数学竞赛答案9.doc

2014年全国初中数学联合竞赛预赛试题参考答案

（九年级组）

第一试
一、选择题
1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．B
二、填空题
7．（两边同时乘以a+b+c）
8．-8
9． （提示：≤＜+1，原方程化为≤2+＜+1，解得=－3，代入原方程求出x.）
10．（1，）（）（提示：除直角三角形ABC斜边的中点外，直线AB上与该中点关于斜边上高的垂足对称的点也满足题意）
第二试
一、解：设甲仓库供应给A校，B校，C校的电脑分别为x台，y台，台，则乙仓库供应给A校，B校，C校的电脑分别为（9-x）台，（15-y）台，台，
设总运输费为S元，
则S=10x+5y+6+4（9-x）+8（15-y）+15，
得S=15x+6y+48=9x+6(x+y)+48，…………………………………………………………10分
又0≤x≤9，0≤y≤15，4≤x+y≤12，
S≥9×0+6×4+48=72，………………………………………………………………………15分
此时，x=0，y=4，又=8，
故甲仓库供应给A校，B校，C校的电脑分别为0台，4台，8台.……………………20分

二、(1)证明：由AB=AD，知∠ABD=∠ADB=α,由等弧对等圆周角知，∠ACD=∠ACB=α.令∠DFC=β则∠BAD=∠BFC=2β，故∠ABD+∠ADB+∠BAD=α+α+2β=180°，于是α+β=90°，∠CDF=90°.又∠FBC=180°-α-2β=α=∠FCB，所以FB=FC …………………………10分
(2)解：设边BC的中点为M，连接FM. 易知△FCD≌△FBM,BC=2CD
又AC是∠BCD的角平分线，由角平分线定理，得 …………………25分

三、解：点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），点C坐标为（0，﹣3）．
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；点E的坐标为（1，0）．………………………………5分
（1）当点M在对称轴右侧时．
①若点N在射线CD上，如图，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴， ∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=∠DCF=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=a，
∴MF=MN+NF=3a，
∴MG=FG=a，
∴CG=FG﹣FC=a，
∴M（a，﹣3+a）．代入抛物线解得a=，
∴M（，﹣）； ………………………………………………………………13分
②若点N在射线DC上，如图，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=a，
∴MF=MN﹣NF=a，
∴MG=FG=a，
∴CG=FG+FC=a，
∴M（a，﹣3+a）．
代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=5，
∴M（5，12）；………………………………………………………………………………21分
（2）当点M在对称轴左侧时．
∵∠CMN=∠BDE＜45°，
∴∠MCN＞45°，
而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，∴点M不存在．…………………………24分
综上可知，点M坐标为（，﹣）或（5，12）．……………………………………25分