对相似三角形的判定的编排建议[1]2.doc

对相似三角形的判定的编排建议
湖北省房县实验中学 张兴筑
在人教版九年级数学第二十七章《相似》中，关于相似三角形的判定，教材是这样编排的：先讲平行线分线段成比例定理，接下来讲该定理的两个推论，在此基础上讲相似三角形的三个判定定理。
定理1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
笔者认为教材这样编排存在以下弊端：
第一，不利于学生对相似三角形的判定的探究；第二，违背了《数学课程标准》“逐级递进、螺旋上升”的原则；第三，因为“全等”是“相似”的特例，所以靠类比三角形全等的方法来讲相似三角形的判定是得不到上面的定理3的。
一开始，教材就来一个“三组对应边的比相等的两个三角形相似”，这个定理需要的条件较多，且该定理的证明和运用都比较困难，而把最简单的一个定理，即“两个角对应相等的两个三角形相似”放在最后讲，这显然不符合情理，特别需要指出的是，在学习过程中既没有让学生深入思考，又缺乏探究。
教材是想通过类比三角形全等的方法来讲相似三角形的判定，既然这样，为何不采用类似于判定三角形全等的方法来探究三角形相似呢？
在探究三角形全等的方法时教材中设计了多个探究，首先从满足三个角对应相等和三条边对应相等这六个条件中的一个开始，然后再进一步探究满足上述六个条件中的两个或三个，学生通过不断地探索，终于明白判定两个三角形全等至少需要三个条件，其中至少要有一边对应相等。这样设计不仅有利于知识的获取，而且更重要的是让学生懂得如何去探究知识，掌握学习方法。
正因如此，笔者对相似三角形的判定提出如下编排建议，把探究和类比结合起来。
问题情境：我们知道，如果△ABC∽△A´B´C´，那么它们的对应角相等，对应边的比相等。反过来，如果△ABC与△A´B´C´满足三个角对应相等，三条对应边的比相等，也就是∠A＝∠A´，∠B＝∠B´，∠C＝∠C´，

即，，
这六个条件，就能保证△ABC∽△A´B´C´(如图1)。如果△ABC与△A´B´C´满足上述六个条件中的一部分，那么能保证△ABC与△A´B´C´相似吗？
探究1：先任意画一个△ABC，再画一个△A´B´C´，使△ABC与△A´B´C´满足上述六个条件中的一个，你画出的△A´B´C´与△ABC一定相似吗(选中边作为条件时，可取,下同)？
通过画图发现，满足上述六个条件中的一个，这两个三角形不一定相似。
探究2：先任意画一个△ABC，再画一个△A´B´C´，使△ABC与△A´B´C´满足上述六个条件中的两个，你画出的△A´B´C´与△ABC一定相似吗？
这两个条件可以是边、边或边、角或角、角。通过画图发现，对于前两种情况这两个三角形不一定相似；对于第三种情况这两个三角形是相似的。
由探究2可以得到判定两个三角形相似的一个定理：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
在图1中，如果∠A＝∠A´，∠B＝∠B´，那么△ABC∽△A´B´C´(证明略)。
该定理需要的条件比较少，它的证明和运用相对于其它两个定理都比较简单，先让学生探究出这个判定定理既遵从《数学课程标准》“逐级递进、螺旋上升”的原则，又符合学生的认知规律，学生容易接受。
探究3：先任意画一个△ABC，再画一个△A´B´C´，使△ABC与△A´B´C´满足上述六个条件中的三个，你画出的△A´B´C´与△ABC一定相似吗？
这三个条件可以是三角或两角一边或三边或两边一角。对于前两种情况，因为它们都有两个角对应相等(第三个条件是多余的)，所以这两个三角形一定相似；对于第三种情况，类比判定三角形全等的SSS方法，可以发现这两个三角形是相似的。
由此得到判定两个三角形相似的又一个定理：
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
在图1中，如果，那么△ABC∽△A´B´C´(证明略)。
学生有了类比判定三角形全等的方法的经验，就可以很轻松而又很自然地来探究最后一种情况即满足两边一角的两个三角形是否相似？
类比判定三角形全等的SAS方法，得到判定两个三角形相似的最后一个定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
在图1中，如果，且∠B＝∠B´，那么△ABC∽△A´B´C´(证明略)。
思考：在△ABC和△A´B´C´中，如果，且∠A＝∠A´，那么这两个三角形相似吗？试着画画看。
通过画图可以发现，如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形不一定相似。如图2，BD＝BC，∠A＝∠A，，但△ABD与△ABC不相似。
这样的编排，可以充分地引导学生去探究，在探究中发现，在发现中探究，让学习新知识的过程变成探究和发现的过程，并且在此过程中积累数学活动经验和方法，有利于提高学生的探究能力和良好的思维品质。