四边形的探索.doc

《四边形的探索》测试题
命题：江苏省海安县仇湖中学 余中华
一、细心选一选（2分×10＝20分）
1． 能判定一个四边形是平行四边形的是 （ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组对角相等
C．对角线相等 D．一组对角相等，一组对边相等
2．已知□ ABCD的周长为22cm，∠B＝30°，□ ABCD的面积为15,则AB与BC的值可能是（ ）
A．5cm、6cm B．4cm 、7cm C．3cm、8cm D．2cm、9cm
3．顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连接所得四边形的四边的中点得到的图形是（ ）
A．等腰梯形 B．直角三角形 C．菱形 D．矩形
4．在下面图形中，每个大正方形网格都是由边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分面积最大的是( )

5．已知△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是中线，则AD的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．等腰梯形 （ ）
A．既是中心对称图形，又是轴对称图形
B．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形
C．是中心对称图形，但不是轴对称图形
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形
7．用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（2）矩形（3）菱形（4）正方形（5）等腰三角形，一定可以拼成的是 （ ）
A．（1）（4）（5） B．（2）（3）（5） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（5）
8．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，BC=10,AD＝6，则梯形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．

9．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、PR的中点，当点P在BC上从B向C移动，而R不动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不确定

10.四边形ABCD的对角线和BD相交于点O，设有下列条件：（1）AB＝AD；（2）∠DAB＝90°；（3）AO＝CO、BO＝DO；（4）四边形ABCD为矩形；（5）四边形ABCD为菱形；（6）四边形ABCD为正方形。则下列推理不成立的是 ( )
A．（1）（4）（6） B．（1）（3）（5）
C．（1）（2）（6） D．（2）（3）（4）
二、认真填一填（3分×10＝30分）
11．平行四边形的两邻角之比为1∶2，两条高为2和3，则面积等于_______
12．如图，面积为16的平行边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点O，EF经过点O，且与AB、CD分别交于点E、点F，则图中阴影部分的面积为___________

13．梯形的上底长为6cm，过上底的一顶点引一腰的平行线，交下底所构成的三角形周长为21cm，那么该梯形的周长为__________.
14．右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是______________.

15．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积为________

16．菱形ABCD中，边AB和CD间距离为4，∠A∶∠B＝1∶5，则菱形两条对角线的乘积AC×BD＝___________
17．如图，正方形ABCD，E是CF上一点，若四边形BDEF是菱形，则∠E=_____.
A
B
C
D
E
F
17题图

18．如图，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线AC上一动点，M、N分别为AB、BC的中点，则MP＋NP的最小值为____________

19．已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD,AC⊥BD，AD＝2，BC＝8，则该等腰梯形的面积为____________
20．如图，已知图中每个小正方形方格的边长为1，则点C到AB所在直线的距离等于_______

三、用心解一解，答一答（共50分）
21．（5分）严先生能言善辨，他说，他能证明图中的直角等于钝角。请你仔细审阅他的证明过程，指出错误所在。
如图，分别作AB、CD的垂直平分线ME、NE，两线相交于点E。连接AE、BE、CE和DE，那么根据垂直平分线的性质，得到AE=BE,CE=DE。又可得AC=BD，所以△EAC≌△EBD，由此得∠EAC=∠EBD。
另一方面，在△EAB中，从AE=BE，得到∠EAB=∠EBA，将
以上两式相减，最后得到∠BAC=∠ABD。即：直角等于钝角！

22．(5分)在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角。例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°。
（1）判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”）。
①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°。（ ）
② 矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°（ ）
（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是______ （写出所有正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形 。
（3）写出两个多边形，它们都是旋转对图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件
①是轴对称图形，但不是中心对称图形：__________
②既是轴对称图形，又是中心对称图形：__________

23．（6分）现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再者第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一次操作），如图甲（虚线表示折痕）．除图甲外，请你再给出三种不同的操作，分别将折痕画在图①至图③中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作，如图乙和图甲示相同的操作）．

（甲） （乙） ① ② ③

24．（8分）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.
①设AB的长为a，PB的长为b（b<a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.
（2）如图2，若，请说明点P必在对角线AC上.
图1
图2

25．两个全等的含30°, 60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．

26．（6分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF。请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。
（1）连结____________；
（2）猜想：______=______；
（3）证明：

27．（8分）如图1、图2、图3中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE＝CD，DB延长线交AE于F。
（1）求图1中，∠AFB的度数；
（2）图2中，∠AFB的度数为__________，图3中，∠AFB的度数为___________；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况。若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由。
A
A
B
C
D
E
图1
F
B
M
A
F
图2
E
D
C
B
C
M
N
D
E
F
图3
A

28．（12分）已知平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上.
（1）若AB＝10，AB与CD间距离为8，AE=EB，BF=FC，求△DEF的面积.
（2）若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、4，求△DEF的面积.
F
A
B
C
D
E

参考答案
一、细心选一选（2分×10＝20分）
1．B
2．A
3．D
4．D
5．B
6．D
7．D
8．A
9．C
10．C
二、认真填一填（3分×10＝30分）
11．
12．4
13．33cm
14．30a
15．
16．64
17．30°
18．2
19．25
20．
三、用心解一解，答一答（共50分）
21．.图形错误
22．（1）①假②真；（2）①、③；（3）①如正五边形，正十五边形；②如正十边形，正二十边形
23．

24．（1）①S阴影=
②连结PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而PC=6;
（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠P′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上.
25．答：△EMC为等腰直角三角形
理由；延长EM交CB的延长线于H
∵∠DEC＋∠ACB＝180° ∴DE∥BC ∴∠DEM＝∠MHB
在△DEM和△BHM中

∴△DEM≌△BHM（AAS）
∴EM＝MH ∵∠ACB＝90° ∴CM＝EM＝EH
∵三角板ADE和三角板ABC全等
∴DE＋BC＝EC，即CE＝CH
∴∠MEC＝45°
∴∠EMC＝90°
∴△EMC为等腰直角三角形

26．证法一：（连结AF，猜想AF=AE）
连结AC，交BD于O
四边形ABCD是菱形，于O，DO=BO
垂直平分EF

27．（1）∠AFB＝60°（提示：先证明△BCD≌△ABE，∠AFB等于∠E＋∠FBE）
（2）图2中，∠AFB的度数为90°，图3中，∠AFB的度数为108°（提示：都是先证明△BCD≌△ABE，∠AFB等于∠E＋∠FBE）
（3）对于正n边形，∠AFB的度数都是。

28．解：⑴∵AB＝10， AB与CD间距离为8，
∴ SABCD＝80
∵AE＝BE，BF＝CF．
∴S△AED＝SABCD，S△BEF＝SABCD，S△DCF＝SABCD
∴S△DEF＝SABCD－S△AED－S△BEF－S△DCF ＝SABCD＝30 　　　　　　　
⑵设AB＝x，AB与CD间距离为y，由S△DCF＝4知F到CD的距离为 　
则F到AB的距离为y－，∴S△BEF＝BE（y－）＝3，　　　
∴BE＝，AE＝x－＝．
S△AED＝AE×y＝××y＝5，得（xy）2－24 xy＋80＝0
xy＝20或4 　　　
∵SABCD＝xy＞S△AED＝5，∴xy＝4不合，∴xy＝20
S△DEF＝SABCD－S△AED－S△BEF－S△DCF ＝20－5－3－4＝8