单元测试卷八.doc

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单元测试卷八　圆锥曲线方程
(时间：120分钟　　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于(　　)
A.　 B.
C. D.
答案：D
解析：设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则由题意得：2a＝2×2b⇒a＝2b⇒a2＝4b2⇒a2＝4(a2－c2)⇒e＝.
2．椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N.若|MN|≤2|F1F2|，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A．(0，] B．(0，]
C．[，1) D．[，1)
答案：D
解析：由题意，有|MN|≤2|F1F2|⇒≤2c⇒a2≤2c2⇒≥.
又<1，∴≤<1.故选D.
3．若双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．4
答案：C
解析：双曲线的标准方程为－＝1，
故c2＝3＋，即c＝.
由于抛物线的准线方程为x＝－，它与x轴的交点的横坐标为－，
而双曲线的左焦点在抛物线的准线上，
因此 ＝，p>0.
解得p＝4.故选C.
4．若方程＋＝1表示的曲线是一组双曲线，则这组双曲线(　　)
A．有相同的实轴和虚轴
B．有共同的焦点
C．有共同的准线
D．有相同的离心率
答案：B
解析：k＋8>k＋4，∴原方程化为－＝1.
∴c2＝k＋8－k－4＝4.
∴这组双曲线有共同的焦点．
5．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线上的一动点，则以MF为直径的圆与y轴的位置关系是(　　)
A．相离 B．相交
C．相切 D．以上都有可能
答案：C
解析：令M(x1，y1)，求得|FM|＝x1＋，故FM的中点到y轴的距离为＝.故选C.
6．设双曲线－＝1与－＋＝1(a>0，b>0)的离心率分别为e1，e2，则当a，b变化时，e＋e的最小值是(　　)
A．2 B．4
C．4 D.
答案：C
解析：∵e1＝，e2＝，＋＝＝1，
∴＋＝＝1，
即e＋e＝e·e.
又∵e·e≤()2，
∴e＋e≤()2.
∴e＋e≥4，
当且仅当e＝e，即e1＝e2时取“＝”．
7．已知椭圆＋＝1的两个焦点为F1、F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
答案：C
解析：由＋＝1知a＝2，b＝，c＝1，e＝.
则|MF1|＋|MF2|＝4.①
又|MF1|－|MF2|＝1，②
∴|MF1|＝，|MF2|＝.又|F1F2|＝2，
∴|MF1|>|F1F2|>|MF2|.
cos∠MF2F1＝＝0.
∴∠MF2F1＝90°，即△MF1F2是直角三角形．
8．P是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，焦距为2c，则△PF1F2内切圆的圆心横坐标为(　　)
A．a B．b
C．c D．a＋b－c
答案：A
解析：利用平面几何的知识及双曲线的定义易知：△PF1F2的内切圆与x轴的切点为双曲线的右顶点．
9．在双曲线－＝1中，过焦点且垂直于实轴的弦长为2，焦点到一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：设F(c,0)为双曲线－＝1的右焦点，过焦点且垂直于实轴的弦长为2，则与双曲线交于A(c,1)，渐近线方程为bx±ay＝0.
∴由题意：b＝1，－＝1.
∴e＝.故选B.
10．已知点F(，0)直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
答案：D
解析：由已知得|MF|＝|MB|，由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，故选D.
11．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为(　　)
A．钝角 B．直角
C．锐角 D．都有可能

答案：C
解析：如右图，设M为AB的中点，过点M作MM1垂直于准线于点M1，分别过A、B作AA1、BB1垂直于准线于A1、B1两点．
则|MM1|＝＝＝>.
∴以AB为直径的圆与右准线相离．
∴∠APB为锐角．
12．已知双曲线M：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且·的最小值的取值范围是[－3a2，－a2]，则双曲线M的离心率的取值范围是(　　)
A．[2,4] B．[，2]
C．[，4] D．(1，]
答案：B
解析：由已知·，当θ＝180°时取最小值．
∴·的最小值为a2－c2.
∴－3a2≤a2－c2≤－a2.
∴
∴，
∴≤e≤2.故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．如果双曲线的两个焦点分别为F1(－3,0)、F2(3,0)，一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的方程为____________．
答案：－＝1
解析：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
依题意可得解得从而该双曲线的方程为－＝1.
14．设圆经过椭圆＋＝1的右顶点及右焦点，且圆心在椭圆上，则圆心到椭圆中心的距离为________．
答案：
解析：显然圆心在椭圆的右顶点与右焦点连线的垂直平分线x＝4上，故圆心坐标为(4，±)，
它到原点的距离为 ＝.
15．以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是________．
答案：y2＝12x
解析：由双曲线－＝1知，中心为(0,0)，右焦点为F(3,0)．故焦准距p＝6.
∴抛物线方程为y2＝12x.故答案为y2＝12x.
16．已知抛物线y＝x2的焦点为F，直角三角形AOB(O为坐标原点)的直角顶点A在抛物线上，且＝8，则△AOB的面积S＝________.
答案：1
解析：本题是关于抛物线上点构成三角形面积求法问题，由抛物线的方程：y＝x2可知其焦点坐标为F(0，)，由＝8⇒B(0,2)，设点A(x0，y0)，由于A为直角顶点，所以OA⊥AB⇒kOA·kAB＝－1，即有×＝－1⇒y－2y0＝－x，又点A在抛物线上，即也有y0＝x，由上述两个关系式解得点A(±1,1)，所以三角形OAB的面积为1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(本小题满分10分)从椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点P向x轴引垂线．垂足为椭圆的左焦点F1，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，且有＝λ(λ>0)．
(1)求椭圆的离心率．
(2)若椭圆的准线方程为x＝±2，求椭圆方程．
解：(1)∵＝λ(λ>0)，∴点P在第二象限内，∴yP>0.
∵点F(－c,0)代入椭圆方程得：
yP＝，即|PF1|＝，再有＝λ得：△OAB∽△F1OP，
∴＝，即＝，∴b＝c.
由a2＝b2＋c2，得：a2＝2c2，∴e＝＝.
(2)由椭圆的准线方程是x＝±2可得：
＝2，又有＝，所以a＝.
c＝，∴b＝.
因此椭圆方程为：＋＝1.
18．(本小题满分12分)设直线ay＝x－2与抛物线y2＝2x交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H(H为圆心)，试证明抛物线的顶点在圆H的圆周上；并求a的值，使圆H的面积最小．
证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则其坐标满足
消去x得y2－2ay－4＝0.
∴
∴
∴·＝x1x2＋y1y2＝4－4＝0，
即OA⊥OB，故O必在圆H的圆周上．
又圆心H(x0，y0)为AB的中点，则
x0＝＝2＋a2，y0＝＝a.
∴OH＝.
而OH是圆H的半径，从而当a＝0时圆H的半径最小，即圆H的面积最小．
19．(本小题满分12分)已知双曲线－＝1的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，·＝6－4，∠BAF＝150°.
(1)求双曲线的方程；
(2)设Q是双曲线上的点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若＋2＝0，求直线l的斜率．
解：(1)由条件知A(a,0)，B(0，b)，F(c,0)
·＝(－a，b)·(c－a,0)＝a(a－c)＝6－4
cos∠BAF＝＝
＝－＝cos150°＝－.
∴a＝c，代入a(a－c)＝6－4中得c＝2.
∴a＝，b2＝c2－a2＝2，
故双曲线的方程为－＝1.
(2)∵点F的坐标为(2，0)．
∴可设直线l的方程为y＝k(x－2)，
令x＝0，得y＝－2k，即M(0，－2k)
设Q(m，n)，则由＋2＝0得
(m，n＋2k)＋2(2－m，－n)＝(0,0)．
即(4－m,2k－n)＝(0,0)．
即，　∵－＝1.
∴－＝1，得k2＝，k＝±.
20．(本小题满分12分)过点(1,0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y＝x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程．
解：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，显然，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝k(x－1)代入椭圆方程，整理得
(k2a2＋b2)x2－2k2a2x＋a2k2－a2b2＝0.
因为直线l与C交于A、B两点
∴Δ＝4k4a4－4(a2k2－a2b2)(k2a2＋b2)>0.
即k2a2－k2＋b2>0，①
当Δ>0时，设直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，则
x0＝(x1＋x2)＝
∴y0＝(y1＋y2)＝[k(x1－1)＋k(x2－1)]
＝－.
∵M(x0，y0)在直线y＝x上，
∴－＝·，
∴k＝－.又＝1－e2＝1－＝，
∴k＝－＝－1.
因此直线l的方程为y＝－x＋1.
∵a2＝2b2，∴椭圆C的方程为＋＝1，其右焦点为(b,0)，设(b,0)点关于直线y＝－x＋1的对称点为(x′，y′)，
则⇒
因为点(1,1－b)在椭圆上．
∴1＋2(1－b)2＝2b2，解得b2＝.
把b2＝，a2＝，k2＝1代入①式，得Δ>0.
∴b2＝，a2＝.
∴椭圆C的方程为＋＝1，
直线l的方程为y＝－x＋1.
21．(本小题满分12分)已知双曲线－＝1的焦点为F1(－ c,0)、F2(c,0)(c>0)，焦点F2到渐近线的距离为，两条准线之间的距离为1.
(Ⅰ)求此双曲线的方程；
(Ⅱ)过双曲线焦点F1的直线与双曲线的两支分别相交于A、B两点，过焦点F2且与AB平行的直线与双曲线分别相交于C、D两点，若A、B、C、D这四点依次构成平行四边形ABCD，且||·||·sin〈，〉＝3，求直线AB的方程．
解：(Ⅰ)∵焦点F2(c,0)到渐近线bx±ay＝0的距离为，两条准线之间的距离为1，
∴⇒
∴双曲线的方程为x2－＝1.
(Ⅱ)由题意，知直线AB的斜率k必存在．
设直线AB的方程为y＝k(x＋2)，点A(x1，y1)、B(x2，y2)．
由⇒(3－k2)x2－4k2x－4k2－3＝0，
显然3－k2≠0.
∴
⇒3－k2>0⇒－<k<.
由双曲线和▱ABCD的对称性，可知A与C、B与D关于原点对称．
而||·||sin〈，〉＝S△AOD＝S△AOB＝|AB|×d.
∵|AB|＝×，
点O到直线y＝k(x＋2)的距离d＝，
∴||·||sin〈，〉＝3
⇔××
＝3
⇔k4＋8k2－9＝0⇔k＝±1.
∵k＝±1满足－<k<.
∴直线AB的方程为y＝x＋2或y＝－x－2.
22．(本小题满分12分)

设b>0，椭圆方程为＋＝1，抛物线方程为x2＝8(y－b)．如右图所示，过点F(0，b＋2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1.
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
(2)设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)．
分析：考查椭圆、抛物线、圆、直线、函数导数、直角三角形等知识和数学探究，考查数形结合、分类与整合、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算能力和创新意识．
解：(1)解法一：设椭圆的右焦点F1的坐标为(c,0)，
则c＝＝b.
由题设知点F的坐标为(0，b＋2)，
则点G的坐标为(4，b＋2)．于是抛物线x2＝8(y－b)在点G的切线l的斜率k＝x＝4＝1，
切线l的方程为y＝x＋b－2.
∵切线l经过椭圆的右焦点F1(b,0)，
∴由0＝b＋b－2解得b＝1.
故满足条件的椭圆方程为＋y2＝1，
抛物线方程为x2＝8(y－1)．

解法二：设椭圆的右焦点F1的坐标为(c,0)，
则c＝＝b.
由题设点F的坐标为(0，b＋2)，则点G的坐标为(4，b＋2)．
因为抛物线x2＝8(y－b)在点G的切线l的斜率
k＝x＝4＝1，
于是过点F1和点G的直线的斜率k＝＝1.所以b＝1.
故满足条件的椭圆方程为＋y2＝1，
抛物线方程为x2＝8(y－1)．
(2)抛物线上存在点P，使得△ABP为直角三角形，这样的点共有四个．
(ⅰ)分别过A、B作x轴的垂线，与抛物线分别交于两点P1(－，)和P2(，)，则△ABP1和△ABP2都是直角三角形．
(ⅱ)以原点为中心，|AB|＝为半径作圆周，由于圆周半径大于椭圆的半短轴长为1，且椭圆与抛物线仅交于一点，所以上述圆周必与抛物线相交于两点P3和P4.
则△ABP3和△ABP4都是直角三角形．
因为P1A与圆相切于点A，而P3在圆周上，所以P3与P1不重合，同理P4与P2不重合．
故P1、P2、P3和P4是两两互不相同的点．

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