11分
……………………14分

17．（本小题满分12分）
M
S
D
C
B
A
如图，在四棱锥中，，，，平面平面，是线段上一点，，，．
（1）证明：平面；
（2）设三棱锥与四棱锥的体积分别为与，求的值．
【命题意图】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
（1） 证明: 平面平面,平面平面,
平面，
平面,…………………1分
平面
…………………2分
四边形是直角梯形，,
都是等腰直角三角形,
………………4分
平面，平面，,
平面…………………………………………6分
（2） 解: 三棱锥与三棱锥的体积相等,
由( 1 ) 知平面,
得,……………………………………………9分
设由,
得
从而 ……………………………12分

18．（本小题满分14分）
已知函数，其中实数是常数．
（1）已知，，求事件A“”发生的概率；
（2）若是上的奇函数，是在区间上的最小值，求当时的解析式．

【命题意图】本小题主要考查古典概型、函数的奇偶性与零点、导数、解不等式等知识, 考查化归与转化、分类列举等数学思想方法，以及运算求解能力.
解：(1) 当时，等可能发生的基本事件共有9个：
…………………………4分
其中事件 “”，包含6个基本事件：
…………………………4分
故．…………………………6分
答：事件“”发生的概率.………………7分
(2) 是上的奇函数，得………………8分
∴ , ………………………9分
① 当时，因为，所以，在区间上单调递减，
从而；……………………11分
② 当时，因为，所以，在区间上单调递增，
从而. ……………………13分
综上，知 ……………………14分
19．（本题满分12分）
A
B
C
D
O
F
E
如图，有一正方形钢板缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线是以直线AD为对称轴，以线段的中点为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．

A
B
C
D
O
F
E
x
y
P
【命题意图】本小题主要考查二次函数的切线、最值等知识，考查坐标思想、数形结合、化归与转化等数学思想方法，以及将实际问题转化为数学问题的能力.
解法一：以为原点，直线为轴，
建立如图所示的直角坐标系，依题意
可设抛物线弧的方程为
∵点的坐标为，
∴，
故边缘线的方程为. ……4分
要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为，
∵，
∴直线的的方程可表示为，即，…………6分
由此可求得，.
∴，，…8分
设梯形的面积为，则

. ……………………………………………………………10分
∴当时，，
故的最大值为. 此时.………11分
答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为. ………………………………………………………………………12分
解法二：以为原点，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧的方程为
∵点的坐标为，
∴，
故边缘线的方程
为. ………4分
要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为，
∵，
∴直线的的方程可表示为，即，…6分
由此可求得，.
∴，，……………7分
设梯形的面积为，则

. ……………………………………………………………10分
∴当时，，
故的最大值为. 此时.………11分
答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为. ………………………………………………………………………12分
20．（本题满分14分）
已知椭圆的左焦点及点，原点到直线的距离为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若点关于直线的对称点在圆上，求椭圆的方程及点的坐标．
【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程与简单几何性质、点关于直线对称等知识，考查数形结合、方程等数学思想方法，以及运算求解能力.
解：(1)由点，点及得直线的方程为，即，…………………2分
∵原点到直线的距离为，
∴………………………………………5分
故椭圆的离心率. …………………………………7分
(2) 解法一：设椭圆的左焦点关于直线的对称点为，则有
…………………………………………10分
解之，得.
在圆上
∴，
∴……………………………………13分
故椭圆的方程为,
点的坐标为………………………………………14分
解法二：因为关于直线的对称点在圆上，又直线经过
圆的圆心,所以也在圆上, ………9分
从而， ………………………10分
故椭圆的方程为. ………………………………………11分
与关于直线的对称,
…………………………………………12分
解之，得.…………………………………………13分
故点的坐标为………………………………………14分
21．已知数列前项和.数列满足，数列满足。
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）由已知和得，当时，
……2分
又，符合上式。故数列的通项公式。……3分
又∵，∴，
故数列的通项公式为， …………………………5分
（2），
， …………………①
，……②
①-②得

，
∴ 。 …………………………10分

（3）∵,
∴
,
当时，；当时，，∴。
若对一切正整数恒成立，则即可，
∴，即或。 …………………………14分