2024年直线与圆知识点及经典例题含答案.doc

圆的方程、直线和圆的位置关系
【知识要点】
一、 圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆
（一）圆的标准方程
这个方程叫做圆的标准方程。
说 明：1、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，因此，只要三个量确定了且＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，能够依照条件，利用待定系数法来处理。
（二）圆的一般方程
将圆的标准方程,展开可得。可见，任何一个圆的方程都能够写成 :
问题：形如的方程的曲线是不是圆？
将方程左边配方得：
（1）当＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程表示以为圆
心，以为半径的圆。,
（3）当＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：
当＞0时，方程称为圆的一般方程.
圆的一般方程的特点：
（1）和的系数相同，不等于零；
（2）没有xy这么的二次项。
（三）直线与圆的位置关系
1、直线与圆位置关系的种类
（1）相离---求距离； (2)相切---求切线； （3）相交---求焦点弦长。
2、直线与圆的位置关系判断措施：
几何措施重要步骤：
（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径
（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
（3）作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交。
代数措施重要步骤：
（1）把直线方程与圆的方程联立成方程组
（2）利用消元法，得到有关另一个元的一元二次方程
（3）求出其Δ的值，比较Δ与0的大小：
（4）当Δ<0时，直线与圆相离；当Δ＝0时，直线与圆相切 ；当Δ>0时，直线与圆相交。
【经典例题】
类型一：圆的方程
例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．
变式1：求过两点、且被直线平分的圆的标准方程.
变式2：求过两点、且圆上所有的点都有关直线对称的圆的标准方程.
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离不小于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．
解法一：（待定系数法）
设圆的标准方程为．∵圆心在上，故．∴圆的方程为．
又∵该圆过、两点．∴ 解之得：，．
因此所求圆的方程为．
解法二：（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过、两点，因此圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即．
又知圆心在直线上，故圆心坐标为∴半径．
故所求圆的方程为．又点到圆心的距离为
．∴点在圆外．
例2：求过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的圆心和半径。
解：设圆的方程为：x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0，将三个点的坐标代入方程
Þ F ＝ 0， D ＝ -8， E ＝ 6 Þ 圆方程为：x2 ＋ y2 -8x ＋ 6y ＝ 0
配方：（ x -4 ）2 ＋ （ y ＋ 3 ）2 ＝ 25 Þ圆心：（ 4， -3 ）， 半径r ＝ 5
例3 求通过点，且与直线和都相切的圆的方程．
分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，因为所求圆过定点，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．
解：∵圆和直线与相切，∴圆心在这两条直线的交角平分线上，
又圆心到两直线和的距离相等．∴．∴两直线交角的平分线方程是或．又∵圆过点，∴圆心只能在直线上．
设圆心∵到直线的距离等于，∴．
化简整顿得．解得：或∴圆心是，半径为或圆心是，半径为．
∴所求圆的方程为或．
阐明：本题处理的核心是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．
类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例4　已知圆，求过点与圆相切的切线．
解：∵点不在圆上，∴切线的直线方程可设为
依照∴.解得，因此，即
因为过圆外一点作圆得切线应当有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为．
阐明：上述解题过程轻易漏解斜率不存在的情况，要注意补回遗漏的解．
本题尚有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0处理（也要注意漏解）．还能够利用，求出切点坐标、的值来处理，此时没有漏解．
例5 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．
分析：首先求、两点的坐标，再用两点式求直线的方程，不过求两圆交点坐标的过程太繁．为了防止求交点，能够采取“设而不求”的技巧．
解：设两圆、的任一交点坐标为，则有：
　　　① 　　　②
①－②得：．
∵、的坐标满足方程．
∴方程是过、两点的直线方程．又过、两点的直线是唯一的．
∴两圆、的公共弦所在直线的方程为．
阐明：上述解法中，巧妙地避开了求、两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达成了目标．从解题的角度上说，这是一个“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻了解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．
例6、求过点，且与圆相切的直线的方程．
解：设切线方程为，即，∵圆心到切线的距离等于半径，
∴，解得， ∴切线方程为，即，
当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径，故直线也适合题意。 因此，所求的直线的方程是或．
类型三：弦长、弧问题
例7、求直线被圆截得的弦的长.

例8、直线截圆得的劣弧所正确圆心角为
解：依题意得，弦心距，故弦长，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所正确圆心角为.
例9、求两圆和的公共弦长

类型四：直线与圆的位置关系
例10、已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系.

例11、若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.
解：∵曲线表示半圆，∴利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.
例12、圆上到直线的距离为1的点有几个？
分析：借助图形直观求解．或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答．
解法一：圆的圆心为，半径．设圆心到直线的距离为，则．如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又．∴与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．
解法二：符合题意的点是平行于直线，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为，则，∴，即，或，也即
，或．
设圆的圆心到直线、的距离为、，
则，．
∴与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点．即符合题意的点共3个．
类型五：圆与圆的位置关系
例13、判断圆与圆的位置关系，

例14：圆和圆的公切线共有 条。
解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，∴.∵，∴两圆相交.共有2条公切线。
类型六：圆中的最值问题
例15：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
解：∵圆的圆心为（2，2），半径，∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.
例16　(1)已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值．
(2)已知圆，为圆上任一点．求的最大、最小值，求的最大、最小值．
分析：(1)、(2)两小题都包括到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合处理．
解：(1)圆上点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，圆上点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1．因此．．
因此．．
(2)设，则．因为是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示， 两条切线的斜率分别是最大、最小值．
由，得．因此的最大值为，最小值为．令，同理两条切线在轴上的截距分别是最大、最小值．由，得．因此的最大值为，最小值为．
例17：已知，，点在圆上运动，则的最小值是 .
解：设，则.设圆心为，则，∴的最小值为.