概率与统计(理)MicrosoftWord文档.doc

知识目标:1、统计概型、古典概型、几何概型 2、抽样方法 3、用样本估计总体（频率分布及数字特征） 4、线性相关 5、分布列（理） 6、二项分布、条件概率（理） 7、期望与方差（理） 8、正态分布（理） 9、统计案例（线性回归、独立性检验）。
一、几何概型1.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2. 几何概型有两个基本特点（1）无限性（2）等可能性3.事件A的概率P（A）只与子区域A的几何度量（长度或面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。3．几何概型中，事件A的计算公式
(几何测度之比)、
二、条件概率 （1）设A,B为两个事件，且P（A）>0,在事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。计作P(B/A),读作A发生的条件下B发生的概率。（2）公式及性质 P(B/A)=
（古典概型）=
=（几何概型）；0≤P(B/A)≤1;如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C/A)=P(B/A)+P(C/A)
三、统计:用样本估计总体 ：频率分布与特征数:期望(平均水平)和方差(稳定性)
1、频率分布 : I>频率分布有如下四类.
①. 频率分布表
分组
个数累计
频数
频率
累积频率

…
…
…
…
…
合计

容量
1.00

②.条形图 、频数折线图、 扇形图 ③. 频率直方图 ④直方图折线图：连接频率分布直方图各小矩形上边中点得直方图折线图、
※4. 累积频率图
II>频率= III>.1>在频率分布表中：各组频数之和为容量; 各组频率之和为1.； 某区域内频数(或频率)之和为该区域内频数(或频率)之和. 2》在直方图中: 纵坐标表示频率/组距；矩形的高之比=频率之比；矩形的面积之和为1. IV>在频率分布表、直方图中: 总体与样本各组频率对应相等；各组频数之比对应相等且等于各组频率之比、还等于直方图中各组高之比；总体与样本直方图相同（因为各组频率对应相等）、频率分布表不同（因为各组频数不同）。
※V>在累积频率图中每组(即在累积频率图中表现为线段如上图AB)有该组线段斜率=.
.2..相关概念:总体取值的概率分布规律通常称为总体分布。当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近一条光滑曲线,统计中称为总体密度曲线.它能够更加精细地反映出总体在各个范围内取值的百分比； 总体密度曲线反映了总体分布,即反映了各范围内取值的概率.它的几何意义
如右图:图中阴影部分面积为(a,b)内取值的概率
3．茎叶图①茎叶图：茎是指中间的一列数，叶就是从茎
的旁边生长出来的数，中间的数字表示得分的十位以上的数字，旁边的数字分别表示两个人得分的个位数。②.当样本数据较少时，用茎叶图表示数据效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便；但不能反映总体分布，还需通过数据求数字特征（平均数，方差）估计总体。
4、用样本的数字特征估计总体的数字特征
①.众数，中位数，平均数: 众数——在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数。（理解;1．众数是一组数据中出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数． 2.一组数据中的众数有时不只一个，如数据2、3、－1、2、1、3中，2和3都出现了2次，它们都是这组数据的众数．）在频率分布直方图中可估计众数：最高矩形的中点。中位数——将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置一个数据（或最中间两个数的平均数）叫做中位数。(理解：1．求中位数要将一组数据按大小顺序排列，排序时，从小到大或从大到小都可以．中位数就是位置处于最中间的一个数（或最中间的两个数的平均数），2．在数据个数为奇数的情况下，中位数是这组数据中的一个数据；但在数据个数为偶数的情况下，其中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定与这组数据中的某个数据相等．)因为中位数左边和右边的直方图的面积相等，因此在频率分布直方图中可用此估计中位数;。平均数——样本数据的算术平均数，即；在频率分布直方图中可估计平均数：平均数的估计值等
于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
（ 即）
说明: 平均数与每个数据有关，任何一个数据都会引起平均数的改变，中位数、众数不具有这个性质。②. 样本方差，标准差：个体,样本,总体;样本及总体平均数; 样本及总体容量;平均数及方差公式.:
平均数=
；的性质与E(a+b)=aE()+b ；E(其中a,b,c为常量,为变量)相同，
方差的算术根s称为标准差 , 标准差越大数据越离散，标准差越小数据越集中。
③. 特殊情况: I>平均数(1)出现次数且). (2)当较大时,可同时减去一个适当数a得:
II>方差(1)当较大时,可同时减去恰当数a得=
（即数据与即的性质与D(a +b)=(a,b为常数)相同。3. （理）
四、分布列: 1、特殊分布 ①两点分布:如成功与失败问题.其分布列为

0
1
P
1-p
p
说明：两点分布又称0——1分布，又叫贝努利分布
②超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n
件，其中恰有X件次品，则P（X=k）=
X
0
1
…
m
P

…

,k=0,1,2,…,m,即
其中m=min{M,n},且
n≤N,M≤N,,n,N,M
则称随机变量X服从超几何分布。③二项分布：n次独立重复试验:如果在一次试验中某事件发生的概率为P,则在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率为：(n次独立重复试验中, 恰好发生k次发生但不知哪k次) 这样的随机变量X服从二项分布,记作X～B(n,p),其中n,p为参数,※并记=b(k,n,p)

0
1
…
k
…
n
P

…

…

(3)I>.指明第哪k次发生(其余次发生与否不知)其概率为.
II>指明恰哪k次发生(其余次不发生),则其概率为;关键字:“恰”,“第”.
(4)易混两问题I>放回抽样:每次每个个体抽取概率相同,一般可用n次独立重复试验公式或用概率公式求解. II>无放回抽样: 每次每个个体抽取概率不同,但整体而言每个个体被抽取概率相同,其概率只能用定义求.说明:1>统计学中抽样为不放回抽样,每个个体被抽取概率均为. 2>抽签中奖问题,先抽后抽中奖概率相等.如5中1的概率均为.
2、性质①I>E(C)=C II>E(a+b)=aE()+b III>E(其中a,b,c为常量,为变量) 。D(a +b)=(a,b为常数).特例: ～B(n,p),则E =np,D =np(1-p); ※～g(k,p)则E =,D =. X 服从两点分布，则E(X)=p；D（X）=p(1-p) . ②. 期望与方差的关系:
3、正态分布 ：①随机变量X满足落在区间（ a,b）的概率为P（a<X≤b）≈,即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴围成的平面图形的面积，就是X落在区间（ a,b）的概率的近似值。（几何意义，可用此计算概率，此为几何方法）
②P（-<X≤+）=0.6826；P（-2<X≤+2）=0.9544；
P（-3<X≤+3）=0.9974(可用此组数据求正态分布的概率，还可以利用特例
此为代数方法)
典型例题 考点1 统计
1、（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
2、（2013年安徽（理））某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 （　　）
A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
3、（2013年高考湖北卷（理））从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所示.(I)直方图中的值为___________;
(II)在这些用户中,用电量落在区间内的户数为_____________.

4、（2013年辽宁（理））为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最大值为____________
5、（2013年高考北京卷（理））下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;
(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;
(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

考点2 概率与分布列
6、（2013年高考四川卷（理））节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （　　）
A． B． C． D．
7、（2013年高考湖北卷（理））如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为,则的均值为 （　　）
A． B． C． D．

8、（2013年高考上海卷（理））设非零常数d是等差数列的公差,随机变量等可能地取值,则方差
9、（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））现在某类病毒记作,其中正整数,(,)可以任意选取,则都取到奇数的概率为___________
10、（2013年福建（理））某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,求的概率;(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?

11、（2013年浙江（理））设袋子中装有个红球,个黄球,个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.(1)当时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量为取出此2球所得分数之和,.求分布列;(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量为取出此球所得分数.若,求

12、（2013年山东（理））甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是,假设各局比赛结果相互独立.(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分的分布列及数学期望.

13、（2013年高考湖北卷（理））假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为.
(I)求的值;(参考数据:若,有,,.)
(II)某客运公司用.两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,.两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求型车不多于型车7辆.若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备型车.型车各多少辆?