斯特藩-玻尔兹曼定律.doc

斯特藩-玻尔兹曼定律（Stefan-Boltzmann law），又称斯特藩定律，是热力学中的一个著名定律，其内容为： 一个黑体表面单位面积在单位时间内辐射出的总能量（称为物体的辐射度或能量通量密度）j* 与黑体本身的热力学温度T （又称绝对温度）的四次方成正比，即:

其中辐射度j*具有功率密度的量纲（能量/(时间·距离2)），国际单位制标准单位为焦耳/(秒·平方米)，即瓦特/平方米。绝对温度T 的标准单位是开尔文，ε 为黑体的辐射系数；若为绝对黑体，则 ε = 1.
比例系数 σ 称为斯特藩-玻尔兹曼常数或斯特藩常量。它可由自然界其他已知的基本物理常数算得，因此它不是一个基本物理常数。该常数的值为：

所以温度为 100 K 的绝对黑体表面辐射的能量通量密度为5.67 W/m2，1000 K 的黑体为56.7 kW/m2，等等。
斯特藩-玻尔兹曼定律是一个典型的幂次定律。
本定律由斯洛文尼亚物理学家约瑟夫·斯特藩（Jožef Stefan）和奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼分别于1879年和1884年各自独立提出。提出过程中斯特藩通过的是对实验数据的归纳总结，玻尔兹曼则是从热力学理论出发，通过假设用光（电磁波辐射）代替气体作为热机的工作介质，最终推导出与斯特藩的归纳结果相同的结论。本定律最早由斯特藩于1879年3月20日以 Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur （《论热辐射与温度的关系》）为论文题目发表在维也纳科学院的大会报告上，这是唯一一个以斯洛文尼亚人的名字命名的物理学定律。
本定律只适用于黑体这类理想辐射源。
[编辑] 斯特藩-玻尔兹曼定律的推导
斯特藩-玻尔兹曼定律能够方便地通过对黑体表面各点的辐射谱强度应用普朗克黑体辐射定律，再将结果在辐射进入的半球形空间表面以及所有可能辐射频率进行积分得到。

式中Ω0黑体表面一点的辐射进入的半球形空间表面（以辐射点为球心），I(ν,T)为在温度T 时黑体表面的单位面积在单位时间、单位立体角上辐射出的频率为ν的电磁波能量。式中包括了一个余弦因子，因为黑体辐射几何上严格符合朗伯余弦定律（Lambert's cosine law）。将几何微元关系 dΩ= sin(θ) dθdφ 代入上式并积分得：

（对频率的玻色积分项的计算方法参见条目多对数函数 (polylogarithm) ）
[编辑] 日面温度
提出本定律后斯特藩利用它估算了太阳的表面温度。当时法国人查理·索里特（Charles Soret，1854年–1904年）用实验测得地球上接收到的太阳发出的能量通量密度约为一块加热金属板表面辐射的能量通量密度的29倍。将适当大小的圆形金属版放置在测量仪器前方适当的距离，则可以认为测量仪器接收到的金属板发出辐射的角度与太阳光照射的角度基本相同。索里特测得金属板的表面温度为 1900°C 到 2000 °C 之间。斯特藩猜测太阳照射到地球的能量有 1/3 被地球大气层吸收（当时尚未有关于大气层对电磁辐射的吸收的公认测量数据），所以算得实际接收到的太阳辐射强度应为金属板辐射强度的 29 × 3/2 = 43.5 倍。金属板的表面温度斯特藩取索里特猜测的中间值 1950 °C，即 2200 K。由于 43.5 = 2.574 ，所以根据上面的定律，太阳表面的绝对温度应为金属板表面绝对温度的 2.57 倍，即 5430 °C 或 5700 K （现代精确测量结果为 5780 K）。 这是历史上对日面温度的第一个较精确的测量结果。在此之前人们对日面温度的数值曾经众说纷纭，测量结果从1800 °C 到 13,000,000 °C 都有。通过其他方法测量的日面温度与该结果的吻合验证了本定律的正确性。
维恩位移定律（Wien's displacement law）是物理学上描述黑体电磁辐射能流密度的峰值波长与自身温度之间反比关系的定律，其数学表示为：
式中
为辐射的峰值波长（单位米），
为黑体的绝对温度（单位开尔文），
b 为比例常数，称为维恩位移常数，数值等于2.897 7685(51) × 10–3 m K （2002年国际科技数据委员会(CODATA)推荐值，括号中为68.27%置信度下的不确定尾数）。
光学上一般使用纳米（nm）作为波长单位，则
b = 2.897 7685(51) × 106 nm K.
目录
[隐藏]
· 1 说明
· 2 频率形式
· 3 定律的推导
· 4 注释
· 5 外部链接
· 6 参考文献
[编辑] 说明
维恩位移定律说明了一个物体越热，其辐射谱的波长越短（或者说其辐射谱的频率越高）。譬如在宇宙中，不同恒星随表面温度的不同会显示出不同的颜色，温度较高的显蓝色，次之显白色，濒临燃尽而膨胀的红巨星表面温度只有2000-3000K，因而显红色[1]。太阳的表面温度是5778K，根据维恩位移定律计算得的峰值辐射波长则为502nm，这近似处于可见光光谱范围的中点，为黄光[2]。
与太阳表面相比，通电的白炽灯的温度要低数千度，所以白炽灯的辐射光谱偏橙。至于处于“红热”状态的电炉丝等物体，温度要更低，所以更加显红色。温度再下降，辐射波长便超出了可见光范围，进入红外区，譬如人体释放的辐射就主要是红外线，军事上使用的红外线夜视仪就是通过探测这种红外线来进行“夜视”的。
本定律由德国物理学家威廉·维恩（Wilhelm Wien）于1893年通过对实验数据的经验总结提出。
[编辑] 频率形式
用f 表示频率，单位赫兹，则维恩位移定律可表示为以下频率形式
是数值求解最大值方程得到的常数；
k 为玻尔兹曼常数，
h 为普朗克常数，
T 为绝对温度（单位开尔文）
需要注意的是，以上频率形式中的辐射能流密度定义为“通过单位面积、单位宽度的频率带在单位时间中辐射出的能量”，而波长形式的辐射能流密度则定义为“通过单位面积、单位宽度的波长范围在单位时间中辐射出的能量”，因此fmax和λmax对应的并不是同一个辐射峰。所以 fmax和波长形式中的 λmax不满足 频率×波长=波速 的关系式，即：
其中c 表示光速。
[编辑] 定律的推导
虽然威廉·维恩提出本定律的时间是在普朗克黑体辐射定律出现之前的1893年，且过程完全基于对实验数据的经验总结，但可以证明，本定律是更为广义的普朗克黑体辐射定律的一个直接推论。
根据普朗克定律，以波长为自变量的黑体辐射能流密度谱为：
}-
为求出使得u 取得最大值的λ，令u(λ)对λ 的导数为0
}-
}-
若定义无量纲（又称“无因次”）变量
则
}-
方程的解无法表示成初等函数（为郎伯W函数），但能否得到精确解并不影响本推导过程。可以很容易用数值方法得到x
    (无量纲)
将解代入x 的表达式，可得：
.
其中λ单位为纳米，温度单位为开尔文。
本定律的频率形式也可通过类似的方法推得，只要将作为出发点的普朗克定律写成频率形式即可。
[编辑] 注释
1. ^ 可见光颜色的波长从长到短依次为红->橙->黄->绿->青->蓝->紫
2. ^ 整个太阳光光谱完整覆盖（且超出）了可见光光谱范围，使得太阳光（在没有大气的情况下）呈白色。至于人们在地上所看见的红日、蓝天等现象，都是由于大气层气体分子对短波长光线作瑞利散射（Rayleigh scattering）的结果。