测量不确定度的理论与应用 核技术与自动化工程学院.ppt

“核工程与核技术”品牌专业申报,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,核技术与自动化工程学院,*,测量不确定度的理论与应用,核技术与自动化工程学院,测量不确定度的理论与应用,第一节 引言,第二节 概率论与数理统计基础知识,第三节 测量不确定度基础,第四节 测量不确定度的评定,第五节 测量不确定度的合成,第六节 测量不确定度应用实例,目 录,核技术与自动化工程学院,第一节 引 言,“,测量不确定度,”,一词最早来源于近代物理学中由著名物理大师海森伯创立于,1927,年的,“,测不准原理,”,。,今天，,测量不确定度是指测量结果变化的不肯定，是表征被测量的真值在某个量值范围的一个,估计，是测量结果含有的一个参数，用以表示被测量值的分散性。,1.,测量不确定度就是对测量结果的质量的定量评定；,2.,测量结果必须有不确定度时，测量的结果才有实际的意义；,3.,各国进行的测量和得到的结果进行相互比对，取得相互的承认和共识。,一、正确表述不确定度的意义,核技术与自动化工程学院,第一节 引 言,1.,建立国家计量基准，计量标准及其国际比对；,2.,标准物质、标准参考物质；,3.,测量方法、鉴定规程、鉴定系统、校准规范等；,4.,科学研究及工程领域的测量；,5.,计量认证、计量确认、质量认可及实验室认可；,6.,测量仪器的校准和检定；,7.,生产过程的质量保证及产品的检验和测试；,8.,贸易结算、医疗卫生、安全防护、环境监测及资源测量。,二、不确定度的应用的领域,核技术与自动化工程学院,第二节 概率论与数理统计基础知识,在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念。,一、随机变量概念,1,、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）,例如,，掷一颗骰子面上出现的点数；,七月份成都的最高温度；,每天从成都下火车的人数；,昆虫的产卵数；,核技术与自动化工程学院,一、随机变量概念,2,、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果,.,也就是说，,把试验结果数值化,.,正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系,.,第二节 概率论与数理统计基础知识,核技术与自动化工程学院,这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数,.,e,.,X,(,e,),R,这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？,第二节 概率论与数理统计基础知识,答案显然是否定的！,核技术与自动化工程学院,（,1,）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值,.,（,2,）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率,.,称这种定义在样本空间上的实值函数为,随,量,机,变,简记为,r.v.(random variable),第二节 概率论与数理统计基础知识,核技术与自动化工程学院,而表示随机变量所取的值,时,一般采用小写字母,x,y,z,等,.,随机变量通常用大写字母,X,Y,Z,或希腊字母,等表示,第二节 概率论与数理统计基础知识,核技术与自动化工程学院,有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来,.,如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用,X,表示，它是一个随机变量,.,事件,收到不少于,1,次呼叫,X,1,没有收到呼叫,X,=0,二、引入随机变量的意义,第二节 概率论与数理统计基础知识,核技术与自动化工程学院,例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高,.,我们可以把可能的,身高看作随机变量,X,然后我们可以提出关于,X,的各种问题,.,如,P,(,X,1.7)=,？,P,(,X,1.5)=?,P,(1.5,X,1.7)=?,第二节 概率论与数理统计基础知识,核技术与自动化工程学院,随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件,.,引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究,.,事件及,事件概率,随机变量及其,取值规律,第二节 概率论与数理统计基础知识,核技术与自动化工程学院,三、随机变量的分类,通常分为两类：,如“取到次品的个数”，,“收到的呼叫数”等,.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,所有取值可以逐个,一一列举,例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等,.,全部可能取值不仅,无穷多，而且还不能,一一列举，而是充满,一个区间,.,第二节 概率论与数理统计基础知识,测量中存在的随机误差，实际是一种随机变量,.,核技术与自动化工程学院,四、随机误差的基本特征,对称性,绝对值相等的正误差与负误差出现的几率相等,单峰性,绝对值小的误差比绝对值大的误差出现几率大,有界性,一定测量条件下,误差绝对值不会超过一定界限,低偿性,测量次数足够多时，误差的算术平均值趋于零,随机误差所具有的低偿性可以由其对称性特征导出。,对有限次测量，随机误差的算术平均值是一有界小量。,对足够多次测量，随机误差算术平均值趋于零。,对称性、单峰性、有界性、抵偿性,第二节 概率论与数理统计基础知识,核技术与自动化工程学院,第二节 概率论与数理统计基础知识,理论上，,一个随机变量取值的规律称为它的概率分布，简称“分布”。,概率密度与分布函数,五、随机变量的分布与性质,具有以下性质,核技术与自动化工程学院,第二节 概率论与数理统计基础知识,实际上，有些时候并没有求分布函数或分布函数密度的必要。例如测量零件长度得到一系列值，我们只需要知道一些特征量就够了：,长度的平均值,用以代表测量长度的值；,测量的标准差,用考察各测量值对平均值的离散程度。,这说明：用一些数字量来描述随机变量的特征，常常十分直观、方便、实用。这些数字量就称为随机变量的数字特征。,常用的数字特征量有：数学期望、方差（或均方根差）,六、随机变量的数字特征,核技术与自动化工程学院,第二节 概率论与数理统计基础知识,数学期望,六、随机变量的数字特征,方差,均方根差、标准差,核技术与自动化工程学院,第二节 概率论与数理统计基础知识,算术平均值,六、随机变量的数字特征,实验（估计）标准差,算术平均值的估计（实验）标准差,贝塞尔公式,核技术与自动化工程学院,第二节 概率论与数理统计基础知识,算术平均值,六、随机变量的数字特征,实验（估计）标准差,算术平均值的估计（实验）标准差,贝塞尔公式,核技术与自动化工程学院,第二节 概率论与数理统计基础知识,七、常见随机变量的分布,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布,.,正态分布在十九世纪前叶由 高斯,(Gauss),加以推广，所以通常称为高斯分布,.,德莫佛,德莫佛（,De,Moivre,),最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是,正态分布的首次露面,.,核技术与自动化工程学院,一、测量不确定度的评定方法分类,A,类评定,：,其中一些分量由一系列观测数据的统计分析来评定。,B,类评定,：,另一些分量不是用一系列观测数据的统计分析法，而是基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定。,二、测量不确定的表示,所有的不确定度分量均用标准差表征，它们或是由随机误差而引起，或是由系统误差而引起，都对测量结果的分散性产生相应的影响。,第三节 测量不确定度基础,核技术与自动化工程学院,三、测量不确定度与误差比较,从定义看两者的区别,误差,误差测得值,真值,以真值或约,定真值为中心，,是一个理想的概念，,一般不能准确知道，难以定量；,测量不确定度,以被测量的估计值为中心，,反映人们对测量认识不足的程度，是可以定量评定的。,第三节 测量不确定度基础,核技术与自动化工程学院,从分类上看两者的区别,误差,误差按自身特征和性质分为系统误差、随机误差和粗大误差，并可采取不同,的措施来减小或消除各类误差对测量的影响。但由于各类误差之间并不存在绝对界限，故在分类判别和误差计算时不易准确掌握；,测量不确定度,按评定方法分为,A,类评定和,B,类评定，两类评定方法不分优劣，按实际情况的可能性加以选用。由于不确定度的评定不论影响不确定度因素的来源和性质，只考虑其影响结果的评定方法，从而简化了分类，便于评定与计算。,第三节 测量不确定度基础,核技术与自动化工程学院,不确定度与误差间的关系,误差是不确定度的基础，研究不确定度首先需研究误差，只有对误差的性质、分布规律、相互联系及对测量结果的误差传递关系等有了充分的认识和了解，才能更好地估计各不确定度分量，正确得到测量结果的不确定度。,用测量不确定度代替误差表示测量结果，易于理解、便于评定，具有合理性和实用性。但测量不确定度的内容不能包罗更不能取代误差理论的所有内容，如传统的误差分析与数据处理等均不能被取代。,不确定度是对经典误差理论的一个补充，是现代误差理论的内容之一，但它还有待于进一步研究、完善与发展。,第三节 测量不确定度基础,核技术与自动化工程学院,标准不确定度：,用标准差表征的不确定度，称为标准不确定度，用,u,表示。,测量不确定度所包含的若,干个不确定度分量，均是标准不确定度分量，用,u,i,表示。,一、标准不确定度的,A,类评定,标准不确定度,u,等同于由系列观测值获得的标准差,。,基本求法：贝塞尔法、别捷尔斯法、极差法、最大误差法等。,用单次测量值作为,x,i,和以,n,次测量平均值作为的估计值时，其标准不确定度分别等于,第四节 测量不确定度的评定,核技术与自动化工程学院,二、标准不确定度的,B,类评定,B,类评定不用统计分析法，而是基于其他方法估计概率分布或分布假设来评定标准差并,得到标准不确定度。,B,类评定在不确定度评定中占有重要地位，因为有的不确定度无法用统计方法来评定，或者虽可用统计法，但不经济可行，所以在实际工作中，采用,B,类评定方法居多。,设被测量,X,的估计值为,x,，,其标准不确定度的,B,类评定是借助于影响,x,可能变化的全部信息进行科学判定的。这些信息可能是：以前的测量数据、经验或资料；有关仪器和装置的一般知识；制造说明书和检定证书或其他报告所提供的数据；由手册提供的参考数据等。,为合理使用信息，正确进行标准不确定度的,B,类评定，需要有一定的经验及对相关知识有透彻了解。,第四节 测量不确定度的评定,核技术与自动化工程学院,采用,B,类评定法，需先根据实际情况分析，对测量值进行一定的分布假设，可假设为正态分布，也可假设为其他分布，常见有下列几种情况：,当测量估计值,x,受到多个独立因素影响，且影响大小相近，则假设为正态分布，由所取置信概率,P,的分布区间半宽,与包含因子,k,p,来估计标准不确定度，即,当估计值,x,取自有关资料，所给出的测量不确定度,U,x,为标准差的,k,倍时，则其标准确定度为,由正态分布表给定,k,p,a,t,，,极限误差,第四节 测量不确定度的评定,核技术与自动化工程学院,若根据信息，已知估计值,x,落在区间,(,x-a,x+a,),内的概率为,1,，且在区间内各处出现的机会相等，则,x,服从均匀分布，其标准不确定度为,当估计值,x,受到两个独立且皆是具有均匀分布的因素影响，则,x,服从在区间,(,x-a,，,x+a,),内的三角分布，其标准不确定度为,当估计值,x,服从在区间,(x-a,，,x+a),内的反正弦分布，则其标准不确定度为,第四节 测量不确定度的评定,核技术与自动化工程学院,例,由手册查得纯铜在温度,20,时的线膨胀系数,为,16.52,10,-6,/,o,C,，,并已知该 系数,的误差范围为,0.4,10,-6,/,o,C,，,求线膨胀系数,的标准不确定度。,解：,根据手册提供的信息可认为,的值以等概率位于区间,(16.25,0.4),10,-6,o,C,至,(16.52,十,0.4),10,-6,/,o,C,内，且不可能位于此区间之外，故假设,服从均匀分布。已知其 区间半宽,=0.4,10,-6,/,o,C,，,则纯铜在温度为,20,的线膨胀系数,的标准不确定度为,第四节 测量不确定度的评定,核技术与自动化工程学院,三、自由度及其确定,（一）自由度的概念,线性约束条件，即,n,个变量中独立变量个数仅为,n,k,，,称平,度为,n,1,，,即用贝塞尔公式计算标准差的自由度为,n,1,。,第四节 测量不确定度的评定,核技术与自动化工程学院,自由度越大，标准差信赖程度越高。,因为,不确定度,标准差,自由度,自由度,不确定度,所以,每个不确定度对应一个自由度，它等于不确定度表达式中总和项数减去各项之间存在的约束条件数。,第四节 测量不确定度的评定,核技术与自动化工程学院,（二）自由度的确定,1.,标准不确定度,A,类评定自由度,对,A,类评定的标准不确定度，其自由度,即为标准差,的自由度。例如，用贝塞尔公式计算的标准差，其自由度为,n,1,。,计算标准差方法不同，自由度不同，如下表所示。,n,计算方法,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,15,20,别捷尔斯,误差法,最大误差,0.9,0.9,0.9,1.9,1.8,1.8,2.6,2.7,2.7,3.3,3.6,3.6,3.9,4.5,4.5,4.6,5.4,5.3,5.2,6.2,6.0,5.8,7.1,6.8,6.4,8.0,7.5,6.9,12.4,10.5,8.3,16.7,13.1,9.5,第四节 测量不确定度的评定,核技术与自动化工程学院,2,、标准不确定度,B,类评定的自由度,对,B,类评定的标准不确定度,u,，,由估计,u,的相对标准差来确定自由度。其自由度定义为,标准不确定度,B,类评定时，不同相对标准差对应的自由度表,u,/u,0.71,0.50,0.41,0.35,0.32,0.29,0.27,1,2,3,4,5,5,7,u,/u,0.25,0.24,0.22,0.18,0.16,0.10,0.07,8,9,10,15,20,50,100,第四节 测量不确定度的评定,核技术与自动化工程学院,一、合成标准不确定度,如在间接测量中，被测量,Y,的估计值,y,是由,N,个其他量的测得值,x,1,x,2,x,N,的函数求得，即,y=f(x,1,x,2,x,N,),由,x,i,引起被测量,y,的标准不确定度分量为,y,的不确定度,u,y,应是所有不确定度分量的合成，用合成标准不确定度,u,c,来表征，计算公式为,第五节 测量不确定度的合成,核技术与自动化工程学院,若,x,i,、,x,j,的不确定度相互独立，即,ij,=0,，,则合成标准不确定度计算公式,当,ij,1,，,且,同号，或各,ij,1,，,且,异号，则合成标准不,确定度,为,第五节 测量不确定度的合成,核技术与自动化工程学院,以两个不确定度分量,u,1,(,1,),，,u,2,(,2,),的合成为例,(,设其传递系数均为,1),：,当两者完全正相关，,12,1,，,有,当两者完全负相关，,12,1,，,有,当两者完全独立，,12,0,，,有,可见，协方差项的影响是不容忽视的。在实用中为避免确定协方差项的麻烦，尽量做到各分量间两两独立，使协方差项为零。,核技术与自动化工程学院,若引起不确定度分量的各种因素与测量结果没有确定的函数关系，则应根据具体情况按,A,类评定或,B,类评定方法来确定各不确定度分量,u,i,的值，然后按上述不确定度合成方法求得合成标准不确定度为,用合成标准不确定度作为被测量,Y,估计值,y,的测量不确定度，其测量结果可表示为,Y,=,y,u,c,为了正确给出测量结果的不确定度，应全面分析影响测量结果的各种因素，列出测量结果的所有不确定度来源，保证不遗漏，不重复。才能具有良好的不确定度的评定质量。,第五节 测量不确定度的合成,核技术与自动化工程学院,例 某测量结果含,A,类与,B,类不确定度分量共五项，如下表所示，它们的误差传递系数都为,1,，它们之间相互独立，求合成不确定度。,序号,不确定度,自由度,来源,类型,数值,符号,数值,1,基准尺,A,1.0,1,5,2,读数,A,1.0,2,10,3,电压表,A,1.4,3,4,4,电阻表,A,2.0,4,16,5,温度,B,2.0,5,1,第五节 测量不确定度的合成,核技术与自动化工程学院,解：注意到它们的误差传递系数,1,，协方差,R,0,，,将表中的数据,u,i,代入下式，计算得,第五节 测量不确定度的合成,核技术与自动化工程学院,二、展伸不确定度,由,yu,c,所表示的测量结果，含被测量,Y,的真值的概率仅为,68,。在一些实际工作中，如高精度比对、一些与安全生产以及与身体健康有关的测量，要求给出的测量结果区间包含被测量真值的置信概率较大，即给出一个测量结果的区间，使被测量的值大部分位于其中，为此需用展伸不确定度,(,也有称为扩展不确定度,),表示测量结果。,展伸不确定度由合成标准不确定度,u,c,乘以包含因子,k,得到，记为,U,，即,U,ku,c,用展伸不确定度作为测量不确定度，则测量结果表示为,Y,yU,第五节 测量不确定度的合成,核技术与自动化工程学院,包含因子,k,由,t,分布的临界值,t,p,(v,),给出，即,k=,t,p,(v,),式中,v,是合成标准不确定度,u,c,的自由度，根据给定的置信概率,P,与自由度,v,查,t,分布表，得到,t,p,(v,),的值。当各不确定度分量,u,i,相互独立时，合成标准不确定度,u,c,的自由度,v,由下式计算：,式中,v,i,各标准不确定度分量,u,i,的自由度。,当有各不确定度分量的自由度,v,i,未知，无法用上式计算合成不确定度的自由度,v,时，可取包含因子,k,2,3,，,直接确定展伸不确定度。,第五节 测量不确定度的合成,核技术与自动化工程学院,三、不确定度的报告,对测量不确定度进行分析与评定后，应给出测量不确定度的最后报告。,(,一,),报告的基本内容,当测量不确定度用合成标准不确定度表示时，应给出合成标准不确定度,u,c,，,及其自由度,v,；,当测量不确定度用展伸不确定度表示时，除给出展伸不确定度,U,外，还应该说明它计算时所依据的合成标准不确定度,u,c,、,、,自由度,v,、,置信概率,P,和包含因子,k,。,为了提高测量结果的使用价值，在不确定度报告中，应尽可能提供更详细的信息。如：,给出原始观测数据；描述被测量估计值及其不确定度评定的方法；列出所有的不确定度分量、自由度及相关系数，并说明它们是如何获得的等等。,第五节 测量不确定度的合成,核技术与自动化工程学院,(,二,),测量结果的表示,当不确定度用合成标准不确定度,u,c,表示时，可用下列几种方式之一表示测量结果。,例如，假设报告的被测量,Y,是标称值为,100g,的标准砝码，其测量的估计值,Y=100.02147g,，,对应的合成标准不确定度,u,c,=0.35mg,，,则测量结果可用下列几种方法表示：,a.,y=100.02147g,u,c,=0.35mg,b.,Y=100.02147(35)g,c.,Y=100.02147(0.00035)g,d.,Y=(100.02417,0.00035)g,括号里的数为,u,c,的数值，,u,c,的末位与被测量估计值的末位对,齐，单位相同,；,括号里的数为,u,c,的数值，与被测量估计值的单位相同；,符号,后的数为,u,c,的数值。,核技术与自动化工程学院,当不确定度是用展伸不确定度,U,表示时，应按下列方式表示测量结果。,例如报告上述的标称值为,lOOg,的标准砝码，其测量结果为,Y,yU,(100.02147,0.00079)g,其中，展伸不确定度,U,ku,c,0.00079g,，,是由合成标准不确定度,u,c,0.35mg,和包含因子,k=2.26,确定的，,k,是依据置信概率,P,0.95,和自由度,v,9,，,并由,t,分布表查得的。,这里必须注意，展伸不确定度的表示方法与标准不确定度表示形式,d,相同，容易混淆。因此，当用展伸不确定度表示测量结果时，应给出相应的说明。,第五节 测量不确定度的合成,核技术与自动化工程学院,不确定度也可以用相对不确定度形式报告,例如报告上述的标称值为,lOOg,的标准砝码,u,c,=0.35mg,，,其测量结果可表示为,y=100.02147g,u,c,=0.00035%,第五节 测量不确定度的合成,核技术与自动化工程学院,最后报告的合成不确定度或展伸不确定度，其有效数字一般不超过两位，不确定度的数值与被测量的估计值末位对齐。若计算出的,u,c,或,U,的位数较多，作为最后的报告值时就要修约，依据,“,三分之一准则,”,将多余的位数舍去。修约时，先令测量估计值最末位的一个单位作为测量不确定度的基本单位，再将不确定度取至基本单位的整数位，其余位数按微小误差取舍准则，若小于基本单位的,1,3,则舍去，若大于或等于基本单位的,1,3,，舍去后将最末整数位加,1,。,第五节 测量不确定度的合成,核技术与自动化工程学院,例,已知被测量的估计值为,20.0005mm,，,若有两种情况：展伸不确定度,U,0.00124mm,；,展伸不确定度,U,0.00123mm,。,要求对,U,进行修约。,解：根据被测量的估计值，取,0.0001mm,作为,U,的基本单位。,U,=0.00124mm,，,其整数部分为,12,，小数部分为,0.4,，大于基本单位的,1,3,，故舍去后整数单位加,1,。修约后，,U,=0.0013mm,；,U,=0.00123mm,，,其整数部分为,12,，小数部分为,0.3,，小于基本单位的,1/3,，故舍去。修约后,，,U,=0.0012mm,。,第五节 测量不确定度的合成,核技术与自动化工程学院,一、测量不确定度计算步骤,分析测量不确定度的来源，列出对测量结果影响显著的不确定度分量；,评定标准不确定度分量，并给出其数值,u,i,和自由度,v,i,；,分析所有不确定度分量的相关性，确定各相关系数,ij,；,求测量结果的合成标准不确定度,u,c,，,及自由度,v,；,需要给出展伸不确定度,时,，,由下式确定之,U,k,u,c,给出不确定度的最后报告，以规定的方式报告被测量的估计值,y,及合成标准不确定,度,u,c,或展伸不确定度,U,，,并说明获得它们的细节。,第六节 测量不确定度应用实例,核技术与自动化工程学院,二、电压测量的不确定度,1.,测量方法,用标准数字电压表在标准条件下，对被测直流电压源,10V,点的输出电压值进行独立测量,10,次，测得值如下：,n,1,2,3,4,5,i,10.000107,10.000103,10.000097,10.000111,10.000091,n,6,7,8,9,10,i,10.000108,10.000121,10.000101,10.000110,10.000094,将,10,次测量的平均值,10.000104V,取为为测量结果的估计值。,第六节 测量不确定度应用实例,核技术与自动化工程学院,2,不确定度评定,分析测量方法，可知在标准条件下测量，由温度等环境因素带来的影响可忽略。因此对电压测量不确定度影响的因素主要有：标准电压表的示值稳定度引起的不确定度,u,1,；,标准电压表的示值误差引起的不确定度,u,2,；,电压测量重复性引起的不确定度,u,3,。,分析这些不确定度特点可知，不确定度,u,1,、,u,2,应采用,B,类评定方法，而不确定度,u,3,应采用,A,类评定方,法。,第六节 测量不确定度应用实例,核技术与自动化工程学院,(1),标准电压表的示值稳定度引起的标准不确定度分量,u,1,在电压测量前对标准电压表进行,24h,的校准，并知在,1OV,点测量时，其,24h,的示值稳定度不超过,15V,，,取均匀分布，按式,(4,3),得标准电压表示值稳定度引起的不确定度分量为,(2),标准电压表的示值误差引起的标准不确定度分量,u,2,标准电压表的检定证书给出，其,示值误差按,3,倍标准差,计算为,3.5,10,-6,U,(,标准电压表示值,),，故,lOV,的测量值，由标准表的示值误差引起的标准不确定度分量为,因,k,3,，,可认为其置信概率较高，,u,2,的评定非常可靠，故取自由度,v,2,=,。,核技术与自动化工程学院,(3),电压测量重复性引起的标准不确定度分量,u,3,，由,10,次测量的数据，用贝塞尔法计,算单次测量标准差,=9V,，,起的标准不确定度分量为,其自由度,v,3,n,1,9,。,3,不确定度合成,因不确定度分量,u,1,、,u,2,、,u,3,，,相互独立，则,ij,0,，,按式,(4,11),得电压测量的合成标准不确定度为,自由度为：,核技术与自动化工程学院,4,展伸不确定度,取置信概率,P,95,，,由自由度,v,7412,查,t,分布表得,t,0.95,(7412)=1.96,，,即包含因子,k,1.96,。,于是，电压测量的展伸不确定度为,U,k,u,c,1.96,15V,29.4V30V,5,不确定度报告,用合成标准不确定度评定电压测量的不确定度，则测量结果为,V=10.000104V,，,u,c,=0.000015V,，,v=7412,。,用展伸不确定度评定电压测量的不确定度，则测量结果为,V=(10.000104,0.000030)V,，,P=0.95,，,v=7412,。,其中,符号后的数值是展伸不确定度,U,ku,c,0.000030V,，,是由合成标准不确定度,u,c,=0.000015V,及包含因子,k=1.96,确定的。,核技术与自动化工程学院,