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有限元作业

专业： 计算数学
班级： 研1102班
姓名： 庞 娜
学号： 1107010047

2012有限元作业（春季）
1求泛函的一阶变分.
解：对做微小的扰动，记，其中,；实数充分小，以属于的某个邻域。由的定义得

令，得

故有一阶变分为：

2 设是阶对称正定矩阵，是维列向量，二次泛函

（1）直接计算泛函的一阶变分和二阶变分；
（2）证明以下问题和等价；
求使
求线性方程组的解.
解：(1)对做微小的扰动，记，其中,；由二次泛函定义得

.
所以有一阶变分为：

二阶变分为：
.
(2)若已知，由二阶变分的形式以及内积显然有，且，故泛函正定，由引理以及条件得一阶变分为零，即可以得到即为.
若已知，由二阶变分以及内积显然有，且，故泛函正定，且，故由引理的是泛函的局部极小值，即为.
3．设定义在容许函数类上的泛函

其中函数充分光滑，及为已知常数。如果且
是泛函的极值点，那么应满足什么边值问题？
解：对做微小的扰动，记，其中,；由二次泛函定义得

因为且是泛函的极值点，故.由变分引理及的任意性得方程以及边界条件
，，
故应满足以下边值问题

4给出两点边值问题

其中充分光滑，常数
（1） 叙述并证明该边值问题的最小位能原理；
（2） 叙述并证明该边值问题的虚功原理.
解：设是它的一个解.任取一个函数其中.
将乘以方程的两端，然后在上积分得

上式应用分部积分以及得
也就是说，边值问题的解满足式.
反之，如果有对任何都满足式，那么当时，它必是边值问题的解，事实上，对应用分部积分，可得
利用变分法基本引理以及的任意性，可知满足方程..
有以下虚功原理：若是边值问题的解，则它必然满足；反之，如果对任何都满足式，那么当时，它必是边值问题的解.
为了把边值问题化为变分问题，定义如下泛函

容许函数类为那么它应当是以下变分问题的解：，使得 .
如果，则这个变分问题的解必定是边值问题的解.下面证明: 边值问题与变分问题在一定条件下是可以相互转化的，从而得知边值问题的解也是变分问题的解.对给以变分，函数变为，则泛函变为,有

二次泛函是正定的.事实上，常数，故

即至少是半正定的.下面再证明充要条件
时，
先证明必要性. 时，必有
在上为常数.
为使，必有在端点的邻域上为零，故在上为零.
充分性是显然的.
当是正定时，一阶变分为零对一阶变分分部积分得

等价于以下边值问题

所以有以下最小位能原理：若是边值问题的解，则它必满足；反之，如果对任何都满足式，那么当时，它必是边值问题的解.
5给出两点边值问题

其中充分光滑，常数.
（1） 叙述边值问题的意义广义解、意义广义解的定义；
（2） 证明边值问题意义广义解存在而且唯一.
解：记，则容许函数类
，且记
引入双线性泛函
和线性泛函
记
意义的广义解：求，使得
.
意义广义解：求，使得
.
(2)利用定理证明它的存在唯一性.显然M为空间，首先，有不等式
但中的范数，
以及以下定理：
定理 （空间的嵌入定理）设是中的有界区域，边界充分光滑.如果整数，那么，当时，几乎处处等于一个在上连续的函数，而且

其中常数只于区域有关.
当时，成立.故有

即是在上有界的.
的对称性是显然的，此外，记应用空间的嵌入定理

即在上是有界的.至于它的正定性，需要以下引理.
引理 （第一不等式）设是有界区域，则存在常数，使得有

故对于上有
即是正定的，所以根据定理得该边值问题意义广义解存在而且唯一.
6对椭圆型方程的第一边值问题

建立相应的最小位能原理和虚功原理.其中系数充分光滑.
解：记，设是它的一个解.任取一个函数其中.
将乘以方程的两端，然后在上积分

对上式前两项利用公式，由边界条件得

代人前一式，得
也就是说，边值问题的解满足式.
反之，如果有对任何都满足式，那么当时，它必是边值问题的解，事实上，对应用公式，可得

利用变分法基本引理，可知满足方程，至于边界条件，因是显然满足的.
有以下虚功原理：若是边值问题的解，则它必然满足；反之，如果对任何都满足式，那么当时，它必是边值问题的解.
为了把边值问题化为变分问题，定义如下泛函

容许函数类为那么它应当是以下变分问题的解：，使得 .
如果，则这个变分问题的解必定是边值问题的解.下面证明: 边值问题与变分问题在一定条件下是可以相互转化的，从而得知边值问题的解也是变分问题的解.
对给以变分，函数变为，为使,则应使在上为零.则泛函变为，

二次泛函是正定的.事实上，故

即至少是半正定的.下面再证明充要条件
时，
先证明必要性. 时，必有
在上为常数.
在上，从而在上为零；
充分性是显然的.
当是正定时，一阶变分为零对一阶变分应用公式得

等价于以下边值问题

所以有以下最小位能原理：若是边值问题的解，则它必满足；反之，如果对任何都满足式，那么当时，它必是边值问题的解.
7 设轴对称的三维定常温度场满足如下的边值问题：

其中区域函数和f充分光滑.试建立求广义解的变分问题.
解：记，设是它的一个解.任取一个函数.将乘以方程的两端，然后在上积分

对上式前两项利用公式，得

代人前一式，得

也就是说，边值问题的解满足式.
反之，如果有对任何都满足式，那么当时，它必是边值问题的解，事实上，对应用公式，可得以下变分问题

利用变分法基本引理，可知满足边值问题.
由以上变分问题引入以下泛函：
记，则容许函数类

引入双线性泛函
和线性泛函
意义广义变分问题为：求，使得
8.设定义在区域上.给出的二阶广义导数和阶广义导数的定义.
解:设，如果存在使得

则分别称为关于的二阶广义偏导数，记为

设，如果存在，使得

则分别称为关于的阶广义导数，记
.
9.证明是空间.
证明：设是中的基本列.即，存在整数，当时
，由得
.
从而
即都是中的基本列。由于的完备性，故存在函数
使得当时
下面证明为的广义导数，由于

在上式中令利用中内积的连续性，得

所以，也就是存在使得

故是完备的，即是空间.
10.设且

则为的广义导数.
解：当时，在区间端点邻域内的函数值及各阶导数恒为零，故得

上式右端第一项为零，即
由题目中第一式知，为的广义导数.
11设为的广义导数.如果f 的二阶广义导数存在，则，即广义导数与求导次序无关.
解: 当时，在边界附近的函数值及各阶导数恒为零，故得

由于，所以的二阶偏导数和与次序无关，有

即得到 ，
其中，，
即得到，即广义导数与求导次序无关.
12考虑两点边值问题
（12-1）
其中.
(1) 用等距结点线性元推导出有限元方程.
(2) 仍然用等距结点，但用中心差商代替导数，导出差分方程.
(3) 试比较上述有限元方程和差分方程.
解：（1）设空间 （12-2）
任取，用它乘以方程（12-1）的两边，并在区间上积分：

对左端分部积分，
利用，左端第一项为
，
代入前式得

令， （12-3）
得到变分方程: 求，使得
（12-4）
下面构造的有限维子空间，使得

子空间的形成按以下步骤进行：
1） 对区间进行等距剖分：
其中
2） 构造基函数（这里构造简单的山形函数）
，，
，
易知 i），由此可证得是线性无关的。
ii )
说明
假设在处u(x)的值为（已知），则在中的近似解为
(12-5)
从而得到近似变分方程：求，使得
, (12-6)
将（9-5）代入上式并取，得到
,

,

(12-7)
要求解此方程组，首先需要计算出系数矩阵和常数向量.而根据

的结构，可知

而且当时，
.
这时方程组

的系数矩阵

系数矩阵称为三对角矩阵，此时只需要计算

当 时，由
，，
得到
作仿射变换
可将 变成标准单元.引入函数

，

由 得

，

再根据

得到

代入下式

得到相应的线性方程组
.