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如何进行算法教学中的数学实验
三中 丁宁
摘要：算法进入中学数学课程，成为中国数学课程的一个新特色，这是信息时代赋予我们的任务，也是数学发展的必然趋势。算法设计的优劣需要上机检验，算法设计的改进需要调试修正，这就直接为“数学实验”在中学的深入开展提供了一种可能。
关键词：数学实验，算法，计算机，模拟
对于数学学习来说亲自参与数学的经验性活动是至观重要的，计算机的出现改变了数学只用纸和笔进行研究的传统方式，给数学的研究带来了最先进的工具，在计算机上进行计算和模拟实验已成为一种新的科学方法和技术，数学正在成为一门实验科学。“数学实验”也就应运而生。“数学实验”的方法实际上是对数学模型进行“实验”，“实验”是在计算机上进行大量的数值和逻辑运算，这些运算的高精确度和高速度是用手工运算很难完成的。所以数学教学中也需要实验教学。
算法进入中学数学课程，成为中国数学课程的一个新特色，这是信息时代赋予我们的任务，也是数学发展的必然趋势。算法设计的优劣需要上机检验，算法设计的改进需要调试修正，这就直接为“数学实验”在中学的深入开展提供了一种可能，而且对基础教学来说是一种开创的尝试。
算法就是将人类的思维能力形式化为计算机可以执行的步骤，使得若干微小的电子元件代替人类进行思考。具体过程是先将解决问题的一系列步骤写成算法，再翻译成某种程序设计语言在计算机上实现，就得到了我们每天操作的程序块。因此，算法是计算机科学的核心，换句话说，算法是计算机程序的基础。没有算法，计算机的存在也就失去了意义。计算机工作靠的是程序，而程序的灵魂就是算法。算法教学和程序语言教学有非常密切的联系，所设计的算法正确与否要通过编程并且运行程序进行验证，借助于程序语言可以使算法得以实现；反之要设计程序就必须弄清算法原理，可以说，算法教学是程序语言教学的基础，程序语言教学是算法教学必要的延续，两者相辅相成，然而，上述两者在教学重点上有所不同，算法的教学重点在于：体现算法的思想——程序化思想，培养学生的逻辑思维能力，培养学生思维的条理性。而程序语言教学却是计算机语言教学，教学重点是让学生学会编程。两者各有特色，相互联系，在算法教学时可以充分结合程序语言教学，鼓励学生尽可能把自己的算法在计算机上实现，但不可本末倒置，不要把算法内容简单处理成程序语言的学习或程序设计。所以我们在教学中渗透“数学实验”的思想，注重学生主动参与、探索、发现、数学建模，编写程序和数学实验，使学生对算法思想有更深刻的体会。现把教学中我和学生们共同实验的过程归纳总结如下：
一、对大数的计算
人们在认识大数历程的过程中，经历了长期不断的探索，可以说每前进一步，都影响着数学的历史发展。在中学数学中经常会遇到大数问题，对大数的计算用手工方式是无能为力的，但对“数学实验”来说是轻而易举的。
在讲授循环语句的时候，学生编写计算必修3.P25练习B组4.的程序。
等比数列的求和公式是数列这一章的重要内容，学生利用求和公式不难得到。利用算法思想编制一个等比数列的求和程序也不难，借此机会让学生试着编制一个程序，这样一方面可以提高学生对公式的理解，另一方面还可以提高学生利用算法解决实际问题的能力。在程序设计教学过程中，我和学生一起利用计算机进行“数学实验”，对这个问题通过算法设计和实践，激发学习兴趣，提升思维技巧，培养创新能力。
方法一：只要设计一个循环结构，在循环体内先计算以2为底幂运算，然后进行累加，当循环结束后，把累加数输出。
s=1；
n=2；
i=1；
WHILE  i＜=63
         s=s+n^i；
         i=i+1；
 END
 PRINT  “1+2+2^2+2^3+…+2^63=”；s
END
人们最怕重复计算，因为重复枯燥乏味。而计算机则擅长重复。这种重复体现到程序中就是循环。循环结构蕴涵的是递推迭代的思想, 所谓迭代就是一个不断用新值取代变量的旧值或由旧值递推出变量的新值的过程。应用循环结构和迭代思想，就可以解决数列求和等问题。本例充分体现了算法是解决某一类问题的明确的、有序的、有限的步骤，算法的程序化思想体现的淋漓尽致。
本题运行输出的结果是：1844674E+19。但这是一个以科学记数法表示的数据，那么能不能计算出精确的数据呢？随着学习的深入，我和学生们共同探讨设计算法，计算出精确的结果。
方法二：算法设计
Step1 先计算出，然后减去1；
Step2 数据存储:利用数组a(20)的每一个单元存放的每一位数字；
例如，若，则a(1)=8, a(2)=4, a(3)=0, a(4)=2
Step3 数据进位：按位相乘，按位记录。
运行输出的结果S=18446744073709551615.这是手算很难计算出的，这样我们通过数学实验完成了大数的计算，学生们亲身体会到数学实验的优越性。
这种以算法为基石，辅以计算机的数学实验，是学生在教师的指导下借助计算机的帮助，自主参与，具有高度的自主性，探索性的一种教学活动。数学实验教学是数学课堂教学的重要补充，利于教学内容呈现方式，学生学习方式，教师教学方式，师生互动方式的变革，丰富和发展数学方法论，促进新课程的改革目标的实现。数学实验不仅是数学教育教学革新的理念与实践途径，更成了数学课程和信息技术的有效整合的重要途径。
二、高精度运算
圆周率是一个极其驰名的数。从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者们的兴趣。作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。回顾历史，人类对 π 的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。 π 的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。
高精度运算是学生们感兴趣的一个内容，在教学过程中对“计算圆周率”这个题目进行了数学实验。在学习§1.3中国古代数学中的算法案例利用刘徽割圆术的算法思想计算圆周率的不足近似值后，教材“探索与研究”里提出问题：利用割圆术的思想怎样给出π的一个较准确的范围？基于这个问题我们又进一步思考：怎样得到一个我们所需要的π精度？学生们探讨的成果如下：
算法原理：在处取得零点，又在函数3与4只有一个零点，可对区间进行二分，逐渐达到。

算法程序：

执行程序，当选择迭代次数为20时，可以得到=3.14159250259399，这样高精度的计算用手工是很难进行的。在这段教学中，鼓励学生尽可能借助所学知识再结合算法知识解决这个问题，学生们想到了借用二分法解决这个问题。由此学生不禁想到我们之前学过的很多知识都蕴含着算法思想。算法思想是贯穿高中课程的一条主线。以前，我们没有给出算法这个名词，但是，我们一直在利用算法的思想。在数学中，完成每一件工作，例如，计算一个函数值，求解一个方程，证明一个结果，等等，我们都需要有一个清晰的思路，一步一步地去完成，算法思想就是指按照一定的步骤，一步一步去解决某个问题的程序化思想。尤其在计算机普及的时代，程序化越来越为人们普遍接受，提高设计“算法的能力”变得很必要了。
在这个教学过程中基于中国古代算法思想的特征，其对本民族的数学教育而言，还有着特别的教育价值，即体现数学课程的民族性、培养学生的应用意识、促进学生对现代算法思想的理解等。教师引导学生将注意力和思想活动指向问题求解的创新过程，在创新过程中学生的创造力得以发展，数学教学不再仅仅是刻板地局限在感知教材→理解教材→巩固知识→运用知识等形式化的阶段，而是着重将“问题”作为学习的出发点和归宿，重视观察，发现，探索在学习中的作用，把学生的学习看作是一种积极的，探索的学习，通过我们的“数学实验”使学生乐意并有更多的精力投入到探索性的数学活动中去。
三、模拟实验
在数学试验中，利用计算机进行随机现象模拟探索是很有意义的。大家都知道，在自然界有许多现象是必然的，还有很多现象是偶然的，倘若在一组相同的条件下，它们可能出现，也可能不出现。例如：“掷硬币得正面”等都是偶然事件。
教学时可拿“掷硬币”作为例子，把一枚均匀的硬币掷在台上，出现正面或者反面预先是无法判断的。如果当掷的次数增加时，那么出现正，反面的情况会怎么样？这是个很有趣的数学问题。历史上有许多数学家做过这样的掷硬币实验。
实验者
掷硬币次数
出现正面的次数
频率(出现次数／掷次数)
狄摩更
2048
1061
0.5181
布丰
4040
2048
0.5069
皮尔逊
12000
6019
0.5016
从表中可以看到，当投掷的次数越来越多，频率越接近0.5。但这样的人工试验既费时又费力，引导学生编写这样的程序进行“数学实验”是有意义的。我们用计算机模拟掷硬币的试验，我们称用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗（Monte  Carlo）方法，蒙特·卡罗方法（Monte  Carlo  method），也称统计模拟方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”,以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。与它对应的是确定性算法。现代的蒙特卡罗方法，已经不必亲自动手做实验，而是借助计算机的高速运转能力，使得原本费时费力的实验过程，变成了快速和轻而易举的事情。
算法设计：
利用随机函数rnd来编写。因为随机函数rnd能产生l0，1)区间的一个均匀分布的随机数。所以设置条件语句：if md<0.5 THEN 来判断。当随机数小0.5时，打印和统计硬币反面出现的次数。随机数大于0.5时，打印和统计硬币正面出现的次数。投掷的次数由键盘输入。            
Stepl 输入需要掷硬币的次数；       
Step2 f=0 ，设置统计硬币出现正面次数的变量名为f．赋初值为零；
Step3 b=0 ，设置统计硬币出现反面次数的变量名为b，赋初值为零；
Step4 控制掷硬币得次数；
Step5 判断md<0.5，若打印出现正面的标记“f”,并记数；
Step6 否则打印出现反面的标记“b”，并记数；
Step7 打印出累计的硬币出现正，反面的次数。
程序设计：

程序运行时，当单击窗体后，屏幕上会显示出对话输入框，请输入所需要掷硬币的次数。比如当输入60时，这个程序模拟了硬币投掷了60次的情况，我们看到正面出现了28次，反面出现了32次。学生们经过多次数学实验，看到当投掷次数越来越多时，比率越来越接近0.5，他们验证了上面几位实验者的实验记录，亲身体验到了数学实验的意义。在往后相关的内容(如制作随机数表)也体现出数学与算法的有机结合，有意识地引导学生在其他知识模块中体会算法思想，使其体会到掌握算法思想对提高数学能力的重要性。
以上是教学中基于算法辅以计算机对“数学实验”的初步尝试，实验的结果和我们的体会是否正确还需要进一步的研究。在教学和学习的过程中，我们意识到数学实验不仅在形成数学知识的过程中，而且在数学知识的应用过程中，始终能为学生提供发挥创造的机会。数学教学可以不再是单一刻板的解题教学，它的教学价值主要体现在两方面：从学生的角度来看，借助高中的算法课程开展数学实验，学生的主动性，创造性和协作精神得到了很大提高。从教师角度来看，用实验的方式教授教学是对传统教学方式的有益补充。这一教学模式的产生是现代数学发展的必然产物，数学的发展走向预示着在新的数学教学改革中，数学实验教学模式将成为数学教学模式家族中的一颗“新星”脱颖而出，显示出强劲的生命力。 
参考文献：
[1]张马彪．对数学实验的探讨[J]．数学通报
[2]左双奇．数学实验——种研究性学习的实践方式[J]．数学通报
[3]黄新春．新课程改革中数学实验教学的认识与思考[J]．数学通报
[4]陈国芳，王晓辉． 高中数学新课程中算法教学现状的调查与分析