菱形的性质定理.docx

菱形性质定理素材
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 下列结论中不一定成立的是（ ）

A．AB∥CD B．OA=OC
C．AC⊥BD D．AC=BD
2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）

A．20 B．24 C．40 D．48
3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（ ）
A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1
4．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是

A．24 B．16 C．413 D．213
5．在菱形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的点，且AM=AN=MN=AB，则∠C的度数为（　　）

A．120° B．100° C．80° D．60°
6．如图所示，在菱形ABCD中，不一定成立的是（ ）

A．四边形ABCD是平行四边形 B．AC⊥BD
C．△ABD是等边三角形 D．∠CAB＝∠CAD
7．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是( )
A．16 B．16 C．8 D．8
8．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(　　)
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
9．如图，丝带重叠的部分一定是（　　）

A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能
10．如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　）

A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC
11．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（　　）

A．3.5 B．4 C．7 D．14
12．已知菱形的一条对角线与边长相等,则菱形的邻角度数分别为 ( )
A．45°, 135° B．60°, 120° C．90°, 90° D．30°, 150°
13．如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E、F分别在BC、CD上，且AE=AB，则∠C=（　　）

A．100° B．105° C．110° D．120°
14．菱形的两条对角线长分别为60cm和80cm，那么边长是（　　）
A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm
15．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）

A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm2
16．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠B：∠BCD＝1：2，则对角线AC等于(　　)

A．5 B．10 C．15 D．20

二、填空题
17．己知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为23，则这个菱形的面积是_____．
18．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED= _____．

19．如图，在菱形中，是对角线上的一点，于点，若，则点到的距离为________．

20．已知菱形的两条对角线长分别为1和4，则菱形的面积为______．
21．如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，且AB=AC，则图中的四边形________ 是菱形．

三、解答题
22．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．
(1)求证：BE＝BF；
(2)当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．

23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．

（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．
24．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AC=8，AB=5，求ED的长．

25．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．

26．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD的长.

27．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC交AD于点F.
求证：四边形CDEF是菱形．

28．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝4，求菱形ABCD的面积．

试卷第5页，总5页
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参考答案
1．D
【解析】
【分析】
直接利用菱形的性质对边互相平行、对角线互相垂直且平分进而分析即可．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，OA=OC，AC⊥BD，
无法得出AC=BD，故选项D错误，
故选D．
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质，正确把握菱形对角线之间关系是解题关键．
2．A
【解析】
分析：由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．
详解：由菱形对角线性质知，AO=12AC=3，BO=12BD=4，且AO⊥BO，

则AB=AO2+BO2=5，
故这个菱形的周长L=4AB=20．
故选：A．
点睛：本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键，难度一般．
3．B
【解析】
【分析】
先根据菱形的性质求出边长AB=2，再根据直角三角形的性质求出∠B=30°，得出∠DAB=150°，即可得出结论．
【详解】

如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180°，
∵AE=1，AE⊥BC，
∴AE=12AB，
∴∠B=30°，
∴∠DAB=150°，
∴∠DAB:∠B=5:1；
故选：B.
【点睛】
本题考查菱形的性质.
4．C
【解析】【分析】根据菱形的性质可得AO=3，OD=2，AC⊥BD，在Rt△AOD中利用勾股定理求出AD的长，再由菱形的四边相等，即可求得菱形ABCD的周长．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，
∴AO=12AC=3，DO=12BD=2，AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
在Rt△AOD中，AD=AO2+DO2=13，
∴菱形ABCD的周长为413，
故答案为：413.
【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解答本题的关键.
5．B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵AM=AN=MN=AB，
∴AB=AM，AN=AD，△AMN是等边三角形，
∴∠B=∠AMB，∠D=∠AND，∠MAN=60°，
设∠B=x，则∠AMB=x，∠BAM=∠DAN=180°-2x，
∵∠B+∠BAD=180°，
∴x+180°-2x+60°+180°-2x=180°，
解得：x=80°，
∴∠B=80°，
∴∠C=180°-80°=100°；
故选：B。
6．C
【解析】
因为菱形是特殊的平行四边形，故A正确；
根据菱形的性质可得：对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，故B、D正确.
故选：C．
7．C
【解析】
试题分析：∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AO=AC=×4=2，BO=×4=，
∴BD=2BO=4，
∴菱形的面积=AC•BD=×4×4=8．
故选：C．

考点：1、菱形的性质；2、等边三角形的判定与性质
8．D
【解析】
试题分析：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选D．
考点：菱形的性质；平行四边形的性质．
9．C
【解析】
如图，作AE⊥BC交BC于点E，作AF⊥CD交CD于点F，

则AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF，
∵在△AEB和△AFD中，
∠AEB=∠AFD∠ABE=∠ADFAE=AF，
∴△AEB≌△AFD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
故选C.
点睛：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
10．B
【解析】
A．菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故本选项正确；
B．菱形的对角线不一定相等；
C．菱形的对角线互相垂直，所以AC⊥BD，故本选项正确；
D．菱形的对角线互相平分，所以OA＝OC，故本选项正确．故选B．
11．A
【解析】
试题分析：根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
解：∵菱形ABCD的周长为28，
∴AB=28÷4=7，OB=OD，
∵E为AD边中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE=AB=×7=3.5．
故选A．
点评：本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
12．B
【解析】
试题解析：
由题意知AB=BC=AC，

∵AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形，
即∠B=60∘，
根据平行四边形的性质，
∠BAD=180∘−60∘=120∘.
故选B.
13．A
【解析】
【分析】
根据四边形ABCD的四边都相等得出菱形ABCD，根据菱形的性质推出∠B=∠D，∠BAD=∠C，AD∥BC，根据平行线的性质得出∠DAB+∠B=180°，根据等边三角形的性质得出∠AEF=∠AFE=60°，AF=AD，根据等边对等角得出∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，设∠BAE=∠FAD=x，根据三角形的内角和定理得出方程x+2（180°-60°-2x）=180°，求出方程的解即可求出答案．
【详解】
∵四边形ABCD的四边都相等，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，∠BAD =∠C，AD∥BC，
∴∠DAB+∠B=180°，
∵△AEF是等边三角形，AE=AB，
∴∠AEF=∠AFE=60°，AF=AD，
∴∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，
由三角形的内角和定理得：∠BAE=∠FAD，
设∠BAE=∠FAD=x，
则∠D=∠AFD=180°-60°-2x，
∵∠FAD+∠D+∠AFD=180°，
∴x+2（180°-60°-2x）=180°，
解得：x=20°，
∴∠C=∠BAD=2×20°+60°=100°，
故选A．
【点睛】
本题主要考查对菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点的理解和掌握，设∠BAE=∠FAD=x，根据这些性质得出∠D=∠AFD=180°-60°-2x是解此题的关键，题型较好，难度适中．
14．B
【解析】
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB的长，再利用勾股定理列式求出边长AB，然后根据菱形的周长公式列式进行计算即可得解．
【详解】
如图，

∵菱形的两条对角线的长是6cm和8cm，
∴OA=12×80=40cm，OB=12×60=30cm，
又∵菱形的对角线AC⊥BD，
∴AB=302+402=50cm，
∴这个菱形的边长是50cm．
故选B.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质．
15．A
【解析】
试题分析：矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为5cm，4cm，
而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形，
所以菱形的两条对角线的长分别为5cm，4cm，
所以S菱形=×5×4="10" cm2．
故选A．
考点：1.三角形中位线定理；2.菱形的性质；3.矩形的性质．
16．A
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠BCD=180°，AB=BC，
∵∠B：∠BCD=1：2，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=5．
故选A．
17．23
【解析】
分析：根据菱形的性质结合勾股定理可求出较短的对角线的长，再根据菱形的面积公式即可求出该菱形的面积．
详解：依照题意画出图形，如图所示．

在Rt△AOB中，AB=2，OB=3，
∴OA=AB2−OB2=1，
∴AC=2OA=2，
∴S菱形ABCD=12AC•BD=12×2×23=23．
故答案为：23．
点睛：本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出较短的对角线的长是解题的关键．
18．20°
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DO=OB，∵DE⊥BC于E，∴OE为直角三角形BED斜边上的中线，∴OE=BD，∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵∠ABC=140°，∴∠OBE=70°，∴∠OED=90°﹣70°=20°，故答案为：20°．
点睛：本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质，得到OE为直角三角形BED斜边上的中线是解题的关键．
19．5
【解析】
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴AC平分∠DAB,
根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得：P到AD的距离＝PE＝5.
故答案是:5.
20．2
【解析】
【分析】
利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．
【详解】
解：菱形的面积=×1×4=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了菱形的性质：熟练掌握菱形的性质（菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）． 记住菱形面积=ab（a、b是两条对角线的长度）．
21．AEDF
【解析】试题解析：∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE∥AC，DE=AC，EF∥AB，EF=AB，
∴四边形AEDF为平行四边形．   
又∵AC=AB，
∴DE=DF．                    
∴四边形AEDF为菱形．
故答案为：AEDF.
22．(1)证明见解析；(2)BE＝．
【解析】
【分析】
（1）根据菱形的邻边相等，对角相等，证明△ABE与△CBF全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）先根据菱形的对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底边乘以高两种求法即可求出．
【详解】
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，∠A＝∠C，
∵BE⊥AD、BF⊥CD，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF(AAS)，
∴BE＝BF．
(2)如图，

∵对角线AC＝8，BD＝6，
∴对角线的一半分别为4、3，
∴菱形的边长为＝5，
菱形的面积＝5BE＝×8×6，
解得BE＝．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明，关键是根据菱形的性质和菱形面积的两种求法解答．
23．（1）证明见解析；（2）18.
【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB=90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，
∴∠AOB=∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形；…………………………………………………………5分
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8，
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．
24．（1）证明见解析（2）43-3
【解析】试题分析:(1)根据等边三角形的性质,可得EO⊥AC,即BD⊥AC,根据平行四边形的对角线互相垂直可证菱形,(2) 根据平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO,BO=DO,再根据△EAC是等边三角形可以判定EO⊥AC,并求出EA的长度,然后在Rt△ABO中,利用勾股定理列式求出BO的长度,即DO的长度,在Rt△AOE中,根据勾股定理列式求出EO的长度,再根据ED=EO-DO计算即可得解．
试题解析:(1) ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,DO=BO,
∵△EAC是等边三角形, EO是AC边上中线,
∴EO⊥AC,即BD⊥AC,
∴平行四边形ABCD是是菱形.
(2) ∵平行四边形ABCD是是菱形,
∴AO=CO=12AC=4,DO=BO,
∵△EAC是等边三角形,∴EA=AC=8,EO⊥AC,
在Rt△ABO中,由勾股定理可得:BO=3,
∴DO=BO=3,
在Rt△EAO中,由勾股定理可得:EO=43
∴ED=EO-DO=43-3.
25．(1)2;(2)见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；
（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠1=∠2，
∴∠ACD=∠2，
∴MC=MD，
∵ME⊥CD，
∴CD=2CE，
∵CE=1，
∴CD=2，
∴BC=CD=2；
（2）AM=DF+ME
证明：如图，

∵F为边BC的中点，
∴BF=CF=12BC，
∴CF=CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
在△CEM和△CFM中，
∵CE＝CF∠ACB＝∠ACDCM＝CM，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF，
延长AB交DF的延长线于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠G，
∴AM=MG，
在△CDF和△BGF中，
∵∠G＝∠2∠BFG＝∠CFDBF＝CF
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF=DF，
由图形可知，GM=GF+MF，
∴AM=DF+ME．
26．6
【解析】
试题分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，DO=BO，然后根据Rt△AOB的勾股定理求出BO的长度，然后根据BD=2BO求出答案.
试题解析：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O， ∴AC⊥BD，DO=BO，
∵AB=5，AO=4， ∴BO==3， ∴BD=2BO=2×3=6
考点：菱形的性质
27．证明见解析
【解析】
【分析】
根据AE＝AC，得出△ACE为等腰三角形，根据AD是∠BAC的平分线得出AO⊥CE，且OC＝OE. 由EF∥CD得出∠OEF＝∠OCD，再根据ASA证明△DOC≌△FOE，
得出OD＝OF，直接由菱形的判定可知四边形CDEF是菱形．
【详解】
证明：如图，连接CE，交AD于点O.
∵AC＝AE，
∴△ACE为等腰三角形．
∵AO平分∠CAE，
∴AO⊥CE，且OC＝OE.
∵EF∥CD，
∴∠OEF＝∠OCD.
又∵∠DOC＝∠FOE，　
∴△DOC≌△FOE(ASA)．
∴OD＝OF.
即CE与DF互相垂直且平分，
∴四边形CDEF是菱形．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定、平行线的性质，关键是掌握菱形的判定定理.
28．
【解析】试题分析：由菱形的性质得出OA=OC=AC，OB=OD=BD=2，AC⊥BD，在Rt△OCD中，由含30°角的直角三角形的性质求出CD=2OD=4，由勾股定理求出OC，得出AC，由菱形的面积公式即可得出结果．
试题解析：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD=2，AC⊥BD，
在Rt△OCD中，∵∠ACD=30°，
∴CD=2OD=4，
∴OC=，
∴AC=2OC=4，
∴菱形ABCD的面积=AC•BD=×4×4=8．
答案第15页，总15页