天津中考压轴题汇编.doc

2005年
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c.
（Ⅰ）若a＝2，c＝－3，且二次函数的图象经过点（－1，－2），求b的值
（Ⅱ）若a＝2，b＋c＝－2，b＞c，且二次函数的图象经过点（p，－2），求证：b≥0；
（Ⅲ）若a＋b＋c＝0，a＞b＞c，且二次函数的图象经过点（q，－a），试问自变量x＝q＋4时，二次函数y＝ax2＋bx＋c所对应的函数值y是否大于0？并证明你的结论
解：⑵当时，二次函数为，由过点（）得
即
∴是方程的根
∵ ∴
∴
⑶由y＝ax2＋bx＋c过点（）得
即
∴是方程的根

∵a＋b＋c＝0，a＞b＞c ∴
∴
由得
自变量x＝q＋4时，二次函数y＝ax2＋bx＋c所对应的函数值

① 当时

∵
∴

②当时

∴当自变量x＝q＋4时，二次函数y＝ax2＋bx＋c所对应的函数值y大于0

2006年天津市初中毕业生学业考试试卷
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2,4)
（Ⅰ）试用含a的代数式分别表示b，c；
（Ⅱ）若直线y＝kx＋4（k≠0）与y轴及该抛物线的交点依次为D、E、F，且，其中O为坐标原点，试用含a的代数式表示k；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若线段EF的长m满足，试确定a的取值范围。
解：（I）由已知，可设抛物线的顶点式为
即
2分
（II）设E（）、F（）
由方程组
消去y，得 （*）
①
②
又
。。即
由②，知x1与x2同号，∴x2=4x1 ③ 5分
由②、③，得x1=1，x2=4；x1=－1，x2=－4
将上面数值代入①，得
解得k=a或k=－9a
经验证，方程（*）的判别式△>0成立。
∴k=a或k=－9a 7分
（III）由勾股定理，得
而
由，得
，即 8分
由已知
，即
或
当k=a时，有1≤a≤2或－2≤a≤－1
当k=－9a时，有1≤－9≤2或－2≤－9a≤－1
即或 10分

2007年天津市初中毕业生学业考试试卷
已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，。
（1）试证明； （2）证明；
（3）对于二次函数，若自变量取值为，其对应的函数值为，则当时，试比较与的大小。
解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式
即
∵ 是该方程的两个实数根
∴ ，（1分）
而 ∴ （2分）
（2）
（3分）
∵ ∴ （4分）
于是，即
∴ （5分）
（3）当时，有
∵ ，
∴

①∵ ∴
又∵ ∴ ，
∵ ∴
于是 ∵ ∴ （9分）
由于，
∴ ，即
∴ 当时，有（10分）
②
∵ ∴
∴
⑶利用图象法
函数与直线的两交点为、
接下来证明抛物线的对称轴
∵ ∴

∴
∴时,抛物线在直线的上方，即>

2008年天津市初中毕业生学业考试试卷
已知抛物线，
（Ⅰ）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；
（Ⅲ）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
解（Ⅰ）当，时，抛物线为，
方程的两个根为，．
∴该抛物线与轴公共点的坐标是和． 2分
（Ⅱ）当时，抛物线为，且与轴有公共点．
对于方程，判别式≥0，有≤． 3分
①当时，由方程，解得．
此时抛物线为与轴只有一个公共点． 4分
②当时，
时，，
时，．
由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，
应有 即
解得．
综上，或． 6分
（Ⅲ）对于二次函数，
由已知时，；时，，
又，∴．
于是．而，∴，即．
∴． 7分
∵关于的一元二次方程的判别式
，

x

∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方． 8分
又该抛物线的对称轴，
由，，，
得，
∴．
又由已知时，；时，，观察图象，
可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点． 10分

2009年天津市初中毕业生学业考试试卷
已知函数为方程两个根,点在函数的图象上．
（Ⅰ）若，求函数的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,若函数与的图象的两个交点为,当的面积为时，求的值；
（Ⅲ）若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由．
解：解（Ⅰ），
.
将分别代入，得
，
解得.
函数的解析式为．
（Ⅱ）由已知，得，设的高为，
，即.
根据题意，，
由，得.
当时，解得；
当时，解得.
的值为. 6分
（Ⅲ）由已知，得
.
，
，
，化简得.
，得，　　　　　　.
有.
又，，，
当时，；
当时，；
当时，.

2010年天津市初中毕业生学业考试试卷
在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为.
（Ⅰ）若，，求此时抛物线顶点的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = S△ABC，求此时直线的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = 2S△AOC，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.
解：（Ⅰ）当，时，抛物线的解析式为，即.
∴ 抛物线顶点的坐标为（1，4）．
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有，
∴ 抛物线的解析式为（）．
∴ 此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．
∵ 方程的两个根为，，
∴ 此时，抛物线与轴的交点为，．
E
y
x
F
B
D
A
O
C

如图，过点作EF∥CB与轴交于点，连接，则S△BCE = S△BCF．
∵ S△BCE = S△ABC，
∴ S△BCF = S△ABC．
∴ ．
设对称轴与轴交于点，
则．
由EF∥CB，得．
∴ Rt△EDF∽Rt△COB．有．
∴ ．结合题意，解得 ．
∴ 点，．
设直线的解析式为，则
解得
∴ 直线的解析式为.
（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为，（，）
则抛物线的解析式为，
此时，抛物线与轴的交点为，
与轴的交点为，.（）
过点作EF∥CB与轴交于点，连接，
则S△BCE = S△BCF.
由S△BCE = 2S△AOC，
∴ S△BCF = 2S△AOC. 得.
设该抛物线的对称轴与轴交于点.
则 .
于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有．
∴ ，即．
结合题意，解得 ． ①
∵ 点在直线上，有． ②
∴ 由①②，结合题意，解得．
有，．
∴ 抛物线的解析式为．

2011年天津
已知抛物线：．点F(1，1)．
(Ⅰ) 求抛物线的顶点坐标；
(Ⅱ) ①若抛物线与y轴的交点为A．连接AF，并延长交抛物线于点B，求证：
②抛物线上任意一点P（）)（）．连接PF．并延长交抛物线于点Q（），试判断是否成立？请说明理由；
(Ⅲ) 将抛物线作适当的平移．得抛物线：，若时．恒成立，求m的最大值．

解 (I)∵，
∴抛物线的顶点坐标为()．
(II)①根据题意，可得点A(0，1)，
∵F(1，1)．
∴AB∥x轴．得AF=BF=1，

②成立．
理由如下：
如图，过点P（）作PM⊥AB于点M，则FM=，PM=（）
∴Rt△PMF中，有勾股定理，得

又点P（）在抛物线上，
得，即
∴
即．
过点Q（）作QN⊥B，与AB的延长线交于点N，
同理可得．
图文∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，
∴△PMF∽△QNF
有
这里，
∴
即
(Ⅲ) 令，
设其图象与抛物线交点的横坐标为，，且<，
∵抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的，
观察图象．随着抛物线向右不断平移，，的值不断增大，
∴当满足，．恒成立时，m的最大值在处取得。
可得当时．所对应的即为m的最大值．
于是，将带入，
有
解得或（舍）
∴
此时，，得
解得，
∴m的最大值为8.