U型通道的优化设计.doc

U型通道的优化设计
很多拥有大型设备的企业，如：火力发电厂，它拥有锅炉，汽轮机，发电机等大型设备，在进行厂房规格的设计时，必须首先考虑这些大型设备能够顺利安装到机位上。如何将设备顺利地安装到机位上就涉及到运输通道的设计问题。
假定某企业新购置一台长为的设备，要从处经过型通道运抵处并安装在处（如图1，5所示）。已知型通道的两个直道宽度为，通道是由两个半径分别为和的同心圆的圆环构成，其中小圆的半径固定，而大圆的半径有一定的伸缩性，即通道还有一定的拓宽空间，试解决以下两个问题：
1. 按图1所示的型通道结构，设计圆环的宽度（），使大型设备顺利运送到处，且不能因为运送设备而浪费通道外侧空间区域。
2. 任何设备不可能只有长度没有宽度，假设设备为圆柱形，其长度为，直径为（），如图5所示的型通道结构，请设计圆环的宽度（），使大型设备能够顺利运送到处。

通道

图2. U型通道示意图

通道

图1. U型通道示意图

求解1：已知设备长度为，型通道内圆半径为，直道宽度为。
首先，设备长度应满足。其次，当设备完全进入型通道时，通道的最窄宽度应为（如图2所示）。
当时，设备可顺利通过。
当时（如图3所示），问题转化为当设备的一端沿有向线段从点滑动到点时，设备的另一端点与同心圆圆心，及设备与内圆切点构成的直角三角形的斜边的最大值问题。

图3. U型通道示意图

通道

易知：有向线段的长度为。
设蓝色线段长度为，则，所以
，
从而

设
，
则在相同点处取得极值和最值。
，
令，求得三个驻点。
注意到：，
。
上式的几何意义如图4所示。

图4. U型通道示意图

通道

，
由于，所以
。
为极大值点，也是最大值点。最大值为
，
所设计的U型通道宽度为
。
求解2：已知圆柱体设备长度为，直径为，型通道内圆半径为，直道宽度为。
设备通过型通道时，可看成是长为，宽为的矩形平板平行于地面通过型通道（如图6所示）。
当设备完全进入型通道时，通道的最窄宽度应为。
当时，设备可顺利通过。
通道

图5. U型通道示意图

通道

图6. U型通道示意图

当时（如图7所示），问题转化为当设备的一端沿有向线段从点滑动到点时，设备的另一端点与同心圆圆心，及设备与内圆切点延长线交设备另一边于点构成的直角三角形的斜边的最大值问题。

通道

图7. U型通道示意图

易知：有向线段的长度为。
设绿色线段长度为，则，，所以
，
从而
，
设
，
则与在相同点处取得极值和最值。且
，
令，求得三个驻点。
，
由于，所以
。
为极大值点，也是最大值点。最大值为
，
所设计的U型通道宽度为
。

5