第3讲函数的单调性(教案).doc

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函数的单调性
教学目标：掌握函数单调性（高考要求 B）
教学重难点：掌握函数单调性的定义及证明方法，并会用函数单调性解决有关综合性问题。
教学过程：
一、知识要点：
1、函数单调性定义：对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x,x∈D,
当x<x时，都有f(x) <f(x)，则称f(x)是区间D上的增函数，D叫f(x)单调递增区间.
当x<x时，都有f(x)> f(x)，则称f(x)是区间D上的减函数，D叫f(x)单调递减区间.
2、函数单调性的判断方法：
（1）定义法。步骤是：①任取x，x∈D，且x<x　
②作差f(x)－ f(x)或作商，并变形，
③判定f(x)－ f(x)的符号，或比较与1的大小，　
④根据定义作出结论。
（2）图象法；借助图象直观判断。
（3）复合函数单调性判断方法：设
若内外两函数的单调性相同，则在x的区间D内单调递增，
若内外两函数的单调性相反时，则在x的区间D内单调递减。
3、常见结论
增函数增函数是增函数 ； 减函数减函数是 减函数 ；
增函数减函数是增函数 ； 减函数增函数是减函数 。
若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ； 若f(x)>0且为增函数，则函数在其定义域内为减函数 ；二、基础练习：
1. 写出下列函数的单调区间
（1） （2）， （3）.
2．已知在R上是增函数,则k的取值范围. （-1，4）
3．函数在上是减函数,则求m的取值范围. m≤-7
4. 已知函数上是单调函数. 的取值范围是 a≤-5 或 a≥5
5.函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数,求f（a2－a＋1）与f（）的大小关系是 ≤
三、例题精讲：
题型1：单调性的判断：
例1．（1）求函数的单调区间。(图像法)
(-∞，-1],[0,1] 递增 ， [-1,0],[1, +∞)递减。
（2）判断函数f（x）＝的增减情况。（复合函数法）
（-∞，0），（0，2）递增 , （2，4）,(4,+ ∞) 递减.
题型2：单调性的证明：
例2.已知函数f(x)=ax+ (a＞1).证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.（定义法）
变式：.已知函数f（x）在定义域M内为减函数，且f（x）＞0，则g（x）＝1＋在M内为增函数。
题型3：单调性的应用：
例3.已知函数f（x）＝在区间（－2，+∞）上单调递增，求a的取值范围。a>1/2
变式：讨论函数的单调性；（定义法）
例4.（2008·青岛调研）已知f(x)=(x≠a).
（1）若a=-2,试证f(x)在（-∞,-2）内单调递增；
（2）若a＞0且f(x)在（1,+∞）内单调递减，求a的取值范围.
（1）证明 任设x1＜x2＜-2,则f(x1)-f(x2)=
∵(x1+2）(x2+2)＞0,x1-x2＜0,∴f(x1)＜f(x2),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.
（2）解 任设1＜x1＜x2,则f(x1)-f(x2)=
∵a＞0,x2-x1＞0,∴要使f(x1)-f(x2)＞0,只需(x1-a)(x2-a)＞0恒成立，∴a≤1.综上所述知0＜a≤1.
4：抽象函数的单调性：
例5.已知f(x)在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,试解不等式f(x)+f(x-8)≤2.
解 根据题意，由f(3)=1,得f(9)=f(3)+f(3)=2.又f(x)+f(x-8)=f［x(x-8)］,故f［x(x-8)］≤f(9).
∵f（x）在定义域（0,+∞）上为增函数，∴解得8＜x≤9.
变式：已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m的取值范围是 (-
例6.已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＞0时，f(x)＜0,f(1)=-.
(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；
（2）求f(x)在［-3，3］上的最值.
解 （1）f(x)在R上是单调递减函数证明如下：
令x=y=0,f(0)=0,令x=-y可得：f(-x)=-f(x),在R上任取x1＜x2,则x2-x1＞0,
∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).又∵x＞0时，f(x)＜0,
∴f(x2-x1)＜0,即f(x2)＜f(x1).由定义可知f(x)在R上为单调递减函数.
（2）∵f(x)在R上是减函数，∴f（x）在［-3，3］上也是减函数.
∴f（-3）最大，f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×（-=-2.
∴f(-3)=-f(3)=2.即f(x)在［-3，3］上最大值为2，最小值为-2.
例7.设f（x）定义在R+上，对于任意a、b∈R+，有f（ab）＝f（a）＋f（b）
求证：（1）f（1）＝0；（2）f（ ）＝－f（x）；
（3）若x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，则f（x）在（1，+∞）上是减函数.
证明：（1）令a＝b＝1，则： f（1）＝f（1）＋f（1） ∴ f（1）＝0
（2）令a＝x，b＝，则： f（1）＝f（x）＋ f（ ） ∴ f（ ）＝－f（x）
（3）令1＜x 1＜x 2，则： －f（x1）＋f（x2）＝f（x2）＋f（ ）＝f（ ）
∵1＜x 1＜x 2 ∴＞1 ∴f（ ）＜0 即f（x1）＞f（x2）
∴ f（x）在（1，+∞）上是减函数.
题型5：综合应用
例8.（09江苏卷20题） 设为实数，函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)求的最小值；
(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
解 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分
（1）若，则
（2）当时，
当时，
综上
（3）时，得，

当时，；
当时，△>0,得：
讨论得：当时，解集为;
当时，解集为;
当时，解集为.
三．自我检测
1.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数，则f(x)=0根的个数 0或1
2.已知f(x)是R上的增函数，若令F（x）=f（1-x）-f（1+x），则F（x）是R上的单调性是减函数
3.若函数f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在区间（-∞，1］上是减函数，则a的取值范围是 ［1，3］
4.函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a、b、c∈R，则a2-3b＜0时，f(x)是 增函数
5.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间［0,m］上最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为 ［1，2］
6．函数在[1,+∞递增,则a的取值范围是 a≤1/2 。
7.若函数y=x2-3x-4的定义域为［0，m］，值域为，则m的取值范围是 
8．函数在区定义域上是单调递减，且，则实数的取值范围.
(0,1)
9．求证：函数在区间上是单调减函数。
10.已知f(x)的定义域为（0，＋∞），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（2）＝1，试解不等式f（x）－f（x－2）＞3.
解：由f（2）＝1及f（xy）＝f（x）＋f（y）可得
3f（2）＝3＝f（2）＋f（2）＋f（2）＝f（4）＋f（2）＝f（8）
∴f（x）－f（x－2）＞3 ∴f（x）＞f（x－2）＋3＝f（x－2）＋f（8）＝f [8（x－2）]
又函数f（x）在定义域（0，＋∞）上是增函数
∴ 即2＜x＜
11．已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R，恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1，且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0。 (1)求证 f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证。
解析：（1）设且，则
，，=
=，由已知得
. 从而=
,从而可和得f(x)是单调递增函数;
(2)举例：就满足题设条件.
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