微元法：江苏省高考物理试题特色解法.doc

微元法：江苏省高考物理试题的特色解法
我长期研究高考试题，发现，江苏省2006年到2009年4年来高考物理卷中的最后一题：电磁感应大题，在标准答案中，都是用微元法解的，可以说是江苏省高考物理试题的特色解法，因为全国卷和其他省市卷都没有。经笔者研究，也可以采用另外的解法。

1.（ 2007年高考江苏省物理卷第18题）如图所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度Ｂ＝１Ｔ，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d=0.5m，现有一边长l=0.2m、质量m=0.1kg、电阻Ｒ＝0.1Ω的正方形线框ＭＮＯＰ以v0=7m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场，求
（１）线框ＭＮ边刚进入磁场时受到安培力的大小Ｆ。
（２）线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Ｑ。
（３）线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n。
解：（1）线框ＭＮ边刚进入磁场时，感应电动势 ，感应电流 ，受到安培力的大小 Ｆ=
（2）水平方向速度为0，
（3）解法1 原答案给出的解法.
线框在进入和穿出条形磁场时的任一时刻，
感应电动势 ，感应电流 ，
受到安培力的大小 Ｆ=，得，在时间内，由牛顿定律：
求和，, ，解得 ，
线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n=，取整数为4。
解法2. 新解法 线框在进入和穿出条形磁场时的任一时刻，感应电动势 ，感应电流 ，受到安培力的大小 Ｆ=，得，其中, 由于速度是变化的，所以力是变化的，线框在水平方向只受安培力作用，安培力与速度成正比，线框在水平方向的运动是速度随位移均匀变化的运动，所以，从初速度运动到水平速度为0，，通过的位移为，即，线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n=，取整数为4。

2.（ 2008年高考江苏省物理卷第15题）如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计．场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d1，间距为d2．两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直．（设重力加速度为g）
⑴若a进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域，求b穿过第1个磁场区域过程中增加的动能△Ek；
⑵若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b 又恰好进入第2个磁场区域．且a．b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等．求b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q；
⑶对于第⑵问所述的运动情况，求a穿出第k个磁场区域时的速率v．
磁场区域1 B
磁场区域2 B
磁场区域3 B
磁场区域4 B
磁场区域5 B
棒b
棒a
d1
d1
d1
d2
d2
d2
d2
Θ d1

d1

解析：⑴因为a和b产生的感应电动势大小相等，按回路方向相反，所以感应电流为0，所以a和b均不受安培力作用，由机械能守恒得 ①
⑵设导体棒刚进入无磁场区时的速度为,刚离开无磁场区时的速度为,即导体棒刚进入磁场区时的速度为,刚离开磁场区时的速度为，由能量守恒得：
在磁场区域有： ②
在无磁场区域： ③ 解得：
⑶解法1. 原答案给的解法：微元法
设导体棒在无磁场区域和有磁场区域的运动时间都为，
在无磁场区域有： ④
且平均速度： ⑤
在有磁场区域，对a棒： 且：
解得: ⑥
因为速度是变量，用微元法
根据牛顿第二定律, 在一段很短的时间内
则有
因为导体棒刚进入磁场区时的速度为,刚离开磁场区时的速度为, 所以, ， 所以： ⑦
联立④⑤⑦式,得
（原答案此处一笔带过，实际上这一步很麻烦，以下笔者给出详细过程：
④代入⑦得：， ⑧
⑧代入⑤得： ⑨
⑦+⑨得：。）
a．b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等, 所以a穿出任一个磁场区域时的速率v就等于．所以
。
（注意：由于a．b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等，所以a穿出任一个磁场区域时的速率v都相等，所以所谓“第K个磁场区”，对本题解题没有特别意义。）
解法2. 笔者的解法：运动分解法
在无磁场区域，棒做匀加速运动，有： ④
⑤
在有磁场区域，把棒的运动分解为两个运动，一个是在重力的下滑分力作用下的速度的变化对时间来说是均匀变化的匀加速运动，另一个是在安培力作用下的速度的变化对位移来说是均匀变化的匀减速运动，棒在有磁场区域运动的时间也为，运动的位移为，
对在重力的下滑分力作用下的匀加速运动，有
, ⑥ 表示由于重力作用而引起的速度的变化。
对在安培力作用下的运动，因为安培力(其中)与速度成正比。
所以，由于安培力作用而引起的速度的变化为， ⑦ 因为本题安培力使速度减小，所以加负号。
综合⑥、⑦两式，令得, 表示经过有磁场区域速度的变化，即，所以 ⑧
④、⑧两式联立解得 ⑨
⑨代入⑤得
就是所要求的棒a穿出任一个磁场区域时的速率， ⑩
为了形象地表示两种匀变速运动，画出以下图象。左图是速度随时间变化的匀加速运动，右图是速度随位移变化的匀减速运动。

3.（2009年高考江苏省物理卷第15题）如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为L、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为。条形匀强磁场的宽度为，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置。总质量为，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未画出）。线框的边长为（），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回。导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为。求：
（1） 装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q；
（2） 线框第一次穿越磁场区域所需的时间；
（3） 经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离。

【解答】（命题者提供的解答）
（1） 设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框的安培力做功为W
由动能定理
且 解得
（2） 设线框刚离开磁场下边界时的速度为，则接着向下运动
由动能定理
装置在磁场中运动的合力
感应电动势 感应电流 安培力
由牛顿第二定律，在到时间内，有
则= 有
解得
（3） 经过足够长时间后，线框在磁场下边界与最大距离之间往复运动，
由动能定理
解得。
【解析】（本人研究的另外解法）
第（1）问，同原解答
第（2）问：设线框刚离开磁场下边界时的速度为，则接着向下运动，速度变为0，根据动能定理 ，所以
注意：导体棒在磁场中运动的位移是，而不是，且因为是恒流，所以安培力是恒力。
因为线框在磁场中的运动时受到的合力，而是与速度成正比的力，所以把线框在磁场中的运动分解为在重力的分力作用下的速度随时间均匀变化的匀变速直线运动和在安培力作用下的速度随位移均匀变化的匀变速直线运动两种运动，前者速度的变化与时间成正比，后者速度的变化与位移成正比，有

注意：因为线框下边进磁场和上边出磁场，掠过的距离共。
所以=
第（3）问，同原解答，不重复。
从以上3题可以看出，如果把牛顿的这个规律当作定律，对此类题解起来就没有微元法那么麻烦了，也没有那么难懂了。
当然，用这个规律能解的题目决不止这3题而已，而是很多。

4.如图所示，顶角=45°，的金属导轨 MON固定在水平面内，导轨处在方
向竖直、磁感应强度为 B的匀强磁场中。一根与 ON垂直的导体棒在水平外力作用下以
恒定速度 0 v 沿导轨 MON向左滑动，导体棒的质量为 m，导轨与导体棒单位长度的电阻
均匀为 r.导体棒与导轨接触点的 a和 b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接
触.t=0时，导体棒位于顶角 O处，求：

（1）t时刻流过导体棒的电流强度 I和电流方向。
（2）导体棒作匀速直线运动时水平外力 F的表达式。
（3）导体棒在 O～t时间内产生的焦耳热 Q。
（4）若在 to 时刻将外力 F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标 x。
.解：（1）0到时间内，导体棒的位移 ，
时刻，导体棒的有效长度 ， 导体棒的感应电动势 ，
回路总电阻 ， 电流强度为 ，电流方向。
（2）。
（3）解法一 时刻导体棒的电功率 =，
。
解法二 时刻导体棒的电功率 =，
由于I恒定 ，， 因此

（4）撤去外力后，设任意时刻导体棒的坐标为，速度为，取很短时间或很短距离，
解法一 在时间内，由动量定理得 ① ， ② ③
扫过的面积： = ④ （ ⑤）
得。 ⑥
y

450
F
0 x0 x

或 设滑行距离为，
则 ⑦
即 ⑧
解之 （负值已舍去） ⑨
得 ⑩
= （11）
解法二
在，由动能定理得 =（忽略高阶小量） （12）
得 = （13） （14）
以下解法同解法一
解法三（1）由牛顿第二定律，得 得 。
以下解法同解法一
解法三（2）
由牛顿第二定律得 ， 得，
以下解法同解法二。
解法四：在时间内，由动量定理得
（1）因为安培力向左而速度向右，严格应加负号。
， （2）
在第（1）问中已求出：，因为在阶段导体棒做匀速运动，速度是，在，时间内导体棒做变减速运动，速度从减小到0，设这过程中时刻为t时的速度为，则上式变为，（3）
又 （4）
将（2）（3）（4）代入（1）得 （5）
积分 （6）
得 （7）
解得 将 代入得
。 ⑧
解法五。
解法4中的①式变为，（在只求大小时可不加负号）
②到④式不变，
则⑤式变为，
求和，

以下同解法一

总结归纳如下：
1. 关于微元法。在时间很短或位移很小时，变速运动可以看作匀速运动，运动图象中的梯形可以看作矩形，所以，。微元法体现了微分思想。
2. 关于求和。许多小的梯形加起来为大的梯形，即，（注意：前面的为小写，后面的为大写），实际上是，当末速度时，有，这个求和的方法体现了积分思想。
3. 无论物理规律用牛顿定律，还是动量定理或动能定理,都可以用微元法.
在时间内，由动量定理得
，
几式体现了微元法, 是微元法应用于动量定理.
在，由动能定理得
=（忽略高阶小量）
得 =
几式体现了微元法, 是微元法应用于动能定理.
微元法解题，体现了微分和积分的思想，考查学生学习的潜能和独创能力，有利于高校选拔人才。这是全卷最难的题目，也是高考各省物理试卷最难的题目之一。是把优秀学生与最优秀学生区分的题目。这样的题目，老师是讲不到的，微元法，虽然老师讲了，但由于以前没考过，所以大部分认为考不到，虽然讲了例题，也做了练习，但考试还要靠考生独立思考、独立解题。这样的题是好题。
本题除了是以电磁感应为题材，以“微元法”为解题的基本方法以外，还有就是可以用动量定理与动能定理解。对于使用老教科书的地区，这两种解法用哪一种都行，但对于使用课程标准教科书的地区就不同了，因为他们的教科书把动量的内容移到了选修3-5，如果不选修3-5，则不能用动量定理解，只能用动能定理解。