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一、曲线f（x，y）=0平移问题
曲线f（x，y）=0按向量a=（1，–2）平移得到的曲线方程是什么？
按照教材方法，用平移公式解决之，学生不易掌握，我们经过教学研究，采取了学生容易理解的方法.
方法1：想象向量a=（1，–2）方向，从而应该是向右平移一个单位、再向下平移2个单位即可，从而得到的曲线方程是f（x–1，y+2）=0.
同样如果说向右平移2个单位、再向上平移3个单位，就是按向量a=（2，3）.
方法2：要求学生记住这样两个结论：①按坐标轴正向移就是减号，按坐标轴反向移就是加号；②按向量a=（m，n）平移，m、n的符号决定平移方向，正号就是按坐标轴正向移，负号就是按坐标轴反向移.
另外注意区别好f（x，y）=0与y =f（x）的“上加下减”的实质，平移问题就会彻底得到解决.
二、根据图象求y=Asin(ωx+φ)解析式问题校本探讨
问题：已知函数的一段图象如图，求、和的值.
解：显然A=2，T=π，ω=2，φ的求法，按照教材的方法，我们取零点代入的方法，最后是2x+φ=kπ（k∈Z）解出两个φ，然后根据图象形状取舍。
我们学校多数老师都是使用这个方法解决这类问题，后来有的同事提出一个更好的方法，就是求出和的中点，它使2x+φ取kπ-0.5π（k∈Z）。从而解出一个φ，方法很简洁。
我们在组内开展研修，就是这类的问题究竟怎么解方便简洁。
我们组内教师开始挖掘教材研究y=Asin(ωx+φ) 五点法画图象的方法，发现函数的图象上，起着关键作用的点有五个：，那么函数y=Asin（ωx+φ）（A>0, ω>0）在长度为一个周期的闭区间上图象的起关键作用的点的横坐标应该是使ωx+φ依次取：，这时将取值
填表：

0

y
x
o
-A
A
x1
x 2
x 3
x 4
x 5
图象：

我们记住五个关键点的坐标，特别是：第一、第二、第三、第四、第五点的横坐标x1,x2,x3,x4,x5分别使取.
这个问题有了如下的解决方法：
把理解为第三关键点， 是第五关键点，他们分别使ωx+φ取π和2π，解方程组即可以。
例1 的图象在轴右侧的第一个最高点（函数的最大值的点）的坐标是，与轴在原点右侧的第一个交点坐标是，求这个函数的解析式.
仅接着问题又出现了，就是
（1）有可能求出的φ不在已知的范围，怎么办？加周期，加周期是加2kπ还是（2kπ）/ω？
（2）给出图象上的关键点了可以这样处理，没有给出图象的关键点怎么办？
例2o
y
x
1

函数的一段图象如图，求和的值.
解：点（0，1）代入，得
，因为，所以；
时，，即，解得
例2 函数的一段图象如图，求、和的值.
解：显然，点代入，得
，由图易知时，函数取最小值，故，，代入得，因为，所以，代入，得，所以.
三、周期函数概念的讲解
周期函数定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期。若非零常数是周期函数的一个周期，那么都是函数的周期.
对于这个问题我们每次教学到这里的时候都感觉这是一个难点，大纲要求是了解，我们很难能让学生了解。我们对比函数的奇偶性，从恒成立去讲解，学生还是难于理解。按照理解掌握层次加课时去讲解，学生还是难于了解，学生理解周而复始的现象，但就是难于理解这个定义，不能不讲，例如曾经的一道高考试题由f（x+2）=–f（x）得出f（x+4）=f（x），从而f（x）的周期是4，学生不了解周期函数定义，就没有办法解决的。
我们在组内提出如何讲解周期函数定义的研讨，指定3名同志做中心发言开始集体讨论
第一名同志提出从诱导公式（一）纵边相同角的数值重复性来引入周期函数定义，再从y=sinx图象去了解等式得意义；
第二名同志提出从诱导公式（一）纵边相同角的数值重复性和y=sinx图象来引入周期函数定义，再结合函数奇偶性了解等式得意义；
第三名同志把定义做了加工，即 “如果使得恒成立的非零常数存在，那么函数叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期”.然后回过头来讲解定义“对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期。若非零常数是周期函数的一个周期，那么都是函数的周期.”最后在从诱导公式（一）纵边相同角的数值重复性和y=sinx图象来了解周期函数定义，结合函数奇偶性了解等式得意义；
最后组内同志达成一直，按如下方法处理周期函数概念：
定义：如果使得恒成立的非零常数存在，那么函数叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期。若非零常数是周期函数的一个周期，那么都是函数的周期.
例如: （a）函数是周期函数，因为使sin（x+T）=sinx恒成立的非零常数存在，取2π就可以；
（b）函数不是周期函数，因（x+T）2=x2恒成立时，=0或=2 x，使（x+T）2=x2恒成立的非零常数不存在；
（c）不是函数的周期，因为sin（x+π）=–sinx，sin（x+π）=sinx不能恒成立；
（d）是函数的周期，因为sin（x+2π）=sinx恒成立。
一般地，若函数满足，那么函数是周期函数，是它的一个正周期.
若函数函数的最小正周期，那么函数的最小正周期是.
四、有关对称的两个结论
函数图象的对称性的结论，学生理解掌握起来很困难，我们给出两个结论：
（1）若函数y=f（x）满足f（a+x）= f（b–x），那么函数y=f（x）的图象关于直线x=（a+b）/2对称；
（2）函数y= f（a+x）的图象与函数y = f（b–x）关于直线x=（b–a）/2对称；
这两个结论在大纲教材中没有，但大纲教材的高考必须知道这两个结论。
对于这个结论我们处理的时候，经过集体备课，采取了如下的处理方法：
从偶函数f（–x）= f（x）开始，引申到f（a–x）= f（a+x），再到f（a+x）= f（b–x）；然后学生记忆结论，并对比“若函数满足，那么函数是周期函数，是它的一个正周期”区别理解.
然后再从y=ax 图象与y=a-x图象关系出发引出函数y=f（–x）图象与函数y= f（x）图象关系，再通过平移去理解函数y=f（a–x）图象与函数y= f（a +x）图象关系，最后给出函数y= f（a+x）的图象与函数y = f（b–x）关系，要求学生理解记忆。授课效果很不好，学生当时会，时间不长就忘记，两个结论很容易混淆。
我们通过研究，组长提出关于函数图象间的对称问题解决放到直线方程之后讲解，具体关于对称问题的处理方法是，相关点法，讲解一个结论，处理一面问题。
若点（x，y）关于条件p的对称点为（x/，y/），那么曲线f（x，y）=0关于条件p的对称曲线方程是f（x/，y/）=0；
函数y= f（a+x）的图象与函数y = f（b–x）关于什么对称？设关于直线x=m，因为点（x，y）关于x=m的对称点为（2m–x，y），所以函数y= f（a+x）的图象关于直线x=m对称函数表达式是y= f（a+2m–x），对比函数y = f（b–x）得m=（b–a）/2，因此函数y= f（a+x）的图象与函数y = f（b–x）关于直线x=（b–a）/2对称；
例1 求函数y= x2 +x-1关于点（1，–1）对称函数表达式.
解：因为（x，y）关于点（1，–1）对称点是（2–x，–2–y），所以函数y= x2 +x-1关于点（1，–1）对称函数表达式是–2–y = （2–x）2 +（2–x）-1.
例2 奇函数f（x），当时，f（x）= x2 +x-1，求当x＜0时f（x）表达式.
解：奇函数图象关于原点对称，所以函数f（x）（x＞0）与函数f（x）（x＜0）图象关于原点对称，f（x）= x2 +x-1关于原点对称表达式是–y =（–x）2 +（–x）-1，即y =x2 +x-1，所以当x＜0时f（x）=x2 +x-1.