信号与系统第十章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,Z,变换与拉氏变换相对应，是,离散时间傅立叶变换的推广,。,Z,变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。,10.0,引言,(Introduction),2,10.1,双边,Z,变换,当 时，即为离散时间傅立叶变换。,这表明：,DTFT,就是在单位圆上进行的,Z,变换。,其中 是一个复数。,一,.,双边,Z,变换的定义,:,The z-Transform,可见：对 做,Z,变换就等于对 做,DTFT,。,Z,变换是对,DTFT,的推广,。,3,二,.Z,变换的,收敛域（,ROC,）：,Z,变换与,DTFT,一样存在着收敛的问题。,1.,并非任何信号的,Z,变换都存在。,2.,并非,Z,平面上的任何复数都能使 收敛。,Z,平面上那些能使 收敛的点的集合，就构成了 的,收敛域,（,ROC,）。,6,例,3.,a,1,Z,平面,单位圆,ROC:,7,例,4.,一般情况下，的,ROC,是,Z,平面上一个,以原点为中心的圆环。,2,1/2,Z,平面,单位圆,8,结 论：,1,）,Z,变换存在着收敛问题，不是任何信号都存在,Z,变换，也不是任何复数,Z,都能使 收敛。,2,）仅仅由 的表达式不能唯一地确定一个信号，只有 连同相应的,ROC,一道，才能与信号 建立一一对应的关系。,3,）,Z,变换的,ROC,，一般是,Z,平面上以原点为中心的环形区域。,9,4,）如果 ，则其,ROC,是各个 的,ROC,的公共部分。若没有公共区域则表明 的,Z,变换不存在。,5,）当 是有理函数时，其,ROC,的边界总是由 的极点所在的圆周界定的。,6,）若 的,ROC,包括单位圆，则有,10,三,.,的几何表示,零极点图：,如果 是有理函数，将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到：,由其全部的零、极点即可确定出 ，最多相差一个常数因子 。,11,如果在零极点图上同时标出,ROC,，则由该零极点图可以唯一地确定一个信号。,在,Z,平面上表示出 的全部零、极点,零极点图对描述,LTI,系统和分析,LTI,系统的特性，具有重要的用途。,零极点图,12,1.,的,ROC,是,Z,平面上以原点为中心的环形区域。,10.2 Z,变换的,ROC,The Region of Convergence for the z-Transform,ROC,的特征：,3.,有限长序列的,ROC,是整个有限,Z,平面（可能不包括 ，或 ）。,2.,在,ROC,内，无极点。,13,4.,右边序列的,ROC,是某个圆的外部，但可能不包括 。,由 ，,有,若 ，则有,设 是右边序列，定义于 ，,则,如果 ，,当 时,由于 的展开式中有若干个,Z,的正幂项，此时 不能为 。,14,5.,左边序列的,ROC,是某个圆的内部，但可能不包括 。,若 ，则有,当 时，由于 的展开式中包括有,Z,的负幂项，所以,Z,不能为零。若 是有理函数，则,ROC,必是最内部极点的内部。,15,6.,双边序列的,Z,变换如果存在，则,ROC,必是一个环形区域。,16,极点：,（一阶）,（,N,1,阶）,零点：,0,在 处，零极点抵消，使有限,Z,平面内无极点。,例,1.,其他,17,例,2.,在 时，两部分的收敛域无公共部分，表明此时 不存在。,b,1/b,Z,平面,时，,ROC,为,18,例,3.,0,在有限,Z,平面上极点总数与零点总数相同,零点：,（二阶）,极点：,若其,ROC,为：,1,则 为右边序列，且是因果的，但其傅立叶变换不存在。,19,时 是左边序列，且是反因果的，其傅立叶变换不存在。,2,时 是双边序列，其傅立叶变换存在。,3,ROC,是否包括 ，是 是否因果的标志。,ROC,是否包括 ，是 是否反因果的标志。,20,10.3 Z-,反变换,，则,一,.Z-,反变换：,The Inverse Z-Transform,21,当 从 时，,Z,沿着,ROC,内半径为,r,的圆变化一周。,其中,C,是,ROC,中逆时针方向的圆周。,22,1.,部分分式展开法：,二,.,反变换的求取：,当 是有理函数时，可将其展开为部分分式,步骤：,1.,求出 的所有极点 ；,2.,将 展开为部分分式；,3.,根据总的,ROC,，确定每一项的,ROC,；,4.,利用常用变换对和,Z,变换性质求出每一项的反变换。,23,例：,将 展开为部分分式有：,24,2.,幂级数展开法,:,（长除法）,由 的定义，将其展开为幂级数，有,展开式中 项的系数即为 。当 是有理函数时，可以通过长除的方法将其展开为幂级数。,25,由于,右边序列,的展开式中应包含无数多个,Z,的负幂项，所以要,按降幂长除。,由于,左边序列,的展开式中应包含无数多个,Z,的正幂项，所以要,按升幂长除。,对,双边序列，先要将其分成对应信号的右边和左边的两部分，再分别按上述原则长除。,26,例：,前一项按降幂长除，后一项按升幂长除,。,幂级数展开法的缺点是当 较复杂（含多个极点时）难以得出 的闭式。,幂级数展开法适合用来求解非有理函数形式的反变换。,27,当,ROC,包括 时，,Z,变换在单位圆上的情况就是 ，可以利用零极点图对其进行几何求值。,10.4.,由零极点图对离散时间傅立叶变换几何求值,Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot,考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即可反映系统的频率特性。,28,例,1.,一阶系统,当 时，,ROC,包括单位圆。,a,1,显然，取决于 的变化。,29,当 时，,当 时，有最小值。,随 呈单调变化。,在 处，有最大值。,幅频特性,相频特性,30,当 时，,a,1,0,幅频特性,相频特性,31,越小，极点靠原点越近，系统的频率响应越平缓，系统的带宽越宽；此时 衰减越快，上升越快。,越大，极点靠单位圆越近，系统频响越尖锐，频响的极大值越大，系统带宽越窄，相位的非线性程度越厉害。,可以看出：,32,例,2.,二阶系统：,（系统欠阻尼）,极点：,零点：,（二阶）,33,二阶系统的频率特性：考查动点在单位圆上移动一周时，,各极点矢量和零点矢量的长度与幅角,的变化情况,1,34,当 从 时，在靠近 处频率响应会出现极大值。,若,r,越接近于,1,，的峰值越尖锐。由于极点远离原点，和 的变化速率越慢。,随着,r,减小，极点逐步靠近原点，频率响应趋于平坦，而 和 的变化速率会加快。,35,幅频特性,相频特性,二阶系统的频率特性：,36,可以从零极点图粗略确定系统的带宽。,更一般的情况，二阶系统也可能 有两个实数极点，此时系统处于过阻尼状态。其特性相当于两个一阶系统级联的结果。,（二阶系统具有重阶实数极点的情况）,37,Z,变换的许多性质与,DTFT,的性质相似，其推 论方法也相同。这里主要讨论其,ROC,的变化。,则,：包括,10.5 Z,变换的性质,1.,线性：,Properties of the Z-transform,如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，则,ROC,可能会扩大。,38,2.,时移：,但在 和 可能会有增删。,由于信号时移可能会改变其因果性，故会使,ROC,在 ，有可能改变。,若,则,39,3.Z,域尺度变换：,若,则,时 收敛，故 时，收敛。,当 时，即为,移频特性,。,若 是一般复数 ，则 的零极点不仅要将 的零极点逆时针旋转一个角度 ，而且在径向有 倍的尺度变化。,40,1/2,4.,时域反转：,若,(,收敛域边界倒置,),则,信号在时域反转，会引起 的零、极点分布按倒量对称发生改变。,41,即：与 的,零极点呈共轭倒量对称,。,如果 是 的零,/,极点,则 就是 的零,/,极点。如果 也是 的零,/,极点，因此,也是 的零,/,极点。,则 的,ROC,为,0,例：,的,ROC,为,若,42,5.,时域内插,:,若,为 的整数倍,其它,则,证明：,43,6.,共轭对称性：,当 是实信号时，于是有,表明,如果 有复数零极点，必共轭成对出现。,若,则,44,包括,如果在相乘时出现零极点抵消的情况则,ROC,可能会扩大。,该性质是,LTI,系统,Z,变换分析法的理论基础。,则,7.,卷积性质：,若,45,8.Z,域微分：,利用该性质可以方便地求出某些非有理函数 的反变换，或具有高阶极点的 的反变换。,若,则,46,例,1.,47,例,2,：,例,3,：求反变换,48,9.,初值定理：,则,若 是因果信号，且,时有,显然当,证明：,将 按定义式展开有：,49,10.,终值定理：,若 是因果信号，且 ，,除了在 可以有一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则,证明：,在单位圆上无极点,除了在 可以有 单阶极点外，其它极点均在单位圆内，,50,表明：如果 有终值存在，则其终值等于 在 处的留数。,51,Z,平面上极点位置与信号模式的关系示意图,52,10.6,常用信号的,Z,变换对,10.7,利用,Z,变换分析与表征,LTI,系统,一,.,系统特性与 的关系,:,（自学）,Some Common Z-Transform Pairs,Analysis and Characterization of LTI Systems Using Z-Transforms,LTI,系统的特性可以由 或 描述，也可以由 连同,ROC,来表征。,系统的特性应该 中有所表现。,系统函数,53,（,1,）,当且仅当,的,ROC,是某个圆的外部，且包括 时，,LTI,系统是因果的,。,（,2,）若 是有理的，则,当且仅当,ROC,是最外部极点的外部，并且 的分子阶次不大于分母的阶次 时，,LTI,系统是因果的,。,因果性,54,2.,稳定性,即 的,ROC,必包括单位圆。,当 是关于,Z,的有理函数时，因果性要求 的分子阶数不能高于分母阶数。,若,LTI,系统稳定，则 ，即 的,DTFT,存在，表明单位圆在,ROC,内,具有有理系统函数的,因果稳定的,LTI,系统,其 的全部极点必须位于单位圆内,55,二,.LTI,系统的,Z,变换分析法：,1,）由 求得 及其 。,分析步骤：,3,）由 得出 并确定它的,ROC,包括 。,4,）对 做反变换得到 。,2,）由系统的描述求得 及其 。,56,三,.,由,LCCDE,描述的,LTI,系统的,:,对方程两边做,Z,变换可得：,由差分方程描述的,LTI,系统，其方程为,是一个有理函数。,57,的,ROC,需要通过其它条件确定，如：,1.,系统的因果性或稳定性。,2.,系统是否具有零初始条件等。,58,例：,由下列差分方程做出网络结构，并求其系统函数,H(z),和单位脉冲响应,h(n),。,解：由方程可得,FIR,59,解：由方程可得,利用,Z,变换的性质可得,IIR,60,三,.,系统特性与系统函数的关系,:,例,1,：若一个,LTI,系统输入是：,输出是：,确认该系统的系统函数，并推断系统的其他性质,若 则,61,例,2,：考虑一个系统是稳定而因果系统，单位冲激响应为,hn,，系统函数为,H(z),，假定,H(s),为有理的，且有一个极点在,z=1/2,，并在单位圆的某一点有一个零点，其余零、极点未知。判断正误：,收敛,是一个稳定系统的单位脉冲响应,是有限长序列,对某一个 ，有,是实序列,62,一,.,系统互联的系统函数,:,ROC,包括,10.8,系统函数的代数属性与方框图表示,System Function Algebra and Block Diagram Representations,1.,级联：,63,ROC,包括,2.,并联：,64,ROC,：包括,3.,反馈联接：,由系统框图可列出如下方程：,65,1.,级联型：,其中 是二阶（或一阶）系统函数。,将 因式分解，在无重阶零极点时可得,N,为偶数时,由,LCCDE,描述的,LTI,系统，其系统函数为有理函数，可将其因式分解或展开为部分分式。,二,.LTI,系统的级联与并联结构：,66,D,D,D,D,LTI,系统的级联型结构,由此即可得,系统的级联型结构,：,67,2.,并联型：,将 展开为部分分式，在无重阶极点时有,N,为偶数时,68,D,D,D,D,LTI,系统的并联型结构,69,10.9,单边,Z,变换：,一,.,单边,Z,变换：,The Unilateral Z-Transform,单边,Z,变换是双边,Z,变换的特例，即因果信号的双边,Z,变换。,单边,Z,变换 的,ROC,一定是最外部极点的,外部（若 是有理的），并且包括 。,70,如果信号 不是因果序列，则其双边,Z,变换 与单边,Z,变换 不同。,例,1:,对其做双边,Z,变换有：,显然,对其做单边,Z,变换有：,71,例,2.,对其做双边,Z,变换有：,对其做单边,Z,变换有：,这是因为 在 的部分对双边,Z,变换起作用，而对单边,Z,变换不起作用所致。,显然,72,对,因果信号，单边,Z,变换与双边,Z,变换性质是一致的。,二,.,单边,Z,变换的性质：,时移特性略有不同：,若,则,73,证明,:,同理可得：,74,同理可得：,75,单边,Z,变换在将,LCCDE,变换为代数方程时，可以自动将方程的初始条件引入，因而在解决增量线性系统问题时特别有用。,三,.,利用单边,Z,变换分析增量线性系统：,则,76,自然响应,强迫响应,零状态响应,零输入响应,若,可以通过部分分式展开得到,单边反变换可以得到：,强迫响应：,与系统输入有关系的响应,自然响应：,与系统输入没有关系，只与系统本身有关,77,1.,讨论了对离散时间信号和系统进行,Z,变换分析的方法，整个讨论方法及大部分结论与第九章相对应。,10.10,小结：,Summary,2.,与拉氏变换的情况对照，可以发现,S,平面与,Z,平面之间存在着一种映射关系，就是这种映射关系。,78,对其做拉氏变换有：,对采样所得到的样本序列 做,Z,变换有：,比较两式，可以得出,S,平面与,Z,平面之间有：,S,平面与,Z,平面之间的映射关系,将连续时间信号 采样，可以得到：,79,映射过程：,S,平面,Z,平面,80,3.,利用,Z,变换分析,LTI,系统，较之,DTFT,具有更方便、更广泛适用的优点。,4.,单边,Z,变换是分析增量线性系统的有力工具。,