边界层分析求解.ppt

15-3 15-3 边界层微分方程组的解边界层微分方程组的解 边界层的概念是边界层的概念是19041904年德国科学年德国科学家普朗特提出的。家普朗特提出的。（Boundary Boundary layerlayer）1 1）定义）定义垂直于壁面的方向上流体垂直于壁面的方向上流体流速发生显著变化的流体流速发生显著变化的流体薄层定义为流动边界层。薄层定义为流动边界层。一一一一.边界层边界层边界层边界层1.1.1.1.流动边界层流动边界层流动边界层流动边界层热线风速仪热线风速仪热线风速仪热线风速仪 在在离离平平壁壁前前端端x处处用用热热线线风风速速仪仪，测测得得沿沿壁壁面面方方向向方方向向上上各各点点的的流流速速，这这一一分分布布呈呈现现类类似似抛抛物物线线型型。在在u=0.99u 处处以以外外的的流流体体，可可以以认认为为不不受受流流体体粘粘性性的的影影响响，称称其其为为主主流流区区。而而u u=0.99=0.99u u以以内内的的区区域域，存存在在明明显显速速度度梯梯度度，称称为边界层区。为边界层区。流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特性，在流体黏性力的流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特性，在流体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向上会从壁面处的零速度逐步变化到来作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向上会从壁面处的零速度逐步变化到来流速度。流速度。tw t u t t 0 x 普朗特通过观察发现，对于低黏度的流体，如水和空气等，在以较大的流速普朗特通过观察发现，对于低黏度的流体，如水和空气等，在以较大的流速流过固体壁面时，在壁面上流体速度发生显著变化的流体层是非常薄的。流过固体壁面时，在壁面上流体速度发生显著变化的流体层是非常薄的。边界层内：平均速度梯度很大；边界层内：平均速度梯度很大；y=0处的速度梯度最大处的速度梯度最大满足牛顿粘性定律：满足牛顿粘性定律：式中：式中：粘滞力，粘滞力，N/m2;动力粘度动力粘度,kg/(ms)在速度边界层内存在较大的速度梯度，因此粘滞力也较大。由于粘滞在速度边界层内存在较大的速度梯度，因此粘滞力也较大。由于粘滞力的牵制，在这一边界层内流体微团只能沿着壁面平行地分层流动，称为力的牵制，在这一边界层内流体微团只能沿着壁面平行地分层流动，称为层流边界层。层流边界层。流流体体流流过过固固体体壁壁面面的的流流场场就就人人为为地地分分成成两个不同的区域。两个不同的区域。tw t u t t 0 x其其一一是是边边界界层层流流动动区区，这这里里流流体体的的黏黏性性力力与与流流体体的的惯惯性性力力共共同同作作用用，引引起起流流体体速速度度发发生生显显著著变变化化；其其二二是是势势流流区区，这这里里流流体体黏黏性性力力的的作作用用非非常常微微弱弱，可可视视为为无无黏黏性的理想流体流动，也就是势流流动。性的理想流体流动，也就是势流流动。2 2 2 2）边界层的厚度）边界层的厚度）边界层的厚度）边界层的厚度当速度变化达到当速度变化达到 时的空间位置为速度边界层的外边缘，那么从这一时的空间位置为速度边界层的外边缘，那么从这一点到壁面的距离就是边界层的厚度点到壁面的距离就是边界层的厚度 tw t u t t 0 x 小：空气外掠平板，小：空气外掠平板，理论关系式为理论关系式为 ：u u=10m/s=10m/s：要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度(即即 )，也就是，也就是所说的边界所说的边界层是一个薄层，这就要求雷诺数必须足够的大层是一个薄层，这就要求雷诺数必须足够的大,即即 因此，对于流体流过平板，满足因此，对于流体流过平板，满足边界层假设的条件就是雷诺数足够大边界层假设的条件就是雷诺数足够大。由此也。由此也就知道，就知道，当速度很小、黏性很大时或在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性当速度很小、黏性很大时或在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性条件。条件。3)3)3)3)临界雷诺数临界雷诺数临界雷诺数临界雷诺数 随着随着x x的增大，的增大，（x x）也逐步增大，同时黏性力对流场的控制作用也逐步也逐步增大，同时黏性力对流场的控制作用也逐步减弱减弱，从而使边界层内的流动变得紊乱。，从而使边界层内的流动变得紊乱。把边界层从层流过渡到紊流的把边界层从层流过渡到紊流的x x值称为临界值，记为值称为临界值，记为x xc c，其所对应的雷诺，其所对应的雷诺数称为临界雷诺数，即数称为临界雷诺数，即流体平行流体平行流过平板的临界雷诺流过平板的临界雷诺数大约是数大约是 对对于于管管内内的的流流动动运运动动，取取临界雷诺数临界雷诺数23002300粘粘性性底底层层：在在紊紊流流边边界界层层内内，由由于于紧紧贴贴壁壁面面处处那那一一层层薄薄层层内内粘粘滞滞力力甚甚大大，流流体体仍仍具有层流的特征。具有层流的特征。紊紊流流支支层层：粘粘性性底底层层上上方方称称为为紊紊流流支支层层，在在该该层层内内粘粘滞滞力力较较小小，流流体体具具有有紊紊流流的的特点。特点。边界层厚度边界层厚度=粘性底层粘性底层+紊流支层紊流支层 由由以以上上两两式式可可以以发发现现，流流体体的的主主流流速速度度w越越大大，层层流流边边界界层层厚厚度度层层以以及及粘粘性性底底层层的的厚厚度度底底越越薄薄；x增增大大时时，层层流流边边界界层层厚厚度度层层随随x0.5成成正正比比增增加加，而而粘粘性性底底层则随层则随x0.1成正比增加，这表明当成正比增加，这表明当x增大时，增大时，底底增加很少。增加很少。4)4)4)4)要点要点要点要点(1)边界层厚度边界层厚度 与壁的定型尺寸与壁的定型尺寸L相比极小，相比极小，L(2)边界层内存在较大的速度梯度边界层内存在较大的速度梯度(3)边界层流态分层流与紊流；紊流边界层紧靠壁面边界层流态分层流与紊流；紊流边界层紧靠壁面处仍有层流特征，粘性底层（层流底层）处仍有层流特征，粘性底层（层流底层）(4)流场可以划分为边界层区与主流区流场可以划分为边界层区与主流区（纵向）（纵向）层流边界段：层流边界段：Re数很小，粘性力占优势，忽略数很小，粘性力占优势，忽略惯性力惯性力 过度边界段：过度边界段：Re数处于之间，粘性力和数处于之间，粘性力和惯性力惯性力相当相当 紊流边界段：紊流边界段：Re数很大，数很大，惯性力惯性力主导，忽略粘性力主导，忽略粘性力惯性力惯性力 指指当当物物体体加加速速时时，惯惯性性会会使使物物体体有有保保持持原原有有运运动动状状态态的的倾倾向向，若若是是以以该该物物体体为为参参照照物物，看看起起来来就就仿仿佛佛有有一一股股方方向向相相反反的的力力作作用用在在该该物物体体上上，因因此此称称之之为为惯惯性性力力。因因为为惯惯性性力力实实际际上上并并不不存存在在，实实际际存存在在的的只只有有原原本本将将该该物物体体加加速速的的力力，因因此此惯性力又称为假想力。惯性力又称为假想力。惯性系惯性系:相对于地球静止或作匀速直线运动的物体相对于地球静止或作匀速直线运动的物体.非惯性系非惯性系:相对地面惯性系做加速运动的物体相对地面惯性系做加速运动的物体.2.2.2.2.热（温度）边界层（热（温度）边界层（热（温度）边界层（热（温度）边界层（Thermal boundary Thermal boundary Thermal boundary Thermal boundary layerlayerlayerlayer）当流体流过平板而平板的温度当流体流过平板而平板的温度t tw w与来流流体的温度与来流流体的温度t t不相等时，在不相等时，在壁面上方也能壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为热边界层形成温度发生显著变化的薄层，常称为热边界层。Tw1 1 1 1）定义）定义）定义）定义2 2 2 2）热边界层厚度）热边界层厚度）热边界层厚度）热边界层厚度 当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的0.990.99倍时，即倍时，即 ，此位置就是边界层的外边缘，而该点到壁面之间的距离则是，此位置就是边界层的外边缘，而该点到壁面之间的距离则是热边界层的厚度热边界层的厚度,记为记为 湍流：温度呈幂函数分布湍流：温度呈幂函数分布层流：温度呈抛物线分布层流：温度呈抛物线分布湍湍流流边边界界层层贴贴壁壁处处的的温温度度梯梯度明显大于层流度明显大于层流故：湍流换热比层流换热强！故：湍流换热比层流换热强！在同一位置上在同一位置上热边界层厚度与速度边界层厚度的相对大小与流体的普朗特数热边界层厚度与速度边界层厚度的相对大小与流体的普朗特数PrPr有关有关，也就是与流体的热扩散特性和动量扩散特性的相对大小有关。，也就是与流体的热扩散特性和动量扩散特性的相对大小有关。由此式可以看出，由此式可以看出，热边界层是否满足薄层性的条件，除了热边界层是否满足薄层性的条件，除了ReRe足够大之外还取决足够大之外还取决于普朗特数的大小，当普朗特数非常小时（于普朗特数的大小，当普朗特数非常小时（Pr1Pr1Pr1时时，Pr=/aPr=/a，aa，粘粘性性扩扩散散 热热量量扩扩散散，速速度度边边界界层层厚厚度度 温温度度边边界界层层厚度。厚度。当当Pr1Pr1时，时，Pr=/aPr=/a，aa，粘性扩散，粘性扩散 热量扩散，速度边界层厚度热量扩散，速度边界层厚度 温度边界温度边界层厚度。层厚度。也可以从公式得出也可以从公式得出 T Tu uT Tx x0 0t tu ux x0 0t t(a)Pr1(a)Pr1要点：要点：要点：要点：热边界层的边界线将流体的温度场划分为两个区域，只有在热边界层中才有温度变热边界层的边界线将流体的温度场划分为两个区域，只有在热边界层中才有温度变化，而在热边界层以外可以认为温度梯度为零，当做等温流动区。化，而在热边界层以外可以认为温度梯度为零，当做等温流动区。对于层流，壁面法线方向热量传递靠导热方式，边界层内温度分布为抛物线；对于对于层流，壁面法线方向热量传递靠导热方式，边界层内温度分布为抛物线；对于紊流，粘性底层的热量传递靠导热，而在底层以外的紊流支层，除导热外，主要靠速紊流，粘性底层的热量传递靠导热，而在底层以外的紊流支层，除导热外，主要靠速度脉动引起的对流混合作用。度脉动引起的对流混合作用。对于导热系数不高的流体，紊流换热热阻主要取决于粘性底层的导热过程，边界层对于导热系数不高的流体，紊流换热热阻主要取决于粘性底层的导热过程，边界层的温度梯度在粘性底层最大，而在紊流支层变化平缓。的温度梯度在粘性底层最大，而在紊流支层变化平缓。流型：层流和紊流流型：层流和紊流3.3.3.3.引入边界层概念的意义引入边界层概念的意义引入边界层概念的意义引入边界层概念的意义缩小计算区域。对对流换热问题的研究可集中在边界缩小计算区域。对对流换热问题的研究可集中在边界层区域内层区域内边界层内的流动与换热可以利用边界层的特点进一步边界层内的流动与换热可以利用边界层的特点进一步简化简化二、数量级分析与边界层微分方程二、数量级分析与边界层微分方程二、数量级分析与边界层微分方程二、数量级分析与边界层微分方程1.1.1.1.数量级分析数量级分析数量级分析数量级分析(order of magnitude)(order of magnitude)(order of magnitude)(order of magnitude)1)1)1)1)定义定义定义定义:比较方程中各量或各项的量级的比较方程中各量或各项的量级的相对大小相对大小；保留量级较大的量或项；舍；保留量级较大的量或项；舍去那些量级小的项，方程大大简化去那些量级小的项，方程大大简化例：二维、稳态、例：二维、稳态、强制对流强制对流强制对流强制对流、层流、忽略重力的对流换热为例、层流、忽略重力的对流换热为例2)2)2)2)实例分析实例分析实例分析实例分析主流速度：主流速度：温度：温度：壁面特征长度：壁面特征长度：边界层厚度：边界层厚度：x x 与与 l l 相当，即：相当，即：注意：注意：0(1)0(1)、0(0()表示数量级为表示数量级为1 1和和 ，1 1 。“”相当于相当于a.a.a.a.定义定义定义定义5 5 5 5个基本量的数量级个基本量的数量级个基本量的数量级个基本量的数量级b.b.b.b.其他量的数量级导出其他量的数量级导出其他量的数量级导出其他量的数量级导出u u沿边界层厚度由沿边界层厚度由0 0到到u u:由连续性方程：由连续性方程：表明：边界层内的压力梯度仅沿表明：边界层内的压力梯度仅沿 x x 方向变化，而边界层内法向的压力梯度方向变化，而边界层内法向的压力梯度极小。极小。边界层内任一截面压力与边界层内任一截面压力与 y y 无关而等于主流压力无关而等于主流压力可视为边界层的又一特性可视为边界层的又一特性层流边界层对流换热层流边界层对流换热微分方程组：微分方程组：3 3个方程、个方程、3 3个未知量：个未知量：u u、v v、t t，方程封闭，方程封闭如果配上相应的定解如果配上相应的定解条件，则可以求解条件，则可以求解边界条件：边界条件：三、外掠平板层流换热边界层微分方程式分析解简述三、外掠平板层流换热边界层微分方程式分析解简述三、外掠平板层流换热边界层微分方程式分析解简述三、外掠平板层流换热边界层微分方程式分析解简述微分方程：微分方程：结果为：结果为：式中式中,Nux=x/为局部努赛尔数，无量纲，其大小反映了局部换热的程度。为局部努赛尔数，无量纲，其大小反映了局部换热的程度。(1)(1)建立边界层积分方程建立边界层积分方程 针对包括固体边界及边界层外边界在内的有限大针对包括固体边界及边界层外边界在内的有限大小的控制容积；小的控制容积；(2)(2)对边界层内的速度和温度分布作出假设，常用的函数形式为多项式；对边界层内的速度和温度分布作出假设，常用的函数形式为多项式；(3)(3)利用边界条件确定速度和温度分布中的常数，然后将速度分布和温度分利用边界条件确定速度和温度分布中的常数，然后将速度分布和温度分布带入积分方程，解出布带入积分方程，解出 和和 的计算式；的计算式；(4)(4)根据求得的速度分布和温度分布计算固体边界上的根据求得的速度分布和温度分布计算固体边界上的5-4 5-4 边界层积分方程组及其求解边界层积分方程组及其求解一一一一.用边界层积分方程求解对流换热问题的基本思想用边界层积分方程求解对流换热问题的基本思想用边界层积分方程求解对流换热问题的基本思想用边界层积分方程求解对流换热问题的基本思想课后作业：常常常常物物物物性性性性、不不不不可可可可压压压压缩缩缩缩流流流流体体体体沿沿沿沿平平平平壁壁壁壁稳稳稳稳定定定定流流流流动动动动边边边边界界界界层层层层动动动动量积分量积分量积分量积分方程的推导。方程的推导。方程的推导。方程的推导。常常常常物物物物性性性性、不不不不可可可可压压压压缩缩缩缩流流流流体体体体沿沿沿沿平平平平壁壁壁壁稳稳稳稳定定定定流流流流动动动动边边边边界界界界层层层层能能能能量积分量积分量积分量积分方程的推导。方程的推导。方程的推导。方程的推导。二、边界层动量积分方程二、边界层动量积分方程二、边界层动量积分方程二、边界层动量积分方程 边界层动量积分方程是把动量定律应用于一个控制容积导出的。取边界层动量积分方程是把动量定律应用于一个控制容积导出的。取常物性、不常物性、不可压缩流体的二维稳态强制对流为对象可压缩流体的二维稳态强制对流为对象作分析。作分析。u u w w在流体中划出如图的控制容积，包括在流体中划出如图的控制容积，包括dxdx一段边界层，而一段边界层，而z z方向为单位长度。方向为单位长度。控制容积左侧面为控制容积左侧面为abab，右侧面为，右侧面为cdcd，顶面为顶面为bdbd，底面为壁面的，底面为壁面的acac部分，即部分，即取取 acac为为dxdx。u u w w由于在边界层内由于在边界层内y y方向上的流速很小，方向上的流速很小，因此推导中只考虑因此推导中只考虑x x方向上的动量变化，方向上的动量变化，不引入流速不引入流速v v。图中给出了速度的分布曲线。图中给出了速度的分布曲线。在距壁在距壁面面y y处流速为处流速为u u，在，在yy处处u=uu=u。先计算单位时间内出入控制容积的动量之差。为此计算以下各项：先计算单位时间内出入控制容积的动量之差。为此计算以下各项：（1 1 1 1）穿过控制面）穿过控制面）穿过控制面）穿过控制面abababab进入控制容积的动量为进入控制容积的动量为进入控制容积的动量为进入控制容积的动量为 u u w w而同时穿过而同时穿过cdcd面流出的动量为面流出的动量为 净流出的动量为净流出的动量为 （2 2）没有流体穿过固体表面）没有流体穿过固体表面acac。但有流体质点穿过。但有流体质点穿过bdbd面。根据质量守恒，穿过面。根据质量守恒，穿过bdbd面流入控制容积的质量流量等于流出面流入控制容积的质量流量等于流出cdcd面与流入面与流入abab面的质量流量之差。面的质量流量之差。流入流入abab面的质量流量为面的质量流量为:流出流出cdcd面的质量流量面的质量流量:于是穿过于是穿过bdbd面流入控制容积的质量流量为面流入控制容积的质量流量为:u u w w相应带入控制体的动量（略去相应带入控制体的动量（略去u u沿沿x x变化引入变化引入的高阶导数项）为的高阶导数项）为 根据动量定律，在根据动量定律，在x x方向上的动量变化必须等方向上的动量变化必须等于于x x方向上作用在控制体表面上外力的代数和。方向上作用在控制体表面上外力的代数和。作用在控制体表面上作用在控制体表面上x x方向上的外力，有作用于方向上的外力，有作用于acac面上的切应力面上的切应力w wdxdx以及以及abab和和cdcd两两面压力之差面压力之差 u u w w于是动量定律可表达为于是动量定律可表达为 由于存在以下关系：由于存在以下关系：于是式于是式(c)(c)可改写成为可改写成为 重新组合可得重新组合可得 由伯努利方程知由伯努利方程知 ,而而代入代入(e)(e)式，得式，得根据边界层理论，在边界层外的主流区根据边界层理论，在边界层外的主流区u u-u=0-u=0。改写上式积分上限得。改写上式积分上限得 这就是卡门在这就是卡门在19211921年导出的边界层动量积分方程。由积分方程求出的分析解称年导出的边界层动量积分方程。由积分方程求出的分析解称为为近似解近似解近似解近似解，以区别于微分方程的精确解，以区别于微分方程的精确解 .二、边界层能量积分方程二、边界层能量积分方程二、边界层能量积分方程二、边界层能量积分方程 u t t把能量守恒定律应用于控制容积可推导出边界把能量守恒定律应用于控制容积可推导出边界层能量积分方程。层能量积分方程。x x方向上为方向上为dxdx，y y方向上大于流动边界层即热边界层厚度，而方向上大于流动边界层即热边界层厚度，而z z方向上为单位长度的方向上为单位长度的一个控制容积如图所示。一个控制容积如图所示。在在常物性、流速不致引起耗散热常物性、流速不致引起耗散热常物性、流速不致引起耗散热常物性、流速不致引起耗散热的条件下，考察控制容积的能量守恒。在边界层的条件下，考察控制容积的能量守恒。在边界层数量级分析中已经得出结论数量级分析中已经得出结论 结论：推导中仅考虑结论：推导中仅考虑结论：推导中仅考虑结论：推导中仅考虑y y y y方向上的导热方向上的导热方向上的导热方向上的导热 u t t（1 1）单位时间内穿过）单位时间内穿过abab面进入控制容积的热面进入控制容积的热量为量为单位时间内穿过单位时间内穿过cdcd面带出控制容积的热量为面带出控制容积的热量为 （2 2）单位时间内穿过）单位时间内穿过bdbd面进入控制容积的质量流量为面进入控制容积的质量流量为 由它带入控制容积的热量为由它带入控制容积的热量为:u t t（3 3）穿过）穿过acac面，因贴壁流体层导热带出控制面，因贴壁流体层导热带出控制容积的热量为容积的热量为 在稳态条件下，根据能量守恒进入与带出控制容积的热量相等在稳态条件下，根据能量守恒进入与带出控制容积的热量相等，于是可得，于是可得:整理后得整理后得 因为在热边界层以外因为在热边界层以外t t-t=0-t=0，上式积分上限可改为，上式积分上限可改为t t，得，得 三、边界层积分方程组求解示例三、边界层积分方程组求解示例三、边界层积分方程组求解示例三、边界层积分方程组求解示例 作为边界层积分方程组求解的示例，仍以作为边界层积分方程组求解的示例，仍以稳态常物性流体强制掠过平板层流时稳态常物性流体强制掠过平板层流时稳态常物性流体强制掠过平板层流时稳态常物性流体强制掠过平板层流时的的换热作为讨论对象换热作为讨论对象。壁面具有定壁温的边界条件。在常物性条件下，动量积分方。壁面具有定壁温的边界条件。在常物性条件下，动量积分方程不受温度场的影响，可先单独求解，解出层流边界层厚度及摩擦系数，然后求程不受温度场的影响，可先单独求解，解出层流边界层厚度及摩擦系数，然后求解能量积分方程，解出热边界层厚度及换热系数。解能量积分方程，解出热边界层厚度及换热系数。1.1.1.1.求解流动边界层厚度及摩擦系数求解流动边界层厚度及摩擦系数求解流动边界层厚度及摩擦系数求解流动边界层厚度及摩擦系数 为求解上式，还需补充边界层速度分布函数为求解上式，还需补充边界层速度分布函数u=f(y)。选用以下有。选用以下有4 4个任意常数的多个任意常数的多项式作为速度分布的表达式项式作为速度分布的表达式:u=a+by+cy2+dy3式中，式中，4 4个待定常数由边界条件及边界层特性的推论确定，即个待定常数由边界条件及边界层特性的推论确定，即 y=0时时 u=0 =0 且且 y=时时u=u 且且 由此求得由此求得4 4个待定常数为个待定常数为 于是速度分布表达式为于是速度分布表达式为 以以 ，并按，并按x=0=0时，时，=0，将式，将式(6)分离变量，并积分得分离变量，并积分得将式将式(4)对对y求导，得壁面求导，得壁面(y=0)速度梯度速度梯度将式将式(4)(4)和和(5)(5)分别代入式分别代入式(3),(3),积分得积分得 无量纲表达式无量纲表达式无量纲表达式无量纲表达式为为 其中其中Rex=ux/,其特性尺度为离平板前缘的距离其特性尺度为离平板前缘的距离x。在在x处的壁面局部切应力处的壁面局部切应力:在工程计算中常使用局部切应力与流体动压头之比，称为摩擦系数，亦称范宁摩在工程计算中常使用局部切应力与流体动压头之比，称为摩擦系数，亦称范宁摩擦系数，其表达式为擦系数，其表达式为 2.2.2.2.求解热边界层厚度及换热系数求解热边界层厚度及换热系数求解热边界层厚度及换热系数求解热边界层厚度及换热系数 先先求求解解热热边边界界层层厚厚度度。为为从从式式（2 2）求求解解热热边边界界层层厚厚度度，除除u=f(y)u=f(y)已已由由式式（4 4）确确定定外外，还还需需要要补补充充热热边边界界层层内内的的温温度度分分布布函函数数t=f(y)t=f(y)。对对此此，亦亦选选用用带带4 4个个常常数数的的多多项式：项式：t=e+fy+gyt=e+fy+gy2 2+hy+hy3 3式中，式中，4 4个待定常数由边界条件及热边界层特性的推论确定，即个待定常数由边界条件及热边界层特性的推论确定，即 y=0y=0时时 t=tt=tw w且且 y=y=时时 t=tt=t且且 由此求得由此求得4 4个待定常数为个待定常数为:e=tw g=0 若用以若用以t tw w为基准点的过余温度为基准点的过余温度=t-t=t-tw w来表达，则温度分布表达式为来表达，则温度分布表达式为 能量积分方程式（能量积分方程式（2 2）用过余温度表示为）用过余温度表示为 进一步求解中，令热边界层厚度与流动边界层厚度之比进一步求解中，令热边界层厚度与流动边界层厚度之比t t/=/=，并假定，并假定11Pr1的流体显然是适用的。的流体显然是适用的。最后得到：最后得到：其次求解局部换热系数其次求解局部换热系数x x 其无量纲表达形式为其无量纲表达形式为 ：最后求解平均换热系数最后求解平均换热系数h h 计算物性参数用的定性温度为边计算物性参数用的定性温度为边界层平均温度界层平均温度 四、边界层积分方程组与微分方程组四、边界层积分方程组与微分方程组四、边界层积分方程组与微分方程组四、边界层积分方程组与微分方程组1.1.1.1.积分方程的推导与微分方程推导的异同积分方程的推导与微分方程推导的异同积分方程的推导与微分方程推导的异同积分方程的推导与微分方程推导的异同 差别差别差别差别：微分方程是对微元控制容积微分方程是对微元控制容积dxdydzdxdydz推导的，要求推导的，要求微元体范围内每个流微元体范围内每个流体质点都满足守恒关系体质点都满足守恒关系，且对两个方向上的参量均考虑；而积分方程是对一个，且对两个方向上的参量均考虑；而积分方程是对一个有有限的容积限的容积ldxldx来推导的，推导时，忽略来推导的，推导时，忽略y y方向上的参量变化，只注意方向上的参量变化，只注意x x方向上的参量方向上的参量变化变化共同点共同点共同点共同点：是运用同样的守恒定律是运用同样的守恒定律。2.2.2.2.与微分方程相比，积分方程的近似性何在？与微分方程相比，积分方程的近似性何在？与微分方程相比，积分方程的近似性何在？与微分方程相比，积分方程的近似性何在？从推导过程来看，从推导过程来看，积分方程只要求控制体在进出口截面处整体上满足守恒关系积分方程只要求控制体在进出口截面处整体上满足守恒关系，也就是说，也就是说，只要求在进出口截面上的积分平均值满足守恒定律只要求在进出口截面上的积分平均值满足守恒定律。微分方程要求微。微分方程要求微元体范围内每个流体质点都满足守恒关系。元体范围内每个流体质点都满足守恒关系。例如，积分方程推导中，平面例如，积分方程推导中，平面abab的质量流量的质量流量为为 只要只要 相等相等 ，即如图所示的，即如图所示的两根速度曲线与两根速度曲线与y y轴间的面积相等，即认为轴间的面积相等，即认为两者无差别。实际速度分布完全不同，这是两者无差别。实际速度分布完全不同，这是它的解被称为近似解的原因。它的解被称为近似解的原因。