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图形的奥密——面积变换
鳌江四中 国
摘要：在数学的王国中，平面几何无疑是其中的一个大部落。而图形的面积又好比其中公民的身份证了解了它，也就更加容易领略图形的魅力，在平时做题时，我发现很多问题都能够用面积的方法解决。而图形的等积变换则为求线段比面积比等问题打开了一扇大门。所以说面积法无疑是几何中的一个好方法。
关键词：面积法等积变换
一、简单的面积公式及其应用
在学习生活中，我们已经学习了许多计算图形面积的方法了，拿三角形为例：
==其中是a边上的高，P是三角形的半周长，r为三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆半径。至于四边形或多边形的面积，则我们可将其转化为三角形来进行探究。下面，我们不如看看这些公式的实际应用：如图①：在等边三角形ABC外有一点P，点P落设点P到BC，CA，AB的距离分别是求等边△ABC的面积。
解：连接
则有
即

经过此题我们可以发现做高是面积法中常用的一种方法，充分利用已知条件构造三角形，进而得到所求的面积，这是通常的思路。
如图②，有一个△ABC，分别以它的各条边以边向外做正方形得到正方形ACDE，ABGF和BCJH的面积分别为17，13，10，则六边形DEFGHJ的面积多少？
解：①由题意可知AC=

=

同理可得
由海伦公式：
×4=62
②除此之外，我们还可以构造另外一个图形来解这个问题由题意可知AC=
如图③构造一个矩形CDEF
则
=12-
=5.5
余下的步骤同上

通过这道题我们发现用面积法是一种有效方法，有时候一些题目可以构造新图形来求得面积从而简化计算。
二、面积法与常用定理的证明
在几何，我们会遇到多种多样的定理。而面积法则为其中的许多定理提供了证明，所以我们不防试着去做一做。
D
如图⑤，在△ABC中，AD，BE，CF三线交于一点。求证：··=1
= =
=
即=
同理=，=
··=··=1
这道题就是几何中常用的塞瓦定理，而它的逆定理是证明三线共点的重要方法。由此我们也可以发现利用面积原理将线段长度之比和面积之比互相转化是处理面积问题的常用方法。
如图⑥，在△ABC中，AD平分∠BAC，试证明=
证明：AD平分∠BAC
∠BAD=∠CAD
=
=
又==
=
这道题是常用的内角平分线定理，运用角相等和等积变换证明线段成比例
又如勾股定理的证明
在直角三角形ABC中，做高AC以Rt△ABC的三边为边长向外做正方形，连接FC，AD
∠FBA=∠CBD=90°
∠FBC+∠ABC=∠CBD+∠ABC
即∠FBC=∠ABD
又BC=BD
FB=AB
△FBC≌△ABD
S△FBC=S△ABD
△FBC和正方形BFGA同底等高
SABFG=2SFBC
同理SBSLD=2S△ABD
SBFG=SBCLD
同理SAHKC=SSCEL
SBAGF+SAHKC=SBCED
AB2+AC2=BC2

三、多边形的面积
上面我们探求提是三角形的面积，而多边形的面积我们可以将其转化为三有形的面积来进行计算。
如图⑦设点E，F，G，H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，且=k（k是正数），求四边形EFGH的面积
解：连结AC，BD
由得

+=（）
=·S四边形ABCD=
同理，+=
S四边形EFGH= S四边形ABCD－（）
＝1-=
在这题中把四边形分解成多个三角形，分别求出每个三角形的面积，这是求四边形面积的常用方法。
如图⑧，已知凸五边形ABCDE满足AB=BC，CD=DE，∠ABC=150°，∠CDE=30°，BD=2，求五边形ABCDE的面积。
解：作点C关于BD的对称点k，则AB=KB，ED=KD，分别做∠ABK和∠KDE的角平分线，设交于点M，则MB，MD分别垂直平分AK，EK，则点M是△AKE的外心。
又∠MBD=∠ABC=75°
∠MDB=∠CDE=15°
∠BMD=90°
又AK∥MD，EK∥BM
AK⊥KE
点M为Rt△AKE斜边AE的中点
△ABM≌△KBM，△MKD≌△MEO，以及△BCD≌△BKD
SABCDE=2S△BMD
做点B关于MD的对称点B′，则△BMD≌△B′MD
SABCDE=2S△BMD= S△BDB′=×2×2×Sin30°=1
这道题通过分解将五边形化为几个三角形，这需要充分利用已知条件添加辅助线，挖掘题目内在的信息。
四、面积和最值
在平面几何中，由于存在动点，便会有面积的不同大小，于是就会有最值问题了。如图⑨，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或点C重合），分别过B，C，D做射线AP的垂线，垂足分别是B′，C′，D′，则BB′+CC′+DD′的最值为多少。
解：连结DP，AC
△ACP和△DCP同底等高
S△ACP=S△DCP
S△ABP= BB′·AP
S△ACP= CC′·AP
S△ADP= DD′·AP
SABCD= S△ABP+ S△ADD+ S△CDP= S△ABP+ S△ADP+ S△ACP=（BB′+CC′+DD′）AP=1
即BB′+CC′+DD′=，1≤AP≤
≤BB′+CC′+DD′≤2
由上题可以发现，我们利用面积关系进行推导，得出所求线段与已知线段的关系，进而求出所求线段的最值是很常用的一种方法。
通过以上的探究，我发现用图形的面积可以解决许许多多的问题。只要我们在平时的学习生活中不断总结方法，以小见大，就可以不断取得新的成功，得到自己学数学的感悟。只有不断总结，不断发现，才会攀登到自己人生的更高峰。

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