资源描述
4.2.2 圆与圆的位置关系
【课时目标】 1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．2．会利用圆与圆位置关系的判断方法进行圆与圆位置关系的判断．3．能综合应用圆与圆的位置关系解决其他问题．
圆与圆位置关系的判定有两种方法：
1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置
关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1、
r2的
关系
d＝r1＋r2
|r1－r2|<d
<______
d<______
2．代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．一元二次方程
一、选择题
1．两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4和(x－3)2＋(y＋6)2＝64的位置关系是( )
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
2．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
4．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
5．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
6．集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r>0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是( )
A．(0，－1) B．(0,1]
C．(0,2－] D．(0,2]
二、填空题
7．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为________．
8．两圆交于A(1,3)及B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋n＝0上，则m＋n的值为________．
9．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦长为____________．
三、解答题
10．求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．
11．点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．
能力提升
12．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．
13．已知点P(－2，－3)和以点Q为圆心的圆(x－4)2＋(y－2)2＝9．
(1)画出以PQ为直径，Q′为圆心的圆，再求出它的方程；
(2)作出以Q为圆心的圆和以Q′为圆心的圆的两个交点A，B．直线PA，PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？
(3)求直线AB的方程．
1．判定两圆位置关系时，结合图形易于判断分析，而从两圆方程出发往往比较繁琐且不准确，可充分利用两圆圆心距与两圆半径的和差的比较进行判断．
2．两圆的位置关系决定了两圆公切线的条数．
3．两圆相交求其公共弦所在直线方程，可利用两圆方程作差，但应注意当两圆不相交时，作差得出的直线方程并非两圆公共弦所在直线方程．
4．2．2 圆与圆的位置关系 答案
知识梳理
1．d>r1＋r2 r1＋r2 d＝|r1－r2| |r1－r2|
2．相交 内切或外切 外离或内含
作业设计
1．A [圆心距d＝r＋R，选A．]
2．C [∵两圆标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，
(x＋2)2＋(y－2)2＝9，
∴圆心距d＝＝5，
r1＝2，r2＝3，
∴d＝r1＋r2，∴两圆外切，∴公切线有3条．]
3．C [两圆圆心所在直线即为所求，将两圆圆心代入验证可得答案为C．]
4．C [外切时满足r1＋r2＝d，
即＝5，解得m＝2或－5．]
5．D [设动圆圆心为P，已知圆的圆心为A(5，－7)，则外切时|PA|＝5，内切时|PA|＝3，所以P的轨迹为以A为圆心，3或5为半径的圆，选D．]
6．C [由已知M∩N＝N知N⊆M，
∴圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含，
∴2－r≥，∴0<r≤2－．]
7．±2或0
解析 ∵圆心分别为(0,0)和(－4，a)，半径分别为1和5，两圆外切时有
＝1＋5，∴a＝±2，
两圆内切时有＝5－1，
∴a＝0．综上，a＝±2或a＝0．
8．3
解析 A、B两点关于直线x－y＋n＝0对称，
即AB中点(，1)在直线x－y＋n＝0上，
则有－1＋n＝0，①
且AB斜率＝－1②
由①②解得：m＝5，n＝－2，m＋n＝3．
9．
解析 由
②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，
∴圆x2＋y2＝5的圆心到该直线的距离为
d＝＝，
设公共弦长为l，∴l＝2＝．
10．解 设所求圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
由①②③得．∴(x－3)2＋(y－3)2＝18．
11．解 把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，
(x＋1)2＋(y＋2)2＝4．
如图，C1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C2的坐标是(－1，－2)，半径长是2．所以，
|C1C2|＝＝．
因此，|MN|的最大值是＋5．
12．4
解析 如图所示，
在Rt△OO1A中，OA＝，O1A＝2，
∴OO1＝5，
∴AC＝＝2，
∴AB＝4．
13．解
(1)∵已知圆的方程为
(x－4)2＋(y－2)2＝32，
∴Q(4,2)．
PQ中点为Q′，
半径为r＝＝，
故以Q′为圆心的圆的方程为
(x－1)2＋2＝．
(2)∵PQ是圆Q′的直径，∴PA⊥AQ(如图所示)
∴PA是⊙Q的切线，同理PB也是⊙Q的切线．
(3)将⊙Q与⊙Q′方程相减，得6x＋5y－25＝0．
此即为直线AB的方程．
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