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三角函数基础知识
三角函数知识系统性很强，其推导公式的过程也就是理解、记忆、典型应用公式的过程，因此记忆公式的最好办法就是反复多次的推导公式。
一、弧度制、扇形的弧长公式、扇形的面积公式
角度数

弧度数

度量制度
角度制
弧度制
图形
圆心角
扇形弧长
扇形面积
圆心角
扇形弧长
扇形面积
整圆

半圆

扇形

二、轴上角和象限角（）
表达式子

终边位置

终边位置
正轴
负轴
正轴
负轴
I象 限
II象限
III 象限
IV 象限
表达式子

终边位置
一象限平分线
二象限平分线
一三象限平分线
二四象限平分线
表达式子

三、三角函数的定义
定义方法
（角、）
三角函数名称
正弦
余弦
正切
余切
正割
余割
中（斜边）

直角坐标系中

四、同角三角函数关系
关系名称
导出方法
公式表达式
平方关系
同分母的两个的平
方和(或差)等于1

商数关系
同分母的两个的商
等于第三个函数

倒数关系
分子、分母互换的
两个的乘积等于1

，
五、诱导公式
口诀
奇变偶不变，符号看象限（奇数时名称要变，偶数时名称不变）
函数名不变，符号看象限

正余名互变，符号看象限
角

（）

【说明】用诱导公式求(或化简、比较)数值角的三角函数值的大小时，口诀是“负化正，大化小，化到锐角就行了”。特殊角的三角函数值要用数值作答。
六、特殊角的三角函数值
利用两个特殊直角三角形和在直角三角形中三角函数的定义填写表中（一），利用单位圆与坐标轴交点的坐标和三角函数的坐标法定义填写表中（二），利用（）与、 ()与、与的同名三角函数值关系“绝对值不变，符号看象限”填写表（三）。
表序
一
二
三

十、最简单三角函数的图象与性质
解
析
式

图
象

定
义
域

值
域

最
值
（）
（）
无最大值和最小值
（）
（）
有
界
性
有界
有界
无界
奇
偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
周
期
性

单
调
性

对
称
性
对称中心为
对称中心为
对称中心为
对称轴为
对称轴为
无对称轴

十一、的图象与图象变换
（一）的图象及性质
项 目
三角函数（，）
图象作法
列表描点法：“叁零两最”五点法
待定坐标法
图象变换法

0

先从上升段零点开始作一个周期的图象，后写出“叁零两最”五个关键点的坐标。最后作出轴并标上和。
变换前要逆用诱导公式进行三统一：统一函数名称；统一函数前面的符号；统一前面的符号。变换口诀为“图进标退，图伸标缩”。

0
1
0
-1
0
函数性质
振 幅
周 期
频 率
对称轴
对称中心

且

且

无定义

无

（二）图象变换（口诀：图进标退，图伸标缩）
变换后
变换前

左右平移
上下平移
振幅变换
周期变换

时，向左平
移个单位
时，向上
移个单位
时，横坐标不变，
纵坐标伸长为原倍
时，横不变，
纵缩短为倍
时，向右平
移个单位
时，向下
移个单位
时，横坐标不
变，纵坐标缩短为原倍
时，横不
变，纵伸长为倍

变换后
变换前
注意：两种途径平移时的平移量不同。
方法一：先平移，后伸缩
方法二：先伸缩，后平移

先将向 _ _平移_ _个单位；再将图象上的点___坐标不变， 坐标_ _变为原来的___倍。
先将上的点 坐标不变， 坐标变为原来的___倍；再将图象向___平移___个单位。

十二、函数的图式快速互求法
1.用“待定坐标法”快速作图——先作图，后作轴和写关键点的坐标。
（1）画轴和曲线如上图，在轴上标出五个关键点、、、
、的横坐标。从第一个上升段上的零点开始的一个周期的五个关键点、、、、
（“叁零两最”）的相位的值依次为、、、、。据此算出、、、、的
横坐标并标示在轴上。
（2）作原点和作轴。设（）。当时，把进行等分，原点为从到的第个分点；当时，由知道，把进行在等分，原点为从到的第个分点。由此作出轴，并在轴上标示出和。
2.由图象快速求出解析式。
（1）振幅,；
（2）从图象看出两个已知关键点的横坐标之差是周期的几分之几；
（3）当时，对应的。
（4）的值允许相差。
3.的取值范围与轴的位置关系：在上图中（1）当时，轴与段相交； （2）当 时，轴与段相交；（3）当时，轴与段相交； （4）当时，轴与段相交。
练习：1.作下列函数的大致图象：（1）；(3)；(3)。
2.已知函数（，）的一段图象如下图所示，求函数的解析式。