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解直角三角形小结与复习
知识梳理
1．在Rt△ABC中，∠C = 90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
（1）三边之间的关系（即勾股定理）： ；
　（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B = ；
　（3）边角之间的关系：sinA==cosB，cosA==sinB，tanA=，cotA=．
2．如图1，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做 ，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 ．

3．如图2， 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即.坡度通常写成1：i的形式.
的夹角叫坡角，记作α．有i== ．
考点呈现
一、锐角三角函数的定义
例1 （2012年滨州市）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值（　　）
A．不变　　B．缩小为原来的　　C．扩大为原来的3倍　　D．不能确定
解析：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦值也不变．故选A．
例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，那么c等于（ ）
A．acosA+bsinB B．asinA+bsinB
C. D.
解析：在Rt△ABC中，sinA＝，cosA＝．
对于B，asinA+bsinB＝+＝＝＝c．故选B．
图1
二、求锐角三角函数值
例3 （2012年扬州市）如图1，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处．若＝，则tan∠DCF的值是 ．
解析：因为四边形ABCD是矩形，所以AB＝CD，∠D＝90°．
因为将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，所以CF＝BC.
因为＝，所以＝. 设CD＝2x，CF＝3x，所以DF＝＝x，所以tan∠DCF＝＝＝．
图2
例4 （2012年德阳市）某时刻海上点P处有一客轮，如图2，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP等于（ ）
A. B.2 C. D.

解析：因为灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里，所以PA=20．
因为客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处， 所以∠APB=90° ，BP=60×=40．所以tan∠ABP＝＝＝．故选A．
例5 （2012年乐山市）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（　　）

　A．　　B．　　C．　　D．1

解析：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，所以sinA===，所以∠A=30°，所以∠B=60°．
所以sinB=．故选C．
三、解直角三角形
例6 如图3，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A，C之间的距离．(结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈ 1.73)
图8
解析：如图3，作AD⊥BC，垂足为D.
由题意，得∠ACD＝45°，∠ABD＝30°. 设CD＝x.
在Rt△ACD中，AD＝CD＝x，在Rt△ABD中，BD＝AD •tan 60°＝x．
又BC＝20，所以x+x＝20，解得x＝≈7.33．
在Rt△ACD中，所以AC＝＝x≈10.3(海里)．
答：A，C之间的距离为10.3海里．
例7 某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话：
图4
小明：我站在此处看树顶仰角为．
小华：我站在此处看树顶仰角为．
小明：我们的身高都是1.6m．
小华：我们相距20m．
请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高度．（参考数据：，，结果精确到0.01）
解析：如图4所示，延长BC交DA于E．设AE的长为x m，在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，∠AEB=90°，所以∠CAE＝45°， AE＝CE＝x．
在Rt△ABE中，∠B＝30°，AE＝x，所以BE＝＝x．
因为BC＝20， 所以x －x＝20，解得x＝10+10≈27.32．
所以AD＝AE＋DE＝27.32+1.6≈28.92（m）．
答：这棵汉柏树的高度约为28.92米．
例8 如图5，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．
B
A
26.6°
D
C
200米
α
图5

解析：设AB＝x.
在Rt△ACB中，由tanα＝＝，得CB＝x．
在Rt△ADB中，tan∠ADB＝，所以 tan26.6°＝， 所以DB＝＝2x．
因为CD＝DB－BC，所以，解得x＝300．
答：小山岗的高AB为300米．
误区点拨
1. 对概念认识不清致错
例1 若Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，且相似比为4，则∠A，∠A′的余弦值的关系是（ ）．
A．cosA=4cosA′ B．4cosA=cosA′ C．cosA=cosA′ D．不能确定
错解：选A或D．
剖析：两三角形相似，所以∠A＝∠A′，故其余弦值相等．
正解：选C．
2．思维定式致错
例2 的值为（ ）
A．－1 B． C． － D．1－
错解：＝cos30°－tan45°＝－1，故选A．
剖析：错解受＝a(a≥0)的影响，忽略了cos30°－tan45°＜0这一隐含条件．
正解：＝tan45°－cos30°＝1－，故选D．
3．缺乏分类意识致错
例3 在Rt△ABC中，BC=4，AB=5，求sinA的值．
错解：sinA＝＝．
剖析：错解误认为AB是斜边而致错．事实上题目未明确哪条线段是斜边，应分类讨论．
正解：当AB是斜边时，sinA＝＝；当AC是斜边时，则有AC==＝．所以sinA＝＝＝．
例4 如果方程x2－4x+3＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为 ．
错解：解方程x2－4x+3＝0，得x1＝1，x2＝3．
1，3分别是Rt△ABC的两条直角边，则tanA＝．
剖析：错解在于考虑问题不全面，1，3也可能分别是直角边和斜边.
正解：解方程x2－4x+3＝0，得x1＝1，x2＝3．
当1，3分别是Rt△ABC的两条直角边时，tanA＝；
当1，3分别是Rt△ABC的直角边和斜边时，tanA＝＝＝．所以tanA的值为或．
4.对俯角、仰角不理解致错
例5 如图，直升机在斜拉大桥AB上方P点处时，飞机离地面高度为a千米，且A，B，O三点在一条直线上，测得点A俯角为30°，点B的俯角为60°，求这座斜拉大桥AB的长度．
P
O
B
A
C

错解：在Rt△AOP中,tan∠APO=,∠APO=30°,
所以 OA=OP·tan30°= tan30°·a．
在Rt△BPO中，因为tan∠BPO=,∠BPO=60°，
所以OB=OP·tan∠BPO=tan60°·a．
所以AB=OA-OB= (tan30°- tan60°)a .
剖析：错解把从P点观测A点的俯角误认为∠APO，从P点观测B点的俯角误认为∠BPO.注意俯角是水平线与向下看视线的夹角，所以∠CPA=30°,∠BPC=60°．
正解：根据题意，得∠CPA=30°,∠BPC=60°，所以∠APO=60°,∠BPO=30°．
在Rt△AOP中,tan∠APO=,∠APO=60°，所以 OA=OP·tan60°= tan60°·a.
在Rt△BPO中，∠BPO=30°．因为tan∠BPO=, 所以OB=OP·tan∠BPO=tan30°·a．
所以AB=OA-OB= (tan60°- tan30°)a .
所以斜拉大桥AB的长度为(tan60°- tan30°)a千米.

跟踪训练
1．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上取一点B，使∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（ ）
A．500sin55°米 B．500cos55°米 C．500tan55°米 D．500tan35°米
第1题图

2．在△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则AC的长是 ．
3．某市为改善交通状况，修建了大量的高架桥．一汽车在坡度为30°的笔直高架桥点A开始爬行，行驶了150米到达点B，则这时汽车离地面的高度为 米．
4．如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是 米．（假设夏至的正午时刻阳光与地平面夹角为60°）

5．如图，一艘小船从码头A出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B处后，又沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离（参考数据：≈1.4，≈1.7，结果保留整数）．
A
第6题图
Ｄ
Ｃ
B
Ｄ

B
A
C
53°
23°
22°
北
北
第5题图

6．在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB表示窗户，且AB=2米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年正午时的太阳光与水平线CD的最小夹角α为18.6°，最大夹角ß为64.5°．请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD的长是多少米？（结果精确到0.1，参考数据：sin18.6°≈0.32，tan 18.6°≈0.34，sin64.5°≈0.90，tan 64.5°≈2.10）

7．东方山是鄂东南地区的佛教胜地，月亮山是黄荆山脉第二高峰，山顶上有黄石电视塔. 据黄石地理资料记载：东方山海拔453.20米，月亮山海拔442.00米．一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在东方山山顶D的正上方A处测得月亮山山顶C的俯角为α，在月亮山山顶C的正上方B处测得东方山山顶D处的俯角为β，如图，已知tanα=0.15987，tanβ=0.15847，若飞机的飞行速度为180米/秒，则该飞机从A到B处需多少时间？（精确到0.1秒）

东方山
月亮山
第7题图
β
α
A
B
D
C

跟踪训练
1．B 2．6 3．75 4．
5．由题意，知∠BAC=53°－23°=30°，∠C=23°+22°=45°．
过点B作BD⊥AC，垂足为D，则CD=BD.
因为BC=10，所以CD=BC•cos45°=10×=5≈7.0，AD==5×≈11.9．
所以AC=AD+CD=11.9+7.0≈19．
答：小船到码头的距离约为19海里．
6．解：设CD为x .在Rt△BCD中，.
因为，所以．
在Rt△ACD中，，因为，所以．
因为，所以．解得．
答：CD长约为1.14米．
7．解：设AB＝x，
在Rt△ABD中，AD＝x·tanβ＝0.15847x;在Rt△ABC中，BC＝x·tanα＝0.15987x．
由题知A，B的海拔高度相同，得0.15847x+453.20＝0.15987x+442.00，解得x＝8000．
所以t＝44.4．
答：该飞机从A到B处需44.4秒．