新人教版九年级上241学案.doc

24.1.1
教学目标：
1知识目标：让学生在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性。
2能力目标：使学生了解弦，弧，半圆，优弧，劣弧，同心圆，等圆，等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系。让学生在动手实践中探索并初步了解点和圆的位置关系。
3情感目标：养成学生之间的合作的习惯。
重点：圆的有关概念
难点：理解定义圆所应该具备的两个条件
课时：第一课时

一、 温故知新
1、举例说出生活中的圆。

2、你是怎样画圆的？你能讲出形成圆的方法有多少种吗？

二、自主学习
（一）自学课本Ｐ84---P85思考下列问题：
1.分别用不同的方法作圆，标明圆心、半径，体会圆的形成过程。
2.圆的两个定义各是什么？
3.弄清圆的有关概念？怎样用数学符号表示？

课堂练习：
课本P86练习 1，2

总结反思：

布置作业：1.必做题 概念2遍 2.选做题 基础训练

24.1.2垂直于弦的直径（一）
学习目标：知识目标：1．理解圆的轴对称性；
２．了解拱高、弦心距等概念；
　　　　３．使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。；
技能目标：通过“垂径定理”的教学，培养学生的抽象概括能力；识图、绘图能力；
运算以及推理论证能力；发散思维能力。
情感目标：创造生动、愉悦的课堂气氛，勾通师生间情感，渗透特殊与一般的辩证思想，
努力培养学生积极参与课堂教学的意识。
重难点：重点：“垂径定理”及其应用 难点：垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明。
教学过程：
一、 复习与提问
⒈叙述：前面学习了圆，你会画圆吗？请同学叙述圆的集合定义？
⒉教师问：连结圆上任意两点的线段叫圆的________，圆上两点间的部分叫做_____________，
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______________。
3.课本P86页有关“赵州桥”问题。
二、 动手实践，发现新知
⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试，有方
法的同学请举手。
⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆 _______
②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每
一条_________。
三、 创设情境，探索垂径定理
⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？
A
B
C
D
O
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O

E

⒉若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，
还有与刚才相类似的结论吗？
⒊要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠,实验后提出猜想。
⒋猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知，求证。
然后让学生阅读课本P87证明，并回答下列问题：
①书中证明利用了圆的什么性质？
②若只证AE=BE，还有什么方法？
⒌垂径定理：
分析：给出定理的推理格式

推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且
6．辨析题：下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？
C

O
O
O

E
E
B
O
A
A
B
E
B
A

D
D
A
E
B
D

四、 定理的应用
例1、已知：在圆O中，⑴弦AB=8，O到AB的距离等于3，求圆O的半径。
⑵若OA=10，OE=6，求弦AB的长。
O
A
B

例2、讲评P86页的“赵州桥”问题。
课堂练习：1.练习 P88页练习2
2、⊙O的半径是5，P是圆内一点，且OP＝3，过点P最短弦、最长弦的长为 .
3、如右图2所示，已知AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为M，CD＝8，AM＝2，
则OM＝ .
4、⊙O的半径为5，弦AB的长为6，则AB的弦心距长为 .
5、已知一段弧AB，请作出弧AB所在圆的圆心。

6、问题1：如图1，AB是两个以O为圆心的同心圆中大圆的直径，AB交小圆交于C、D两点，求证：AC=BD

问题2：把圆中直径AB向下平移，变成非直径的弦AB，如图2，是否仍有AC=BD呢？

问题3：在圆2中连结OC，OD，将小圆隐去，得图4，设OC=OD，求证：AC=BD

问题4：在图2中，连结OA、OB，将大圆隐去，得图5，设AO=BO，求证：AC=BD

7．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，
求⊙O的半径的长。

达标检测
1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ）．
A．CE=DE B． C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD

(图1) (图2) (图3) （图4）
2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
3．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（ ）
A．1mm B．2mmm C．3mm D．4mm
4．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；
最长弦长为_______．
5．如图4，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）
6、已知，如图所示，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别
交于点A、Ｂ和C、D。求证：ＡＢ＝ＣＤ　
Ａ

拓展创新:
1. 如图，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C，
若AB=3，BC=1，则圆环的面积最接近的整数是（ ）
A.9 B. 10 C.15 D.13
2.如图24-11，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、
DM⊥CD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，
说明理由．

3.如图所示，CD是⊙O的直径，过弦AB两端分别作FA⊥AB，
EB⊥AB，交CD所在直线于F、E. 求证：CE＝FD.

六、 布置作业：课本第88页，练习1、2题。第95页7、8题。

§24.1.2《垂直于弦的直径》（二）
学习目标：1.知识目标 使学生掌握垂径定理及推论，会用垂径定理及推论解决有关计算、证明问题。 2. 能力目标 使学生了解垂径定理及推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力和一定的计算能力 3.情感目标 经历综合应用垂径定理及推论的过程，体验数学的应用价值。
重点：应用垂径定理及推论解决实际问题 难点：应用垂径定理及推论解决实际问题。
D
┕
学前准备：
结合图形完成填空：
（1） 已知CD是直径。CD AB于E，
则__________,___________,_______________.
（2） 已知CD是直径，且平分弦AB，AB不是直径，
则____________,____________,_____________.

自主探究：
如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图,点O弧CD的圆心，其中CD=600m，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．
分析：此题是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
解：

合作探究：
阅读课本P87,尝试解决下列问题:
有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
提示：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R．
解：

深入探究：
A
B
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示。若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。

巩固练习：
教材P88 练习1、2
课堂小结： 你掌握了今天的重点内容了吗？这节课你有那些收获？
布置作业：
教材P95 综合运用 8、9

§24.1.3《弧、弦、圆心角》
学习目标1.知识目标 让学生在实际操作中发现圆的旋转不变性。结合图形让学生了解圆心角的概念，学会辨别圆心角。 2.能力目标引导学生发现圆心角、弦、弧之间的相等关系，并初步学会运用这些关系解决有关问题。 3.情感目标培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律。
重点：圆心角、弦、弧之间的相等关系。
难点：从圆的旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧之间的相等关系。
学前准备：
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样____________的角叫做圆心角．
自主探究：
1、如图所示的⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的_____相等，所对的_____相等．
2、 在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合．

(1) (2)
在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等吗？

因此，我们可以得到下面的定理：____________________________________________
_____________________________________。
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角____，所对的弦也____．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____，所对的弧也___.
合作探究：

例2 如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？

（2）如果OE=OF，那么弧AB与弧CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？

巩固练习：
教材P89 练习1、2

课堂小结： 你掌握了今天的重点内容了吗？这节课你有那些收获？

达标检测
1．如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对
2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（ ）
A．=2 B．> C．<2 D．不能确定
3．如图1，⊙O中，如果=2，那么（ ）．
A．AB=2AC B．AB=AC C．AB<2AC D．AB>2AC

(1) (2)
4．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．
5．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．
6．如图2，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．
7．如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，
求证：AE=BF=CD．

拓展创新：
如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，
请说明理由．

（图1） （图2）

布置作业：教材P94习题24.1第7、8题

§24.1.4《圆周角》
学习目标：
1.知识目标 使学生理解圆周角、圆内角、圆外角概念，掌握圆周角和圆心角的关系定理
2.. 能力目标 在定理的证明过程中，使学生了解化归思想和分类思想和完全归纳的思想。
3. 情感目标 在运用定理及推论进行简单的计算与证明的过程中，培养学生分析问题和解决问题及综合运用知识的能力
重点：学会识别圆周角并掌握圆周角定理 难点: 理解圆周角定理的证明
学前准备：
自学课本第90页———第93页内容，尝试自主解决以下问题：
1、圆周角定义: 叫圆周角.
特征：① 角的顶点在 ；
② 角的两边都 。
练习1、下列各图中，哪一个角是圆周角？（ ）

练习2、图3中有几个圆周角？（ ）
（A）2个， （B）3个， （C）4个， （D）5个。
练习3、写出图4中的圆周角：___________________________________

练习4、在同圆中，一条弧所对的圆心角有几个？圆周有几个？画图表示。
2、圆心角与所对的弧的关系：
3、圆周角与所对的弧的关系：
4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系：

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于 的一半.

5、100º的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。
6、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角
度数为________________。
7、如图（下左），在⊙O中，∠BAC=32º，则∠BOC=________。

8、如图（上右），⊙O中，∠ACB = 130º，则∠AOB=______。
9、下列命题中是真命题的是（ ）
（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。 （B）60º的圆周角所对的弧的度数是30º
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。（D）120º的弧所对的圆周角是60º
10、通过预学，你还有哪些疑惑？
自主探究：
问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么?
问题2、如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点，你能确定∠ACB的度数吗?
问题3、如图3，圆周角∠B C A=90º，弦AB经过圆心O吗？为什么？

圆周角定理的推论1：同圆或等圆中， 所对的圆周角相等；
同圆或等圆中， 所对的弧也相等。
圆周角定理的推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；
所对的弦是直径。
合作探究：
1、例题：已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
求证：

2、交流与合作：课本第93页例2
巩固练习：
如图，P是△ABC的外接圆上的一点∠APC=∠CPB=60°。
求证：△ABC是等边三角形

课堂小结： 你掌握了今天的重点内容了吗？这节课你有那些收获？
课堂检测：
1、如图6，已知∠ACB = 20º，则∠AOB = _______.
2、如图7，已知圆心角∠AOB=100，则∠ACB = _______。

3、如图8，OA,OB,OC都是圆O的半径，∠AOB = 2∠BOC.求证：∠ACB = 2∠BAC.

拓展与提高：已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分∠ABC,且AB∥CD . 求证:CD=CB

达标检测:
1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（ ）．
A．140° B．110° C．120° D．130°

(1) (2) (3)
2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ）
A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2
C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠2
3．如图3，（中考题）AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
4．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为2a，则弦AB所对的圆周角的度数是________．
5．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．

(4) (5)
6．（中考题）如图5，于，若，则

7．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．

拓展创新:
1．如图，已知AB=AC，∠APC=60°
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．

布置作业：
必做题：课本第95页11、14题，课本第132页11题，
选作题：一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.
测得圆周角∠ACB=45°求这个人工湖的直径.