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凯莱－哈密顿定理
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在线性代数中，凯莱-哈密顿定理（以数学家阿瑟·凯莱与威廉·卢云·哈密顿命名）表明每个实或复方阵都满足方阵的特征方程式。
明确地说：设 A 为给定的 矩阵，并设 In 为 单位矩阵，则 A 的特征多项式定义为：

其中 det 表行列式函数。凯莱-哈密顿定理断言：

此定理对布于任何交换环上的方阵皆成立。
凯莱-哈密顿定理的重要推论之一是矩阵的极小多项式整除其特征多项式，这在寻找约当标准形时特别有用。
目录
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· 1 例子
· 2 定理证明
· 3 抽象化与推广
· 4 外部链接
[编辑] 例子
举例明之，考虑下述方阵：

其特征多项式为

此时可以直接验证凯莱-哈密顿定理：
A2 − 5A − 2I2 = 0
此式可以简化高次幂的运算，关键在于下述关系：
A2 − 5A − 2I2 = 0
A2 = 5A + 2I2.
例如，为了计算 A4，可以反复利用上述关系式：
A3 = (5A + 2I2)A = 5A2 + 2A = 5(5A + 2I2) + 2A = 27A + 10I2
A4 = A3A = (27A + 10I2)A = 27A2 + 10A = 27(5A + 2I2) + 10A
A4 = 145A + 54I2.
此外，凯莱-哈密顿定理也是计算特征向量的重要工具。
注：一般而言，若 矩阵 A 可逆（即：），则 A - 1 可以写成 A 的幂次和：特征多项式有如下形式

将方程式 p(A) = 0 同乘以 A - 1，便得到
-{R|
[编辑] 定理证明
以下考虑布于域 上的矩阵。
凯莱-哈密顿定理可以视为线性代数中克莱姆法则的推论。克莱姆法则断言：若 S 是 矩阵，而 cof(S) 表其余因子矩阵，则

取 S: = tIn − A，便得到 (tIn − A)cof(tIn − A)t = pA(t)In。此式对所有 t 皆成立，由于实数或复数域有无穷多元素，上式等式在多项式环 k[t] 内成立。
设 M: = kn，矩阵 A 赋予 M 一个 k[t]-模结构：。考虑 k[t]-模 ，我们有 k[t]-模之间的“求值态射”：

固定 ，对 M[t] 中的等式

右侧取 eA 后得到 pA(A)m，左侧取 eA 后得到 。明所欲证。
一个简单的证明： 令：

由:

得：

将上式左边按t进行多项式展开得：

将上式右边展开得：

因两多项式，他们的对应项系数相等得：

在等式两边t的i次项系数分别乘以Ai, 并将等式左右两边分别相加并合项得：

得证
[编辑] 抽象化与推广
前述证明用到系数在 k[t] 的矩阵的克莱姆法则，事实上该法则可施于任何系数在交换环上的矩阵。借此，凯莱-哈密顿定理可以推广到一个交换环 R 上的任何有限生成自由模 M（向量空间是特例）。中山正引理的一种证明就用到这个技巧。
[编辑] 外部链接
· PlanetMath 上的证明
取自“http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%87%B1%E8%90%8A%EF%BC%8D%E5%93%88%E5%AF%86%E9%A0%93%E5%AE%9A%E7%90%86”
3个分类: 线性代数 | 矩阵论 | 数学定理
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