江苏省南通中学高二数学暑假作业05.doc

南通中学高二数学暑假作业05
（必做题部分）
班级 姓名
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．已知集合，集合，且，则实数的值为 ．
2．已知复数为实数，则实数的值为 ．
3．为了了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所
示，且从左到右第一小组的频数是，则的值为 　　 ．
4．已知命题且，命题，则命题是命题的 条件．
5．如图是一个算法的流程图，输出的结果是 ．
6．在平面直角坐标系中，是到原点的距离不大于的点构成的区域，是满足不等式组的点构成的区域，向中随机投一点，则所投的点落在中的概率是 ．
（题6图）
开始
是
输出S
否
n←1，S←0
n≤6
S←2S+1
n←n+1
结束
次数
频率
组距
0.004
0.008
0.012
0.016
0
50
75
100
125
150
（题5图）

7．设，，，是三棱锥的棱，，，的中点，若，则 的值为 ．

（题7图） （题8图）
8．已知质点在半径为的圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度是，设为起始点，记点在轴上的射影为，则秒时点的速度是 ．
9．用表示不超过的最大整数，设，则函数的值域为 ．
10．已知函数 向右最少平移个单位长度后为偶函数，则的最小值为 ．
11．已知正项等比数列满足 ，若存在两项，使得，则的最小值为________.
12．已知周期为的函数，其中，若方程恰有个实数解，则
的取值范围为 ．
13．已知直线与圆心为的圆相交于，两点，且为等边三角形，则实数 ．
14．如图，直线、交于点，点、在直线、上，已知，，设，
点为直线上的一个动点，当 时，的最小值是．
l1
l2
A
B
C
D
P

二、解答题：本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）在中，角，，的对边分别记为、、，已知．
（1）求的值； （2）若外接圆面积为，试求的取值范围．
【解析】

16．（本小题满分14分）如图，在直四棱柱中， 已知底面是边长为的正方形，侧棱垂直于底面，且，点是侧棱的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积．
【解析】

17．（本小题满分14分）在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门（该图为轴对称图形），其中矩形的三边，，由长为分米的材料弯折而成，边的长为分米（）；曲线拟从以下两种曲线中选择一种：曲线是一段余弦曲线（在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为），此时记门的最高点到边的距离为；曲线是一段抛物线，其焦点到准线的距离为，此时记门的最高点到边的距离为．
（1）试分别求函数、的表达式；
（2）要使得点到边的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？
【解析】

18．(本小题满分16分) 如图，过椭圆的左顶点和下顶点且斜率均为的两直线，分别交椭圆于，，又交轴于，交轴于，且与相交于点，当时，是直角三角形．
M
C
B
A
D
N
P
x
y
O

（1）求椭圆的标准方程；
（2）①证明：存在实数，使得；②求的取值范围．
【解析】

19．(本小题满分16分) 设非零数列满足．
（1）当时，求证：（且，）．
（2）当，，，求证：．
【解析】

20．(本小题满分16分)已知函数，，其中．若函数，在它们的图象与坐标轴交点处的切线互相平行．
（1）求的值； （2）是否存在直线，使得同时是函数，的切线？说明理由．
（3）若直线与、的图象分别交于、两点，直线与的图象有两个不同的交点、．记以、、、为顶点的凸四边形面积为，求证：．
【解析】

南通中学高二数学暑假作业05
（必做题部分）
班级 姓名
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．已知集合，集合，且，则实数的值为 ．；
2．已知复数为实数，则实数的值为 ．；
3．为了了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所
示，且从左到右第一小组的频数是，则的值为 　　 ．；
4．已知命题且，命题，则命题是命题的 条件．充分不必要
5．如图是一个算法的流程图，输出的结果是 ．；
6．在平面直角坐标系中，是到原点的距离不大于的点构成的区域，是满足不等式组的点构成的区域，向中随机投一点，则所投的点落在中的概率是 ．；
（题6图）
开始
是
输出S
否
n←1，S←0
n≤6
S←2S+1
n←n+1
结束
次数
频率
组距
0.004
0.008
0.012
0.016
0
50
75
100
125
150
（题5图）

7．设，，，是三棱锥的棱，，，的中点，若，则 的值为 ．；

（题7图） （题8图）
8．已知质点在半径为的圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度是，设为起始点，记点在轴上的射影为，则秒时点的速度是 ．；
9．用表示不超过的最大整数，设，则函数的值域为 ．
；
10．已知函数 向右最少平移个单位长度后为偶函数，则的最小值为 ．

11．已知正项等比数列满足 ，若存在两项，使得，则的最小值为________.．
12．已知周期为的函数，其中，若方程恰有个实数解，则
的取值范围为 ．
13．已知直线与圆心为的圆相交于，两点，且为等边三角形，则实数 ．
14．如图，直线、交于点，点、在直线、上，已知，，设，
点为直线上的一个动点，当 时，的最小值是． 或
l1
l2
A
B
C
D
P

二、解答题：本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）在中，角，，的对边分别记为、、，已知．
（1）求的值； （2）若外接圆面积为，试求的取值范围．
【解析】（1）由得，∵，∴
（*），将（*）式两边同时平方得；
（2）由（*）式知，从而，从而为钝角，∴，根据正弦定理，，从而，根据余弦定理
，∴，因此，即范围为．
16．（本小题满分14分）如图，在直四棱柱中， 已知底面是边长为的正方形，侧棱垂直于底面，且，点是侧棱的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积．
【解析】（1）证明：连结交于点，连结，∵四边形
是正方形，∴点是的中点，又∵点是侧棱的中点，
∴是的中位线，∴即得，又
∵，，∴∥平面；
（2）证明：∵底面是正方形，∴，又∵侧棱垂直
于底面，∴，又，∴，
∴，可以计算得，，，
∴，∵，∴平面；
（3）易知三棱锥的体积等于四棱柱的体积减去四个体积
相等的三棱锥的体积，∴．
17．（本小题满分14分）在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门（该图为轴对称图形），其中矩形的三边，，由长为分米的材料弯折而成，边的长为分米（）；曲线拟从以下两种曲线中选择一种：曲线是一段余弦曲线（在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为），此时记门的最高点到边的距离为；曲线是一段抛物线，其焦点到准线的距离为，此时记门的最高点到边的距离为．
（1）试分别求函数、的表达式；
（2）要使得点到边的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？

【解析】（1），；
（2）由于恒成立，所以函数在上单调递减，因此，，而，，所以选用．
M
C
B
A
D
N
P
x
y
O

18．(本小题满分16分) 如图，过椭圆的左顶点和下顶点且斜率均为的两直线，分别交椭圆于，又交轴于，交轴于，且与相交于点，当时，是直角三角形．
（1）求椭圆L的标准方程；
（2）①证明：存在实数，使得；
②求的取值范围．
【解析】（1）；
（2）①证明：由（1）可设直线，的方程分别为和，其中，则，，由消去得，以上方程必有一根，由韦达定理可得另一根为，故点的坐标为（，），由消去得，解得一根为，故点的坐标为（，），由与平行得，然后，进行坐标运算，即可得出点的坐标为，而，，∴，∴存在实数=，使得；
②由
法一：由消参得点的轨迹方程为，所以的最小值为；
法二：得，令，则=，其中，，∴的最小值为．
19．(本小题满分16分) 设非零数列满足．
（1）当时，求证：（且，）．
（2）当，，，求证：．
【解析】（1）当时，,所以是等比数列，设公比为，
则，得证．
（2）由条件知，由得
，
所以数列是常数列，则，整理即得．
20．(本小题满分16分)已知函数，，其中．若函数，在它们的图象与坐标轴交点处的切线互相平行．
（1）求的值； （2）是否存在直线，使得同时是函数，的切线？说明理由．
（3）若直线与、的图象分别交于、两点，直线与的图象有两个不同的交点、．记以、、、为顶点的凸四边形面积为，求证：．
【解析】（1），与坐标轴的交点分别为，，由，
得，由题意知，即，又，所以．
（2）假设存在直线同时是函数，的切线，设与，分别相切于点，（），则或表示为，则 ，要说明是否存 在，只需说明上述方程组是否有解．由得，代入得
，即，令，因为，
，所以方程有解，则方程组有解，故存在直线，使得同时是函数的切线．
（3）设，，则，设，∴，
∴， 即在上单调递增，又，故在上有唯一零点，设为，则，因此，当时，
，∴在上单调递减；当时，，
∴在上单调递增，因此，由于，∴ ，则
．设，，则，令，则，
，∴，故．

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