《2.3映射的概念》教学案.doc

《映射的概念》教学案
教学目标
1．知识与技能
(1)了解映射的概念及表示方法；
(2)结合简单的对应图表，理解——映射的概念．
2．过程与方法
(1)函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；
(2)通过实例进一步理解映射的概念；
(3)会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射．
3．情感、态度与价值
映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．
教学重点、难点
重点：映射的概念．
难点：映射的概念．
教学过程
1．关于映射概念的教学
建议教师适当引导学生多举一些实际例子，从中体会其中的对应关系，深刻理解映射的概念．
2．关于函数与映射关系的教学
建议教师引导学生在理解概念的基础上，逐步体会理解映射是一种特殊的一对一或多对一的对应，而函数则是建立在两个非空数集之间的映射．

课标解读
1.了解映射的概念及表示方法(重点)．
2．会判断一个对应是否为映射(难点).

【问题导思】　
若集合A＝{0，－3，－2，1，2，3}，集合B＝{0，1，4，5，9}．
1．对于A中每一个数平方，在集合B中都有数与之对应吗？
【提示】　有
2．问题1中提到的对应是唯一的吗？
【提示】　是唯一的．
映射：一般地，设A，B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射．记作：f：A→B.

例1　在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？
(1)A＝{0，1，2，3}，B＝{1，2，3，4}，对应法则f：“加1”；
(2)A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f：“求平方根”；
(3)A＝N，B＝N，对应法则f：“3倍”；
(4)A＝R，B＝R，对应法则f：“求绝对值”；
(5)A＝R，B＝R，对应法则f：“求平方的倒数”．
【思路探究】　→→
【自主解答】　(1)集合A中的每一个元素通过关系f作用后，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应关系f是A到B的映射．
(2)集合A中的每一个元素通过关系f作用后，在集合B中都有两个元素与之对应，显然对应关系f不是A到B的映射．
(3)集合A中的每一个元素通过关系f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应关系f是从A到B的映射．
(4)集合A中的每一个元素通过关系f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故关系f是从A到B的映射．
(5)当x＝0∈A时，无意义，故关系f不是从A到B的映射．

理解不清映射的概念致误
典例　下列集合A到集合B的对应中，哪些是A到B的映射？
(1)A＝N，B＝Z，f：x→x；
(2)A＝R，B＝R，f：x→；
(3)A＝N*，B＝{0，1，2}，f：除以3得的余数；
(4)A＝{－4，－1，1，4}，B＝{－2，－1，1，2}，f：x→x.
【错解】　(1)不是　(2)是　(3)不是　(4)是
【错因分析】　(2)中，0∈A，但0不存在倒数，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，故不是映射．(4)由于负数没有偶次方根，所以A中的－4，－1在B中无元素与之对应．
【防范措施】　映射实质上是按照某种对应关系从一个集合到另一个集合的单值对应，对映射f：A→B而言，集合A中的任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．在解题过程中防止忽略“A中任意，B中唯一”而导致错误．
【正解】　(1)是　(2)不是　(3)是　(4)不是

1．关于映射，和函数不同的地方是集合A、B是非空集合即可，不一定是数集．对于映射f：A→B，要求集合A中没有多余的元素，允许集合B中有多余的元素，对应方式可以是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”．
2．一个对应法则是否能构成映射，关键是看它是否对A中的任意一个元素在B中都有唯一的一个元素与之对应；一个法则是否能构在函数，首先是看它是否为映射，其次是看他是否为非空数集之间的映射.
知识拓展
一、象与原象
映射f：A→B中，与A中的元素a对应的B中的元素b叫做在映射f作用下的象，a叫做b的原象．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(a)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)．
注意：对于一个从集合A到集合B的映射来说，A中的每一个元素在B中必有唯一的元素与之对应，并且对A中不同的元素，在B中可以有相同的象，但B中的每一个元素却不一定都有原象，如果有，也不一定只有一个，这就是说，从集合A到集合B的映射，要求A中的每个元素在集合B中都有象，并且象是唯一的，但不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象．
二、一一映射
设A，B是两个集合，f：A→B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射．
一一映射是一种特殊的映射，它必须具备两点：①集合A中不同的元素，在集合B中有不同的象(即不能是“多对一”)；②集合B中的每一个元素都有原象(即B中不能有“多余”的元素)，即一一映射是指：从集合A到集合B是映射且从集合B到集合A也是映射.
　　函数的定义域是指函数y＝f(x)中自变量x的允许取值范围．确定函数的定义域是进一步研究函数其他性质的前提，而研究函数的性质，利用函数性质解决数学问题是中学数学的重要组成部分．所以熟悉函数定义域的求法，对于函数综合问题的解决起着至关重要的作用．
例1　求下列函数的定义域：
(1)y＝＋；
(2)y＝－＋.
【思路点拨】　本题考查函数的定义域，求函数的定义域，就是求使函数关系式有意义的自变量x的取值范围，在求定义域中，一个有利的工具就是数轴．
【规范解答】　(1)由得x≥2，且x≠3，∴函数的定义域为[2，3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，只需∴－≤x<2，且x≠0.即函数y＝－＋的定义域为{x|－≤x<2，且x≠0}．
例2　设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
(3)求函数的值域．
【思路点拨】　解答本题首先根据f(－x)与f(x)的关系判断奇偶性，然后讨论x的范围写出相应解析式，画出函数图象，根据图象判断单调区间，求值域．
【规范解答】　(1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)，且定义域[－3，3]关于原点对称，
∴f(x)是偶函数．
(2)当0≤x≤3时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2；
当－3≤x<0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2.
即f(x)＝.

根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图所示．
函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，(－1，0]，(0，1]，(1，3]，f(x)在区间[－3，－1]，(0，1]上为减函数，在(－1，0]，(1，3]上为增函数．
(3)当0≤x≤3时，
函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为f(1)＝－2，最大值为f(3)＝2；
当－3≤x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为f(－1)＝－2，最大值为f(－3)＝2.
故函数f(x)的值域为[－2，2]．
变式训练
求出关于x的方程|x2＋2x－3|＝a的实根的个数．
【解】　令g(x)＝a，f(x)＝|x2＋2x－3|，f(x)的图象是将y＝x2＋2x－3的图象在x轴及其上方的部分不变，x轴下方的部分以x轴为对称轴，对称地翻折到上方，如图所示．

由图可知：当a<0时，原方程无实根；
当a＝0时，原方程有2个实根；
当0<a<4时，原方程有4个实根；
当a＝4时，原方程有3个实根；
当a>4时，原方程有2个实根.
　　函数单调性和奇偶性是函数的两个重要的性质，反映函数图象的变化趋势和对称性，充分体现了数与形相互转化的思想，是进行数学分析和数学研究的有力工具之一，对函数部分知识体系的综合应用具有纽带作用．函数性质是每年的必考内容之一，解题的关键是理解函数单调性和奇偶性的定义，解题时需要注意单调性和奇偶性证明的一般步骤．
　已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(x)在x∈[2，＋∞)上为单调增函数，求a的取值范围．
【思路点拨】　本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用．解答本题可分别根据函数奇偶性与单调性的定义进行判定与求解．
【规范解答】　(1)当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，
∴f(x)为偶函数；
当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)设2≤x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝x＋－x－
＝[x1x2 (x1＋x2)－a]，
要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为单调增函数，
则需f(x1)－f(x2)<0恒成立．
∵x1＋x2>4，x1x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.
∴a的取值范围是(－∞，16]．
　　函数思想方法，即是先构造辅助函数，将所给问题转化为构造的辅助函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)研究后，得出所需的结论．
与函数思想相联系的就是方程思想．所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数表示问题中所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题得到解决．
函数与方程思想主要应用在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质的问题，达到化难为易，化繁为简的目的．
例4　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b是常数且a≠0)满足条件：f(2)＝0且方程f(x)＝x有两相等实根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m，n(m<n)使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
【思路点拨】　(1)利用f(2)＝0及方程f(x)＝x的Δ＝0可求得a，b的值．
(2)先判断f(x)在[m，n]上的单调性，再列方程组求解．
【规范解答】　(1)依题意，方程ax2＋(b－1)x＝0有两相等实根，
∴Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1.
又f(2)＝0，∴4a＋2b＝0.
∴a＝－，∴f(x)＝－x2＋x.
(2)∵f(x)＝－(x－1)2＋，由题意得2n≤，
∴n≤.
f(x)对称轴为x＝1，∴当n≤1时，f(x)在[m，n]上为增函数，
设m，n存在，则即
又m<n≤1，∴m＝－2，n＝0.
即存在实数m＝－2，n＝0，使f(x)的定义域为[－2，0]，值域为[－4，0]．