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函数思想解题探究
函数思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。
函数与不等式也可以相互转化，对于函数，当时，就转化为不等式，借助
数列的通项或前项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。
函数与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。以解决很多有关二项式定理的问题。
解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。
立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切。
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、化繁为简的目的。
纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础。善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。
所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分析问题、、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想。
1. 构造函数，运用函数的性质
例1.已知关于的方程有唯一解，求的值；
分析：构造函数，则问题转化为求的零点唯一时的。
解析：令，
的图像关于轴对称，而题设方程由唯一解，从而此解必为（否则必有另一解），。
点评：有关不等式、方程及最值之类的问题，通过构造函数关系式，借助函数的图像与性质，常可使问题简单得解。
2.选定主元，揭示函数关系
例2．对于的一切值，使不等式恒成立的的取值范围是
分析：从一个含有多变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系。
解析; 且，，即。①
当时，不定式①不成立。
当时，设。
当0
)
1
(
0
)
(
]
1
,
1
[
)
(
1
>
-
>
-
>
f
a
f
a
f
x
恒成立，则只需
上的增函数，欲使
为
时，
，即
x
0
)
1
(
0
)
(
]
1
,
1
[
)
(
1
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>
-
<
f
a
f
a
f
恒成立，则只需
上的减函数，欲使
为
时，

即故的取值范围时。
点评：本解的巧妙之处是“反客为主”，求x反而以a为主变元对x进行讨论，这才是真正切中要害。若以x为主元对a进行讨论，则问题的解决就繁就难多了。
3．选取变元，确定函数关系
例3．函数的值域是 。
分析：一般思路是：平方，移项，孤立根式，再平方，可以化无理式为有理式。面对这样一个低于四次的含双变量的方程，其难度真不敢想象。然而，可考虑转换选取新变元。
解析：由，设，
那么，
当
点评：虽然经选取变元后的函数简洁明快，可以使人拍案叫绝，但须特别注意到：转化后的函数上没有单调性，故最大值不能在其右端点取得。
4.利用二项式定理构造函数
例4：求证：。
分析：构造函数，比较两个展开式中的系数。
解析：令，展开式中的系数，又
其中的系数为，故=。
点评：利用函数，用赋值法或“二项”展开来比较系数可以解决许多二项式定理有关的问题。
5.用函数的思想方法解数列题
例5.已知不定式对一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围。
分析：无法求和，常规数列的方法就不起作用了，故必须用函数的思想，用研究函数单调性的方法研究这个数列，求出最小值。
解析：令
，
所以为增函数，且
由题意得。
点评：利用数列的函数性质（本例为单调性）求出的最小值。用函数方法解决问题，正是函数思想的核心。
6.建立函数关系解应用题
例6.用总长为14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，要求底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
分析：这里有四个变量：底面的长、宽、长方体的体积和高。设长、高可用x表示，容积y是x的函数。运用长方体的体积公式，建立目标函数表达式，再求函数的最大值。
解析：设容器底面宽为x(m),则长为x+0.5(m),高为
由，设容器的容积为y(m),则有
整理得，求导，得
，令即
解得。从而，在定义域内只有在。因此，当时，y取得最大值，这时，高为。
答：当容器的高为1.2m时，容积最大，最大容积是1.8(m)。
点评：此题容易忽视的时自变量x的取值范围，缺少它，很难判断求出的最大值是否符合题意。另外，适当设出自变量，建立函数关系是解此类题的关键。本题在求函数最大值时，是用求导的方法求出极值点，再根据实际情况判断是最大值还是最小值。