高等数学之多元函数积分学省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第六节,一、格林公式,二、平面曲线积分与路径无关条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,格林公式、平面曲线积分与,路径无关条件,第九章,1/20,设,D,为平面区域,假如,D,内任一闭曲线所围成部分都属于,D,则称,D,为平面单连通区域,不然称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,D,D,一、格林公式,1.单连通域与复连通域,2/20,定理1,2,、格林公式,3/20,边界曲线L正向,:当观察者沿边界行走时,区域 D 总在他左边.,4/20,5/20,例,1,.,计算,解:,令,故,L 为以,和 为边三角形正向闭曲线.,6/20,例2.,计算,其中,D,是以,O,(0,0),A,(1,1),B,(0,1)为顶点三角形闭域,.,解:,令,则,利用格林公式,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7/20,解,8/20,x,y,o,L,y,x,o,9/20,x,y,o,(注意格林公式条件),10/20,计算平面面积,比如,椭圆,所围面积,11/20,G,y,x,o,B,A,假如在区域,G,内有,二、曲线积分与路径无关条件,1、曲线积分与路径无关定义,二、平面曲线积分与路径无关条件,12/20,定理2.,设,D,是单连通域,在,D,内,含有一阶连续偏导数,(1),沿,D,中任意光滑闭曲线,L,有,(2),对,D,中任一分段光滑曲线,L,曲线积分,(3),(4),在,D,内每一点都有,与路径无关,只与起止点相关.,函数,则以下四个条件等价:,在,D,内是某一函数,全微分,即,13/20,说明:,依据定理2,若在某区域内,则,2),求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3),可用积分法求,d,u,=,P,d,x,+,Q,d,y,在域,D,内原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可,添加辅助线,;,取定点,1),计算曲线积分时,可选择方便积分路径;,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,14/20,例,4.,计算,其中,解:因为,所以所给曲线积分与路径无关，由图形可知,为圆周 在第一,象限内弧段.,因为在 上，,15/20,因为在 上，,16/20,例,5.,计算,其中,L,为上半,从,O,(0,0),到,A,(4,0).,解:,为了使用格林公式,添加辅助线段,它与,L,所围,原式,圆周,区域为,D,则,17/20,例,6.,验证,是某个函数全微分,并求,出这个函数.,证:,设,则,由定理2 可知,存在函数,u,(,x,y,)使,。,。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18/20,内容小结,1.,格林公式,2.,等价条件,在,D,内与路径无关.,在,D,内有,对,D,内任意闭曲线,L,有,在,D,内有,设,P,Q,在,D,内含有一阶连续偏导数,则有,19/20,作业,P156：2；3；5（1）.,20/20,