2013届黑龙江省重点中学高三考试(数学文理合卷).doc

2013届黑龙江省重点中学高三考试
数 学 试 题

满分：150分 考试时间:120
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（理科答）由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为 （ ）
A． B ．
C． D． ）
（文科答）若0<x<y<1，则
A．log4x<log4y B．logx3<logy3
C．3y<3x D．x<y
2． 设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3，5}，则N∩（∁UM）=（ ）．
A． {3,5} B． {2,3,5}
C． {1,3,5} D． {1,4}
3． +++，…，+=
A． B．
C． D ．
4．已知a＝（－1，－2），b＝（2，－3），当ka＋b与a＋2b平行时，k的值为
A． B．－
C． － D．
5． 已知数列{an}的前n项和Sn=（n2+n） 2n,则数列{}的前n项和Tn=
A． （n-1）2n -2 B． （n+2）2n -1
C． （n+2）2n -2 D． （n+2）2n+1 -2
6． 已知A是△ABC的内角，则“sin A＝”是“tan A＝”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7 已知f（x）＝则不等式x＋（x＋2）f（x＋2）≤5的解集为
A ． B．
C． （-∞,2] D． [1,2]
8． ＋2的化简结果是
A． 2sin 1－2cos 1 B．2sin 1
C． 2cos 1 D．－2sin 1
9 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

他们研究过图①中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数,由三角形数构成数列{an}；类似地，称图②中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．由正方形数构成数列 {bn}． 1 225既是三角形数数列{an}中的第m项又是正方形数数列 {bn}中第k项,则m+k=（ ）
A．75 B．86
C．85 D．84
10．下列说法中，正确的是
①对于定义域为R的函数f（x），若函数f（x）满足f（x＋1）＝f（1－x），则函数f（x）的图象关于x＝1对称；
②当a＞1时，任取x∈R都有ax＞a－x；
③“a＝1”是“函数f（x）＝lg（ax＋1）在（0，＋∞）上单调递增”的充分必要条件
④设a∈，则使函数y＝xa的定义域为R且该函数为奇函数的所有a的值为1,3 ；
⑤已知a是函数f（x）＝2x－log0．5 x的零点，若0<x0<a，则f（x0）<0．
A．①④ B．①④⑤
C．②③④ D．①⑤
11 ．已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ），x∈R（其中A>0，ω>0,0<φ<）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M．当x∈时，则 f（x）的值域为（ ）．
A．[-2,2] B． [-2,1] C．[－1,2] D． [-1,1]
12． △ABC的外心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，则·等于
A． B． 3 C．2 D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．若（x－i）i＝y＋2i，x，y∈R，则复数z＝x＋yi 虚部为________
14 ．已知|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，使向量（2a＋λb）与（λa－3b）的夹角是锐角的λ的取值范围为______________．
15．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈．
则cos（α＋2β）的值为___________．
16．数列是等差数列, 其中 , 则通项公式为________
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17 （ 10分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asin A＝（2b＋c）sin B＋（2c＋b）sin C．若sin B＋sin C＝1，求△ABC的各角的大小．
18 （12分）已知数列{an}的首项a1， a3= ,an＋1＝（n＝1,2，…）．
（1） 求a1
（2） 证明：数列是等比数列；
（3） 求数列通项公式an
19 （12分） 已知函数f（x）＝ln x－ax （a∈R, a>0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[1,2]上的最小值

20 （12分）已知函数f（x）＝cos2，g（x）＝1＋sin 2x．
（1）设x＝x0是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；
（2）求函数h（x）＝f（x）＋g（x）的单调递增区间

21．（文科只答前两问12分；理科三问全答12分）已知正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；（文理共答）
（Ⅱ）若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；（文理共答）
（Ⅲ）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围．（只理科答）
22．设函数在上是增函数．
（1）求正实数的取值范围；
（2）设，求证：

参考答案

大庆铁人中学高三年级上学期第二次阶段考试
数学试题答案

1~6AABDCB 7~12 ABDBCD
13. 1 14. { λ |λ>2或λ<－3 } 15 . － 16 . 或
17 解 根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，故cos A＝－.又A∈(0，π)，故A＝. 5分
由sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.
又sin B＋sin C＝1 ，得sin B＝sin C＝.
B=C= 10分

18 (1)

a1＝
4分
(2)∵an＋1＝，∴＝＝＋，
∴－1＝，
又a1＝，∴－1＝≠0，∴－1≠0， 6分
∴＝，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列. 8分
(2)由(1)知－1＝·n－1＝n.
即＝＋1，∴ 12分
19 (12分)
解 (1) 函数f(x)的定义域 为(0，＋∞).
f′(x)＝ 2分
因为 a>0，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝；
当0<x<时，f′(x)＝>0；
当x>时，f′(x)＝<0，
故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. 4分
(2) ①当0<≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，∴f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a. 6分
②当≥2，即0<a≤时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，∴f(x)的最小值是f(1)＝－a. 8分
③当1<<2，即<a<1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln 2－a，
∴当<a<ln 2时，f(x)的最小值是f(1)＝－a；
当ln 2≤a<1时，f(x)的最小值为f(2)＝ln 2－2a. 10分
综上可知，当0<a<ln 2时，函数f(x)的最小值是f(x)min＝－a；
当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是f(x)min＝ln 2－2a. 12分
20 (12分)
解　(1)由题设知f(x)＝.
∵x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，
∴2x0＋＝kπ(k∈Z)，即2x0＝kπ－(k∈Z)．
∴g(x0)＝1＋sin 2x0＝1＋sin(k∈Z). 4分
当k为偶数时，g(x0)＝1＋sin＝1－＝； 5分
当k为奇数时，g(x0)＝1＋sin＝1＋＝. 6分
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)
＝＋1＋sin 2x
＝＋
＝＋
＝sin＋. 9分
当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，
函数h(x)＝sin＋是增函数， 11分
故函数h(x)的单调递增区间是(k∈Z). 12分
21．（12分）
解：（Ⅰ）将点代入中得

………………………（4分）
（Ⅱ）

……………………（8分）
（Ⅲ）由

………………………………（12分）
22.解：（1）对恒成立，
对恒成立
又 为所求.…………………………6分
（2）取，，
一方面，由（1）知在上是增函数，

即……………………………………9分
另一方面，设函数

∴在上是增函数且在处连续，又
∴当时，
∴ 即
综上所述，………………………………………………12分

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