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虚数不虚
——复数简介

数的范围从自然数起不断扩充是和解方程联系在一起的。在自然数范围内x+a=0无解，引进了负数以后，这个方程就有解了。同样，方程ax+b=0（a、b为整数）在整数范围内可能无解，为使其总有解，人们引进了有理数。为使x2=b（b>0）这一类方程有解，数学家引进了无理数，从而有了实数，但解方程x2+b=0(b>0)时又遇到麻烦。
古人一直认为x2=b(b<0)之类的方程在实数范围内无解，原因是任何实数的平方都是非负数。
公元1484年，法国数学家舒克在他的著作《算术三论》中，解二次方程x2-3x+4=0，得x=，这里出现了虚数——两个共轭虚数。他声称，这是不可能的。
1545年，意大利数学家卡尔达诺发表了他的名作《大术》，书中公布了三次方程x3+px+q=0的求根公式
x=。
人们用这个公式解方程x3-6x+4=0，得x=，出现了在实数范围内不能解决的求-4的平方根问题，使还没有虚数概念的十六世纪数学家非常吃惊；另一方面，对方程x3-6x+4=0左边进行因式分解，有(x-2)(x2+2x-2)=0，解之得x1=2，x2= -1+，x3= -1-，于是有的数学家误认为，既然这个方程最后得到实根，那么用卡尔达诺公式求出的虚根一定是可以避免的。尽管他们绞尽脑汁，试图去掉卡尔达诺公式中的虚数，幻想最终化为泡影。卡尔达诺在解问题“两数之和是10，积是40，求此两数”时，列出方程x(10-x)=40。解得x= 5也曾引起他的困惑，认为负数的平方根是“诡辩量”，是虚构的、想象的、神秘的，他把叫做虚数，他曾写道：“算术就是这样神秘地进行，它的目的正象人们说的是又精密又不中用。”
法国数学家笛卡尔最初也只承认正数，不承认负数和虚数，他认为虚数并不是数；英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹也曾把虚数当作不可接受的东西。1702年莱布尼兹说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐蔽所，它大概是介于存在和不存在之间的两栖动物。”
即使是对复数的发展作出很大贡献的数学家欧拉，开始时也曾认为：“一切形如、的数学式子，都是不可能的，虚构的，因为他们是负数的平方根，对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”
在很长时间里，人们把虚数看作不可接受的“虚数”，谁也说不出它们有什么用处。随着时间的推移，人们才逐步认识了虚数的本质。
1730年，法国数学家棣莫佛发现了公式(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ，后来被人们称作棣莫佛定理。
1732年，欧拉成功地利用ω（ω=），ω2，给出了卡尔达诺曾经研究过的三次方程x3+px+q=0(p>0，q>0)的三个根的一般公式。于1748年发现了著名的欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。1777年，欧拉在递交给彼得堡科学院的论文《微分方程》中，首次使用符号i表示-1的一个平方根，并系统地建立了复数的理论。
1747年，法国数学家达朗贝尔发现，对于虚数，如果按多项式的四则运算进行，那么它们的结果都可以写成a+b（其中a、b是实数）的形式。
1797年，挪威测量学家威塞尔在递交给丹麦科学院的论文中，给出了复数的几何意义，正式提出把复数a+bi用平面上的点（a，b）来表示，用平面上的向量表示，初步建立了复平面的概念，真正作出了虚数的几何解释。
1806年，德国数学家高斯发现并公布了虚数的图象法，1831年给出了复数的几何表示的详细说明。他采用有序数对（a，b）代表复数a+bi，把复数的和与积用纯代数法定义，给复数代数化，第一次深刻地揭露了复数的“数”的性质，也是高斯在1832年首先使用并提出了“复数”这个名词。
1906年，日内瓦的阿工第一次用“模”这个词表示向量a+bi的长度。
从1484年到1832年，在几百年内，经过许多数学家的长期努力，终于揭开了“虚数”的神秘面纱，显出它们的庐山真面目——“虚数不虚”。
十八世纪以后，复数的理论日益完善，人们发现了复数有许多良好的性质，特别是复数与坐标平面上的点一一对应，原则上可使几何图形的各种关系转化为复数之间的关系，而复数可以进行运算，便于操作。因此，许多代数和几何问题，用复数运算来处理，有很大的方便，并在数学、力学、电学等学科中显示了它的独特地位，成为科学技术上普遍作用的一种重要数学工具。从此，对复数的研究日益展开，特别在十九世纪中叶以后，这项研究已逐渐发展成为一个庞大的数学分支——复变函数论。

【附录】
一、【高斯简介】
高斯（1777年～1855年）德国数学家、物理学家、天文学家。
高斯出生于德国不伦瑞克的一个农家，自幼天资聪明。幼年就显示出非凡的数学才能。11岁时就试图证明二项式定理。15岁时读完牛顿、拉格朗日的著名著作，并掌握了牛顿的微积分理论。1795年～1798年在哥廷根大学学习，1799年因证明代数学的基本定理而获得哈勒大学的博士学位。1807年后担任哥廷根天文台台长兼哥廷根大学教授。1804年当选为英国皇家学会会员。他还是法国科学院和其他许多科学院的院士。
高斯是数学史上最为杰出的数学家之一。从大学一年级起直到逝世，高斯的杰出成就几乎遍及数学的各个分支，被称为“数学之王”（或“数学王子”）。在大学时代，高斯就提出了“最小二乘法”，证明了数论中的“二次互反律”，用尺规作图法作出了正十七边形并阐明：直尺圆规作图法能作出的素数边的正多边形的充要条件是该素数为费马型素数。1799年，高斯的博士论文是关于代数学基本定理的证明（此后他一生中给出了四个证明）。1801年高斯发表了享誉世界的名著《算术研究》论文集，有人认为此书的出现是近世数论的开始。高斯在数论与代数中的二次型、三次剩余、四次剩余、高斯整数等方面都有开创性的工作，他还在超几何级数、复变函数、场论、曲面微分几何、非欧几何等方面有杰出重大的贡献。在天文学上，高斯24岁时就创造过只需三次观察数据就能确定行星轨道的方法。他于1809年发表的《天体运动论》是天文学上的重要著作。高斯还对大地测量学、光学、地磁学与电学等方面作出过杰出的贡献，并且，他还是语言学家，精通很多国家的语言文学。高斯发表论文和著作非常慎重，生前只发表过155篇论文，每篇都很精彩，逝世后人们查看他的遗稿，才知道他尚有大量创见未发表。

二、【高斯秩事简介】
被称为数学王子的德国杰出数学家高斯自小是个读书迷。童年的高斯家境贫穷，为节省灯油，父亲在天刚擦黑时就让高斯睡觉去，可是高斯却暗自将芜菁（一种蔬菜）掏空了做成油灯，躲在被窝里面看书。
巴特尔斯是高斯中学时的数学老师，他只比高斯大八岁。由于高斯的学业早已超出了教材内容的水平，巴特尔斯经常买一些较深的书籍与高斯一起阅读和钻研，教学相长，师、生都有很大的进步，后来巴特尔斯继续深造成了喀山大学的数学教授。
高斯14岁时的一天，在回家的路上边走边看书，不知不觉误入了不伦瑞克公爵费迪南的别墅庄园，刚巧公爵夫人在那里。公爵夫人在盘问高斯时惊奇地发现，这个小孩子竟然能完全明白书中那些深奥的道理。分别时公爵夫人记下了高斯的姓名和他读书的学校（可能还顺便知道有位巴特尔斯老师），回宫后便告诉了公爵。
费迪南公爵从巴特尔斯老师那里知道了高斯的学业和家庭情况，又亲自召见高斯面对面地询问和考查。公爵认定高斯是他管辖的领地内不可多得的天才、神童，便从此担负起了安排、资助、教育和支持高斯的责任。
高斯15岁时，公爵安排和资助他进入卡罗林学院（相当于大学预科）学习。两年后公爵送高斯进入了颇负盛名的哥廷根大学学习，直到1799年高斯获得博士学位，大学期间的费用都是费迪南公爵资助的。
在卡罗林学院和哥廷根大学读书期间，高斯接二连三地发表了他的高水平的出色论文，泉涌般地一个又一个地创造数学奇迹。
1801年，高斯出版了他的享誉世界的名著《算术研究》论文集，并在天文学上取得惊人的成就。这年正是高斯偶然误入公爵别墅庄园的十周年，当时高斯才24岁。这只是高斯一生中杰出贡献的开始。
为了支持高斯在天文学方面的研究，费迪南公爵筹资、资助兴建了哥廷根天文台（棣属于哥廷根大学）。1807年哥廷根天文台建成，高斯任台长（实际上是终生台长），这时高斯30岁，他是哥廷根大学教授，负责数学专题讲座，已经是世界驰名的数学家了。人们在赞赏高斯的天才、勤奋和伟大成就的同时，也传诵着他的机遇。