概率论与数理统计试题与答案(DOC).doc

概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)
概率统计模拟题一
一、填空题（本题满分18分，每题3分）
1、设则= 。
2、设随机变量，若，则 。
3、设与相互独立，，则 。
4、设随机变量的方差为2，则根据契比雪夫不等式有 。
5、设为来自总体的样本，则统计量服从
分布。
6、设正态总体，未知，则的置信度为的置信区间的长度 。（按下侧分位数）
二、选择题（本题满分15分，每题3分）
1、 若与自身独立，则（ ）
(A)； (B) ；(C) ； (D) 或
2、下列数列中，是概率分布的是（ ）
(A) ；　(B)
(C) ；　　(D)
3、设，则有（ ）
(A) (B)
(C) (D)
4、设随机变量，则随着的增大，概率（ ）。
(A)单调增大 (B)单调减小 　(C)保持不变 (D)增减不定
5、设是来自总体的一个样本，与分别为样本均值与样本方差，则下列结果错误的是（ ）。
（A）； （B）；（C）； （D）。
三、（本题满分12分） 试卷中有一道选择题，共有４个答案可供选择，其中只有１个答案是正确的。任一考生若会解这道题，则一定能选出正确答案；如果不会解这道题，则不妨任选１个答案。设考生会解这道题的概率为０.８，求：（１）考生选出正确答案的概率？
（２）已知某考生所选答案是正确的，他确实会解这道题的概率？
四、（本题满分12分）设随机变量的分布函数为，试求常数及的概率密度函数。
五、（本题满分10分）设随机变量的概率密度为，，试求数学期望和方差。
六、（本题满分13分）设总体的密度函数为 ，其中
试求的矩估计量和极大似然估计量。
七、（本题满分12分）某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）
3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24
设测定值总体服从正态分布,但参数均未知，问在下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25。（已知）
八、（本题满分8分）设为来自总体的一个样本，求。（）

概率试统计模拟一解答
一、填空题（本题满分18分，每题3分）
1、0.6； 2、； 3、34； 4、； 5、；6、
二、选择题（本题满分15分，每题3分）
1、Ｄ； 2、Ｃ； 3、Ｂ； 4、Ｃ； 5、Ｂ
三、（本题满分12分）解：设Ｂ－考生会解这道题，Ａ－考生解出正确答案
（１）由题意知：，，，，
所以, （２）
四、（本题满分12分）解：，而，
对求导，得
五、（本题满分10分）解：；
六、（本题满分13分）矩估计：,　
极大似然估计：似然函数, 　　

　　　　，　
七、（本题满分12分）解：欲检验假设
因未知，故采用检验，取检验统计量，今，，，，，拒绝域为 ，因的观察值，未落入拒绝域内，故在下接受原假设。　
八、（本题满分8分）因，故

概率统计模拟题二
本试卷中可能用到的分位数：
，，，。
一、填空题（本题满分15分，每小题3分）
1、设事件互不相容，且则 .
2、设随机变量的分布函数为：
则随机变量的分布列为 。
3、设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，则= 。
4、若随机变量服从上的均匀分布，且有切比雪夫不等式则
, 。
5、设总体服从正态分布，为来自该总体的一个样本，则服从 分布
二、选择题（本题满分15分，每小题3分）
1、设则有（ ）。
(A)互不相容 (B)相互独立；(C)或；(D) 。
2、设离散型随机变量的分布律为：且，则为（ ）。
(A) ； (B) ； (C) ； (D) 大于零的任意实数。
3、设随机变量和相互独立，方差分别为6和3，则=（ ）。
(A) 9；(B) 15； (C) 21；(D) 27。
4、对于给定的正数，，设，，，分别是，，，分布的下分位数，则下面结论中不正确的是（ ）
（A）； （B）；（C）； （D）
5、设()为来自总体的一简单随机样本，则下列估计量中不是总体期望的无偏估计量有（ ）。
(A)； (B)； (C)； (D)。
三、（本题满分12分）
假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：
（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；
（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
四、（本题满分12分） 设随机变量的分布密度函数为
试求： （1）常数； （2）落在内的概率； （3）的分布函数。
五、（本题满分12分）
设随机变量与相互独立，下表给出了二维随机变量的联合分布律及关于和边缘分布律中的某些数值,试将其余

1

数值求出。

六、（本题满分10分）设一工厂生产某种设备，其寿命(以年计)的概率密度函数为：

工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。
七、（本题满分12分）
设为来自总体的一个样本，服从指数分布，其密度函数为，其中为未知参数，试求的矩估计量和极大似然估计量。
八、（本题满分12分）
设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布，今随机抽取9名罪犯，其年龄如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24，试以95%的概率判断犯罪青少年的年龄是否为18岁。

模拟二参考答案及评分标准 [基本要求：①卷面整洁，写出解题过程，否则可视情况酌情减分；
②答案仅供参考，对于其它解法，应讨论并统一评分标准。]
一、填空题（本题满分15分，每小题3分）
1、；2、；3、；4、；5、
注：第4小题每对一空给2分。
二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分） 1、D；2、A；3、D；4、B；5、B
三、（本题满分12分）解：设A={甲河流泛滥}，B={乙河流泛滥}……………………………1分
(1) 由题意，该地区遭受水灾可表示为，于是所求概率为：
……………………………2分
……………………………2分
…………………………………2分
(2) …1分 ………2分
………………………………………………2分
四、（本题满分12分）解：(1)由规范性 ………………1分
……1分 …1分
………………………………………………………1分
(2) ……………………………………2分
……………………………………2分
(3) ……………………………………………1分
………………1分
………………………………………1分
………………1分
五、（本题满分12分）
解： …………………………………………………1分
……………………………………………………1分
…………………………………………2分
……………………………………………………2分
…………………………………………………2分
……………………………………………………2分
…………………………………………………2分
六、（本题满分10分）
解：设一台机器的净赢利为，表示一台机器的寿命，……………………1分
……………………………………………………3分
……………………………………………………2分
……………………………………………2分
………………………………………………2分
七、（本题满分12分）
解：(1)由题意可知 …………………………………2分
令 ，即，…………………………………………………………2分
可得，故的矩估计量为 ………………………………………2分
（2）总体的密度函数为……………………1分
似然函数 ，……………………………2分
当时，取对数得 ，…………………1分
令 ，得………………………………………1分
的极大似然估计量为 ………………………………………………1分

八、（本题满分12分）
解：由题意，要检验假设 ……………………………2分
因为方差未知，所以选取统计量 …………………………………2分
又 ……………………2分
得统计量的观测值为 ……………………………………2分
，即落入拒绝域内，……………………………………………2分
能以95%的概率推断该市犯罪的平均年龄不是18岁。……………………2分

2009-2010 学年第 一 学期末考试试题3（A卷）概率论与数理统计
本试卷中可能用到的分位数：
，,，
一、填空题（本题满分15分，每空3分）
1、设，则=　　　　　　　。
2、设随机变量~，为其分布函数，则=__________。
3、设随机变量~ (指数分布)，其概率密度函数为,用切比雪夫不等式估计 。
4、设总体在上服从均匀分布，则参数的矩估计量为 。
5、设随机变量的概率密度函数为
若使得，则的取值范围是__________。

二、单项选择题（本题满分15分，每题3分）
1、A、B、C三个事件不都发生的正确表示法是（ ）。
（A）ABC （B） （C） （D）
2、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ ）。
（A） （B）
（C） （D）
3、设，，则（ ）。
（A）11 （B）9 （C）10 （D）1
4、设是来自总体的一部分样本，则服从（ ）。
（A） （B） （C） （D）
5、设总体～，其中已知，为的分布函数，现进行n次独立实验得到样本均值为，对应于置信水平1-的的置信区间为，则由（ ）确定。
（A） （B） （C） （D）
三、（本题满分12分）某地区有甲、乙两家同类企业，假设一年内甲向银行申请贷款的概率为0.3，乙申请贷款的概率为0.2，当甲申请贷款时，乙没有申请贷款的概率为0.1；
求：（1）在一年内甲和乙都申请贷款的概率？
（2）若在一年内乙没有申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率？
四、（本题满分12分）设随机变量的概率密度函数为, 其中常数，
试求：（1）k；（2）；（3）分布函数.
五、（本题满分12分）设随机变量与相互独立，其分布律分别为

1
2
3

1/5
2/5
2/5

1
2

1/3
2/3
求：（1）的联合分布律；
（2）的分布律； （3） .
六、（本题满分12分）设的联合概率密度为,
（1） 求系数;
（2） 求的边缘概率密度，的边缘密度；
（3） 判断与是否互相独立；
（4） 求.
七、（本题满分12分）
正常人的脉搏平均72次/每分钟，现在测得10例酏剂中毒患者的脉搏，算得平均次数为67.4次，样本方差为。已知人的脉搏次数服从正态分布，试问：中毒患者与正常人脉搏有无显著差异?（）
八、（本题满分10分）1．已知事件与相互独立，求证也相互独立.
2. 设总体服从参数为的泊松分布，是的简单随机样本，已知样本方差是总体方差的无偏估计，试证：是的无偏估计.
2009-2010 学年第 一 学期期末考试试题答案及评分标准3（A卷）概率论与数理统计
一、填空题（本题满分15分，每小题3分）
1、； 2、1；3、；4、；5、
二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分）
1、 D；2、B；3、A；4、C；5、A
三、（本题满分12分）
解：={甲向银行申请贷款 } ={乙向银行申请贷款}
（1） 3分
3分
（2） 3分 3分

四、（本题满分12分）解 （1） 由.
得 . 3分
（2） 3分
（3） 2分, 当时 0 1分
当时， 1分
当时 1 1分
… 1分
五、（本题满分12分） （1）（X，Y）的联合分布为：
X Y
1
2
1
1/15
2/15
2
2/15
4/15
3
2/15
4/15
4分
（2） 的分布律为：
Z
1/2
1
3/2
2
3
P
2/15
5/15
4/15
2/15
2/15
4分
（3）= 4分
六、（本题满分12分） 解：（1）由于 2分
所以：,, =4 1分
（2）当时，
所以： 2分
当时，
所以： 2分
（3）所有的，对于都成立
X与Y互相独立 2分
（4） 2分

1分
七、（本题满分12分） 解：由题意得，
H： H： 2分
3分
的拒绝域为 3分
其中 代入
2分
所以，拒绝H ，认为有显著差异。 2分
八、（本题满分10分）
1 、 与相互独立 ） 1分
从而
2分

因此：与相互独立 2分
2、X服从参数为的泊松分布，则
2分
，，故， 2分
因此是的无偏估计. 1分

期末考试试题4
试卷中可能用到的分位数：，，，
一、单项选择题（每题3分，共15分）
1、设，，当与相互独立时，（ ）.
A. 0.21 B. 0.3 C. 0.81 D. 0.7
2、下列函数中可作为随机变量分布函数的是（ ）.
A. B.
C. D.
3、设随机变量服从参数为2的指数分布，则（ ）.
A. B. C. 2 D. 4
4、设随机变量与相互独立，且，. 令，则（ ）.
A. 5 B. 7 C. 11 D. 13
5、设是来自正态总体的一个样本，则统计量服从（ ）分布.
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共15分）
1、若，，则当与互不相容时，与 .（填“独立”或“不独立”）
2、设随机变量，则 .（附：）
3、设随机变量的分布律为：

1
2
3
1

0.10
0.28
2
0.18

0.12
3
0
0.15
0.05

则= .
4、设的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计 .
5、某单位职工的医疗费服从，现抽查了25天，测得样本均值
元，样本方差，则职工每天医疗费均值的置信水平为0.95的置信区间
为 .（保留到小数点后一位）
三、计算题（每小题10分，共60分）
1、设某工厂有三个车间，生产同一种螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%和40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，现从该厂产品中抽取一件，求：(1) 取到次品的概率；(2) 若取到的是次品，则它是车间生产的概率.
2、设连续型随机变量的分布函数为
试求：(1) 的值；(2) ；(3) 概率密度函数.
3、设二维随机变量的分布律为：

1
2
1

2

（1）求与的边缘分布律；
（2）求；
（3）求的分布律.

4、设相互独立随机变量与的概率密度函数分别为：

（1）求X与的联合概率密度函数；（2）求.
5、设总体的概率密度函数为：
其中，为未知参数. 为来自总体的一个简单随机样本，求参数的矩估计和极大似然估计.
6、已知某摩托车厂生产某种型号摩托车的寿命（单位：万公里）服从，在采用新材料后，估计其寿命方差没有改变. 现从一批新摩托车中随机抽取5辆，测得其平均寿命为10.1万公里，试在检验水平下，检验这批摩托车的平均寿命是否仍为10万公里？
四、证明题（10分）设是来自总体(未知)的一个样本，试证明下面三个估计量都是的无偏估计，并确定哪一个最有效
，，.
X学年第 一 学期末考试试题5 概率论与数理统计
本试卷中可能用到的分位数：
， ， ，
， ，
一、填空题 (每小题3分，本题共15分)
1、设为两个相互独立的事件, 且，则 。
2、设随机变量的分布函数为，则 。
3、若随机变量，，若，则 。
4、设是个相互独立且同分布的随机变量，， 对于，根据切比雪夫不等式有 。
5、设（）为来自正态总体的样本，若为的一个无偏估计, 则 。
二、单项选择题(每小题3分，本题共15分)
1、对于任意两个事件和, 有等于（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2、下列中，可以作为某随机变量的分布函数的是（ ）。
(A) (B)
(C) (D)
3、设离散型随机变量的分布律为，且则为（ ）
（A）大于零的任意实数 （B） （C） （D）
4、设随机变量服从参数为的泊松分布, 则随机变量的数学期望为（ ）
(A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
5、设随机变量与相互独立，都服从正态分布，和是分别来自总体和的样本，则服从（ ）
(A) (B) (C) (D)
三、（本题满分12分）某工厂有三部制螺钉的机器、、，它们的产品分别占全部产品的25%、35%、40%，并且它们的废品率分别是5%、4%、2%。今从全部产品中任取一个，试求：（1）抽出的是废品的概率；（2）已知抽出的是废品，问它是由制造的概率。
四、（本题满分12分）设随机变量的概率密度函数为，求:
（1）常数A; （2）；（3）的分布函数。
五、（本题满分12分）设的联合概率密度函数为，试求：（1）的边缘概率密度函数；（2）判断是否相互独立,是否相关。
六、（本题满分10分）设随机变量服从正态分布，试求:
(1) 。(2) 求常数, 使。
(3) 若与相互独立，服从正态分布，求。
七、（本题满分12分）设总体, 其中为未知参数。设为来自总体的样本，求未知参数的矩估计与极大似然估计。
八、（本题满分12分） (1)从一批钉子中随机抽取16枚，测得其长度（单位：cm）的均值，标准差。假设钉子的长度，求总体均值的置信水平为的置信区间。
(2)设，，与相互独立，而和分别是来自总体和的样本，若，求。

X学年第一学期期末考试试题5答案及评分标准 概率论与数理统计
一、填空题（本题满分15分，每小题3分）
1、；2、； 3、；4、；5、-1
二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分）
2、 B；2、A；3、C；4、D；5、C
三、（本题满分12分）
解：设={抽出的产品由A制造}，={抽出的产品由B制造}，
={抽出的产品由C制造}, B={抽出的产品是废品} 1分
由全概率公式： 4分
6分
由贝叶斯公式： 9分
12分
四、（本题满分12分）解：（1） 由于 2分
即 故 3分
（2） 5分 = 6分
（3）
当时， 9分
当时， 12分
五、（本题满分12分）
解：（1） 2分
4分
（2）因为，所以X，Y不独立。 5分
7分
9分
11分
因为，所以X与Y相关。 12分
六、（本题满分10分）解： (1)
= 3分
（2）由
有=0.5= 5分
7分
（3） = =52 10分
七、（本题满分12分）
解：（1） 5分
(2) 7分
＝ 9分
12分
八、（本题满分12分）
解：(1)由置信区间 3分
代入数值计算得 5分
(2) 8分
D= 11分
,. 12分

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