有理数巧算重点.doc

　　解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．
　　下面需对n的奇偶性进行讨论：
　　当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有

　　当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有

　例4 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
　　分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．
　　现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然
n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．
　　这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即
(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．
　　所以，所求最小非负数是1．
说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．
可以先抽取一部分的实例来得出普遍规律。
　例8 计算：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
　　分析 式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．
　　解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)
　　 　　　=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)
　　　　　 =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……
　　　　 　=(232-1)(232+1)
　　　　　 =264-1．
增加或减少部分式子，再在结果伽或减回去是一样的

　这个公式也可以反着使用，即
a2-b2=(a+b)(a-b)．

　　例10 计算：

我们用一个字母表示它以简化计算．

抓住公共部分
用化归思想
用整体思想

3．观察算式找规律
　　例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．
　　87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
　　分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为
　　90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)
　　　　+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)
　　　　+2+5+(-2)
　　=1800-1=1799
平均分为 90+(-1)÷20=89.95．
例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．
　　分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．
　　解 用字母S表示所求算式，即
S=1+3+5+…+1997+1999． ①
　　再将S各项倒过来写为
S=1999+1997+1995+…+3+1． ②
　　将①，②两式左右分别相加，得
　　2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)
　　　=2000+2000+…+2000+2000(1000个2000)
　　　=2000×1000．
从而有 S=1000000
说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．

　(6)1+4+7+…+244；
3个一组
如1，2，3