《相似》总复习检测试题（B）（含答案）.doc

《相似》总复习检测试题（B）
一、选择题
1．应中共中央总书记胡锦涛同志的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚瑜先生分别从台湾来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”． 该园占地面积约为800000m2，若按比例尺1:2000缩小后，其面积大约相当于 （ ）
（A）一个篮球场的面积
（B）一张乒乓球台台面的面积
（C）《陕西日报》的一个版面的面积
（D）《数学》课本封面的面积
2．如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m ，CA=0.8m， 则树的高度为（ ）
（A）4.8m （B）6.4m （C）8m （D）10m

3．如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB边于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为（ ）
（A）3 （B）3或 （C）3或 （D）

4．如图，在ABCD中，E是AD上一点，连结CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（ ）
（A）∠AEF=∠DEC （B）FA︰CD=AE︰BC
（C）FA︰AB=FE︰EC （D）AB=DC

5．如图，在ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点O，若＝9，则等于（　　　）
（A）18　　　（B）27　　　（C）36　　　（D）45

6．如图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( 　 )
B
A
C
D
E
1
2
3

7．如图，∠1＝∠2＝∠3，则图中相似三角形共有（ ）
　（A）1对　 　　 　（B）2对
　（C）3对　　　　　（D）4对
8．如图，矩形ABCD，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a，b间的关系一定满足（ ）
A
D
C
B
P
（A）a≥b
（B）a≥b
（C）a≥b
（D）a≥2b
二、填空题
9．已知，则__________．
10．已知三个数1、2、，请你再添上一个（只填一个）数，使它们能构成一个比例式，则这个数是____________．
11．在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD·DC，则∠BCA的度数为_________．
12．顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，已知AB=1，则DE=________．

13．矩形ABCD中，M是BC边上且与B、C不重合的点，点P是射线AM上的点，若以A、P、D为顶点的三角形与△ABM相似，则这样的点有 个．
14．张明同学想利用树影测校园内的树高．他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米．当他测量教楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教楼，有一部分影子在墙上．经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高约_______米．
15．在直角坐标系中有两点A（4．0）、B（0，2），如果点C在轴x上（C与A不重合），当点C的坐标为 或 时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．

16．下列命题：（1）所有的等腰三角形都相似；（2）所有的等边三角形都相似；（3）所有的等腰直角三角形都相似；（4）所有的直角三角形都相似．其中真命题的序号是__________(注：把所有真命题的序号都填上)．
三、解答题
17．将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图的样子，假设图形中的所有点．线都在同一平面内，回答下列问题：

（1）图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；
（2）图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，就把它们一一写出来．
18．（1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE．求证：AE//BC；
（2）如图二，将(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形．所作△EDC改成相似于△ABC．请问：是否仍有AE//BC？证明你的结论．

19． 已知：如图，在矩形ABCD中，正为AD的中点，EF上EC交AB于F，连结FC．（AB＞AE）

（1）△AEF与△EFC是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC．若存在，证明你的结论并求出A的值；若不存在，说明理由．
20．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1．5m，面积为1．5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．
你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数）．

图（1） 图（2）
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．
　　如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：

（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
　　（2）求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；
（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
参考答案：
一、1～8 CCBBC ADD
二、9． ；10． 2或或；11． 65°或115°；12． ；13． 2；14． 9.4；
15． （－4，0）或（1，0）或（－1，0）；16． （2），（3）．
三、
17．（1）共有三个三角形，它们是：△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△AEC、△ADC、△AFC．
（2）有相似三角形，它们是：△ADE∽△BAE、△BAE∽△CDA、△ADE∽△CDA．（或△ADE∽△BAE∽△CDA）．
18．

19． 解：（1）相似，如图，证明：延长EF与CD的延长线交于点G．在Rt△AEF与Rt△DEG中，∵ E是AD的中点，∴ AE＝ED．∠AEF＝∠DEG，∴ △AFE≌△DGE．∴ △AFE＝△DGE．∴ E为FG的中点．又CE⊥FG，∴ FC＝GC．∴ ∠CFE＝∠G．∴ ∠AFE＝∠EFC．又△AEF与△EFC均为五角三角形，∴ △AEF∽△EFC．

（2）①存在．如果∠BCF＝∠AEF，即k＝时，△AEF∽△BCF．证：当时，．∴ ∠ECG＝30°．∴ ∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°，∴ ∠BCF＝90°－60°＝30°．又△AEF和△BCF均为直角三角形．∴ △AEF∽△BCF．
②因为EF不平行于BC，∴ ∠BCF≠∠AFE．∴ 不存在第二种相似情况．

20．由AB=1．5，S△ABC=1．5m2，可得BC=2m．
由图（1），若设甲设计的正方形桌面边长为m．
由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，
∴，即，
∴m．
由图（2），过点B作Rt△ABC斜边上的高BH交DE于P，交AC于H．
由AB=1.5，BC=2．
得m．
由AC·BH=AB·BC，可得
m．
设乙设计的桌面的边长为m．
∵DE∥AC，Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴．
即，解得m．
∵，∴．
∴甲同学设计的方案较好．

图（1） 图（2）
21． 　（1）对于任何时刻t，AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t．
　　当QA＝AP时，△QAP为等腰直角三角形，
　　即：6－t＝2t，解得：t＝2（秒），
　　所以，当t＝2秒时，△QAP为等腰直角三角形．
　　（2）【方法一】在△QAC中，QA＝6－t，QA边上的高DC＝12，
　　∴　S△QAC＝QA·DC
　　＝（6－t）·12＝36－6t．
　　在△APC中，AP＝2t，BC＝6，
　　∴　S△APC＝AP·BC
　　＝·2t·6＝6t．
　　∴　SQAPC＝S△QAC＋S△APC＝（36－6t）＋6t＝36（厘米2）．
　　由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变（也可提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变）
　　【方法二】提示：也可用矩形ABCD的面积减去△QDC和△APC的面积来计算．
　　（3）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：
　　①当时，△QAP∽△ABC，那么有：
　　，解得t＝＝1.2（秒），
　　即当t＝1.2秒时，△QAP∽△ABC；
　　②当时，△QAP∽△ABC，那么有：
　　，解得t＝3（秒），
　　即当t＝3时，△QAP∽△ABC；
　　所以，当t＝1.2秒或3秒时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

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