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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数 第四章 向量组的线性相关性,教学目标,了解齐次线性方程组基础解系概念与求法。掌握非齐次线性方程组通解结构。掌握向量空间基概念与求法,作业,重点,基础解系及其求法、向量空间基,练习册,P37,40,第,13,题,至,第,19,题，,期中交：,P37,40,难点,方程组解结构,讲授方法,媒体与投影,讲授内容根本,齐次解基础解系概念基础解系求法举例非齐次通解求法向量空间封闭与生成性基与坐标向量内积与长度。,内容概括,齐次方程组基础解系由n-r个无关解向量组成，非齐次是齐次解加特解，向量组生成含有封闭线性运算向量空间。向量内积实际上是矩阵运算，由施瓦茨不等式引出长度与正交。,班级：,时间：年 月 日；星期,第十一讲：方程组解解构与向量空间,1,第1页,第十一讲：方程组解解构与向量空间,此次课讲第四章第四节第五节，方程组解结构与向量空间，,下次课讲第五章第一二节，,下次上课时交作业,P37,P40,2,第2页,二、齐次线性方程组解结构：,1.,复习齐次线性方程组解秩判定定理,2.,解向量概念,设有齐次线性方程组,（1）设,A,=,x,=,则（1）式可写成向量方程,Ax,=0,（2）,称为方程组（1）解向量，,它也是向量方程（2）解.,第十讲 向量组秩与方程组解结构,3,第3页,第十讲 向量组秩与方程组解结构,2.,解向量性质,性质1,若,为,齐次方程组,解,，,则 也是,对应齐次方程组,解.,证,性质2,若,为,齐次方程组,解,，,k,为实数，则,k,也是,对应齐次线性方程组,解.,证：,3.,AX,=0,基础解系,4,第4页,第十讲 向量组秩与方程组解结构,4.,求,AX,=0,基础解系,AX,0,通解：,实际上，上一章我们已经学会了用矩阵秩求线性方程组通解方法：假定,AX,=0,A,秩为,R(A)=r,求解步骤以下,5,第5页,化,A,为行最简形矩阵,为,与,A,对应方程组同解方程组为,令自由未知数,则：,第十讲 向量组秩与方程组解结构,6,第6页,第十讲 向量组秩与方程组解结构,7,第7页,巧得很，,AX=0,通解恰好是,n-r,个解向量线性组合，假如这,n-r,个解向量就是解集最大无关组，我们就等于找到了,AX=0,基础解系。实际上，我们有以下定理：,（,2,）定理：设,n,元齐次方程组,AX=0,系数矩阵秩,R(A)=r,解集（解向量组）为,S,则,R(S)=n-r,第十一讲：方程组解解构与向量空间,8,第8页,定理：设,n,元齐次方程组,AX=0,系数矩阵秩,R(A)=r,解集（解向量组）为,S,则,R(S)=n-r,证：,第一步：和以前一样，将系数矩阵化成行最简形：,第二步：依然是写出与,A,对应齐次线性方程组同解方程组,第十一讲：方程组解解构与向量空间,9,第9页,代入同解方程组依次可得：,第十一讲：方程组解解构与向量空间,10,第10页,第四步：整理得出齐次线性方程组一组解向量,:,第十一讲：方程组解解构与向量空间,11,第11页,该定理论证说明了两点：,第十一讲：方程组解解构与向量空间,12,第12页,第十一讲：方程组解解构与向量空间,13,第13页,4.,齐次线性方程组求解结论：,依据以上齐次线性方程组通解求解过程和定理及其推论，我们能够得到以下结论：,（,4,）由此还能够推断：齐次线性方程组基础解系不是,唯一.齐次线性方程组通解形式也是不唯一.,（,3,）齐次线性方程组(1)任何,n-r,个线性无关解向量都,可作为它基础解系,.,（,1,）当,R,(,A,),=n,时,齐次线性方程组,(1),只有零解,无基础解系,;,（,2,）当,R,(,A,),n,时,齐次线性方程组,(1),基础解系含有,n r,个解向量,.,第十一讲：方程组解解构与向量空间,14,第14页,第十一讲：方程组解解构与向量空间,15,第15页,第十一讲：方程组解解构与向量空间,16,第16页,第十一讲：方程组解解构与向量空间,17,第17页,（二）非齐次线性方程组通解,1.,非齐次线性方程组解向量性质,设有非齐次线性方程组,（4）,它也可写作向量方程,（5）,性质3,齐次线性方程组,解.,（6）,设,及,都是,（5）,解,，,则,为对应,第十一讲：方程组解解构与向量空间,18,第18页,证,所以,满足方程（6）.,证,即 满足方程（5）.,性质4,设 是方程（5）解，是方程（6）解，,仍是方程（5）解.,则,称上式为非齐次方程组,AX=b,通解,第十一讲：方程组解解构与向量空间,19,第19页,第十一讲：方程组解解构与向量空间,20,第20页,第十一讲：方程组解解构与向量空间,21,第21页,第十一讲：方程组解解构与向量空间,22,第22页,二、向量组概念拓展,空间概念,封闭：,设,V,是一个集合，,若,V,则,V,；,V,则称,V,对于加法及数乘运算是,封闭,.,定义,1,：,设,V,为,n,维非空 向量集合，,及乘数两种运算封闭，,且集合,V,对于加法,则称集合,V,为,向量空间,.,1.,向量空间定义,定义,2,设有向量空间,V,1,及,V,2,，,若,V,1,V,2,，,就称,V,1,是,V,2,子空间,.,例,1:,齐次线性方程组解集,是一个向量空间,.(,解空间,),第十一讲：方程组解解构与向量空间,23,第23页,例,2:,非齐次线性方程组解集,不是向量空间,当 解集,S,为空集时,不是向量空间,;,当 解集,S,非空时,也不是向量空间,.,结论：等价向量组所生成向量空间相同。,证：,设,V,1,则 可由 线性表示，,例,3:,设向量组 与向量组 等价，,记,试证,第十一讲：方程组解解构与向量空间,24,第24页,又,可由 线性表示，,则 可由 线性表示，,所以,即若,V,1,则,V,2,所以,V,1,V,2,；,同理可证：,若,V,2,则,V,1,，,所以,V,2,V,1,.,V,1,=,V,2,.,2.,向量空间最大无关组,基概念,（,1,）基定义,设,V,为向量空间，假如,r,个向量 ,V,满足,（,i）,线性无关,；,（,ii,）,V,中,任 一,向量都由 线性表示，,那么，向量组 称为,向量空间,V,一个基,r,称为向量空间,V,维数,，,并称,V,为,r,维向量空间,.,尤其地：,假如向量空间,V,没有基,则,V,维数为0。,0 维向量空间只含一个零向量 0.,（,2,）结论,1,：,任何,n,个线性无关,n,维向量都是向量空间,R,n,一个基，由此可知,R,n,维数为,n,.,第十一讲：方程组解解构与向量空间,25,第25页,分析：因为任意,n,1,个,n,维向量线性相关，所以按照线性相关线性表示定理，任意一个无关向量以外,n,维向量都能由这,n,个线性无关,n,维向量线性表示。显然，,n,个无关向量可本身表示，故以上结论成立。,（,4,）向量由基线性表示系数,坐标,数组 称为向量,b,在基 中,坐标,.,（,3,）过渡矩阵概念：,第十一讲：方程组解解构与向量空间,26,第26页,例,4:,设,验证 是,R,3,一个基，并求,在这个基中坐标.,解,因,R(A)=3,，,故 为,R,3,一个基，,第十一讲：方程组解解构与向量空间,27,第27页,且,第十一讲：方程组解解构与向量空间,28,第28页,
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