论如何求曲边三角形面积.doc

由溢流坝想到曲边三角形面积求法
辽宁省本溪市本溪实验中学八年一班 作者：杨扬 指导教师：无

F

O
摘要：看过溢洪坝的人会发现它的断面形状很像下图，

E
A

C
B

D

G

其中OA段是抛物线，AB段是直线，BD段是圆弧。众所周知，建造溢洪坝时，要算它的体积，这就要知道它的断面面积。而梯形EACB和矩形CBGF好求BD是圆弧面积可以减法算出，难点就在曲边三角形OAE上。本文就是介绍如何求曲边三角形的面积
关键词：曲边三角形，面积，极限，定积分。
1. 引出问题
求曲边三角形OAE的面积不妨从以下情况来考虑
设抛物线y=f(x)=x^2和直线y=0(即x轴)、x=1所围成的曲边三角形是要求面积的。如图：
B
A
O

2. 分析矛盾
这里遇到的主要矛盾是“直”和“曲”：矩形的面积好算，可曲边形的面积不好算。但我们知道把曲线分成无数小份，每一份都可近似于直的。所以我们要创造适当的条件，就可以将上述矛盾转化。
3. 解决矛盾
分为四步：
3.1第一步：“化整为零”
把区间【0,1】分为n等分，分点为

过每一个分点,作y轴平行线把曲边三角形分成n个曲边梯形，设第i个曲边梯形面积为

3.2第二步：“以直代曲”
对于每个，用相应的矩形近似代替
y=f(x)=x^2
(i=1,2,…，n)
其中
具体写太麻烦，故略。
3.3第三步“积整为零”
把所有矩形加起来，就得到近似的曲边梯形面积之和，它是曲边三角形面积S的近似值
=
=//注：提公因式
=//注：平方和公式
=
3.4第四步“取极限”
上述计算的S只是近似值。只有当分割得无限细密时，也就是当时，的极限就是曲边三角形面积的准确值：
=
4. 总结
（1）遇到这样的问题，解决的步骤是
分割——以直代曲——求和——取极限
（2） 最后所得的曲边形的面积不是近似值，而是准确值
5. 反思推广
今天，我又在网上浏览了一下关于此方面的内容。知道了抛物线y=f(x)=x^2和直线y=0(即x轴)、x=1所围成的曲边三角形的面积就是函数y=f(x)=x^2在区间【0,1】上的定积分，记作
同样的方法也可以求曲边梯形的面积
如果平面直角坐标系中有一连续函数y=f(x)(y)与x=a,x=b所围成的曲边梯形的面积为S，则S==
即f(x)在区间【a，b】上的定积分
6. 结束语
其实微积分并不是很难，不是爱因斯坦也可以在15岁之前学会它，在这个假期里我将微积分自学完了，虽不能说自如运用，但还可以解决像这样的实际问题。

参考文献:
[1]北京大学数学力学系高等数学教材编写组：一元微积分 第1版。北京：人民教育出版社1977.7～1979.2

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