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点差法习题

【学习目标】 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
使用说明及学法指导】
1、通过证明定理，熟悉“点差法”的运用；
2、记住点差法推导出的公式，并熟练应用；

若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
一、自主证明
1、定理 在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.
同理可证，在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.
2、定理 在双曲线（＞0，＞0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点
是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.
同理可证，在双曲线（＞0，＞0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.
3、定理 在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.

例1 设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，点N的坐标为.当绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最大值和最小值.
例2 已知双曲线，过点作直线交双曲线C于A、B两点.
（1）求弦AB的中点M的轨迹；
（2）若P恰为弦AB的中点，求直线的方程.
例3 抛物线的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
1. 已知椭圆，则以为中点的弦的长度为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M、N两点，MN的中点的横坐标为，则此双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是________.
【规律总结】
同理可证，在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.
一、 以定点为中点的弦所在直线的方程
例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。
例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。
二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。
例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
三、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。
四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
例6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

答 案

例1. 解：设直线与椭圆的交点为、
为的中点 　　
又、两点在椭圆上，则，
两式相减得
于是

即，故所求直线的方程为，即。
例2. 解：设存在被点平分的弦，且、
则，
，
两式相减，得

故直线
由　消去，得

这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。
评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。
例3. 解：设弦端点、，弦的中点，则
，
又 ，
两式相减得
即
，即
点的坐标为。
例4. 解：设弦端点、，弦的中点，则
，
又 ，
两式相减得
即，即
，即
由，得
点在椭圆内
它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为
例5.解：设椭圆的方程为，则┅┅①
设弦端点、，弦的中点，则
， ，
又，
两式相减得
即
┅┅②
联立①②解得，
所求椭圆的方程是
例6.解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，
两式相减得，
即
，，
　　这就是弦中点轨迹方程。
它与直线的交点必须在椭圆内
联立，得　则必须满足，
即，解得