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高等数学的实际应用

一 最小二乘法在经济预测的应用
经验公式是平面上统计点的分布呈线性时的表示形式，同时它也是最小
二乘理论的“形之根本”，即无论是线性的还是非线性的最后都是要化为这种形式.下面我
们就散点图呈曲线的情况进行预测.

例：对纺织品销售额的拟合.我们选取销售额为因变量，单位为万元，拟合销售额关于时间的趋势曲线. 以1991年为基准年，取值 =1，2001年=11，1991—2001年的数据如表一.

表一
年份
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001

19.8
25.6
40.0
49.0
68.0
92.0
112.0
138.0
182.0
238.0
432.0
作出表一所给数据的分布图：

由散布图可以看出统计点是非线性的，它大致呈指数形分布. 我们就取经验公式
（1.8）
来拟合这条曲线.
这个经验公式所反映的点的排列是非线性的，我们可以通过取对数将其转化为线性函数
从而运用最小二乘法确定这个线性函数. 即： 其中
,,进而计算的值.
取；为各年的销售额；，根据具体数据代入得到如下的表格 .
表二
年份

1991
1
19.8
1
2.986
2.986
1992
2
25.6
4
3.243
6.486
1993
3
40.0
9
3.689
11.067
1994
4
49.0
16
3.892
15.568
1995
5
68.0
25
4.220
21.10
1996
6
92.0
36
4.522
27.132
1997
7
112.0
49
4.718
33.026
1998
8
138.0
64
4.927
39.416
1999
9
182.0
81
5.204
46.836
2000
10
238.0
100
5.472
54.72
2001
11
432.0
121
6.608
66.748
合计
66
1396.4
506
48.941
325.085

得出 ：
即 ：

查对数表得，将代入（1.8）式中，因此得到了所求的经验公式为：
（1.9）
下面计算相应系数进行显著性检查：

，那么
查看关系表（按得到回归临界值，因为>，说明间存在强相关关系，可以按公式：

进行外推预测，预测该企业2002和2003年的销售额为：

以上是根据散点分布趋势选取曲线来拟合得出的结果，那么如果我们强行用线性关系即
来拟合曲线，会得出怎样的结果呢？

同样根据数据表
年份
时间序号
销售额（万元）

1991
1
19.8
19.8
1
392.04
1992
2
25.6
51.2
4
655.36
1993
3
40.0
120
9
1600
1994
4
49.0
196
16
2401
1995
5
68.0
340
25
4624
1996
6
92.0
552
36
8464
1997
7
112.0
784
49
12544
1998
8
138.0
1104
64
19044
1999
9
182.0
1638
81
33124
2000
10
238.0
2380
100
56644
2001
11
432.0
4752
121
186644
合计
66
1396.4
11937
506
326116.4

得出：

得出：
因而： （2.0）
相关系数
查看关系表（按得到回归临界值.
，说明我们可以按公式来进行趋势预测，得出：

我们把两组数据比较一下：

显然第二种方法的结果误差太大，这是由于没有考虑散点图分布发展的趋势，强行采用线性拟合的结果.
由此可见. 某产品在一个时期内产量比较稳定，就可用最小二乘法进行趋势预测，但选用曲线来拟合散点时必须依据散点的趋势正确选择曲线，否则有可能出现类似本文的情况即，两条曲线的显著性系数都符合要求都可以用来预测，但其中的一条由于没有分析散点的发展趋势以致于产生的误差太大. 所以企业在日常生产管理中预测方法的科学性，将很大程度上决定企业的利润，从而给经营者制定或调整计划提供了理论依据.

2 Euler的四面体问题
问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler（欧拉）提出的.

解 建立如图2.1所示坐标系，设A，B，C三点的坐标分别为（a1,b1,c1）,( a2,b2,c2)和（a3,b3,c3），并设四面体O-ABC的六条棱长分别为由立体几何知道，该四面体的体积V等于以向量组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积V6的.而

于是得
将上式平方，得

根据向量的数量积的坐标表示，有

于是
（2.1）
由余弦定理，可行

同理

将以上各式代入（2.1）式，得
（2.2）
这就是Euler的四面体体积公式.
例 一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为

l=10m, m=15m, n=12m,
p=14m, q=13m, r=11m.
则

代入（2.1）式，得

于是

即花岗岩巨石的体积约为195m3.
古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.

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