2014-2015年选修2-1-1课时提升作业(七)-1.4.1.doc

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课时提升作业(七)
全称量词　存在量词

(30分钟　50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2014·宁波高二检测)将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称命题是(　　)
A.存在a0,b0∈R,使++2a0b0=(a0+b0)2
B.存在a0<0,b0>0,使++2a0b0=(a0+b0)2
C.存在a0>0,b0>0,有++2a0b0=(a0+b0)2
D.对所有a,b∈R,有a2+b2+2ab=(a+b)2
【解析】选D.根据全称命题的一般形式为“所有x,有p(x)”.故全称命题是对所有a,b∈R,有a2+b2+2ab=(a+b)2.
2.下列语句是特称命题的是(　　)
A.整数n是2和7的倍数
B.存在整数n0,使n0能被11整除
C.x>7
D.∀x∈M,p(x)成立
【解析】选B.B选项中有存在量词“存在”,故B项是特称命题,A和C对应的语句不能判断真假,不是命题,D是全称命题.
3.(2012·福建高考)下列命题中,真命题是(　　)
A.∃x0∈R,≤0
B.∀x∈R,2x>x2
C.a+b=0的充要条件是=-1
D.a>1,b>1是ab>1的充分条件
【解题指南】要判断全称命题正确,要进行严谨的证明;而要判断其错误,只要举一反例即可;相应地,要证明特称命题正确,只要举一正例即可;而判断其错误,要证明所有对象都在所给属性的对立面;同时要注意充分条件和必要条件的意义与判断方法.
【解析】选D.由于∀x∈R,ex>0恒成立,
所以∃x0∈R,≤0不正确;
当x=2时,2x=x2,所以∀x∈R,2x>x2不正确;
a+b=0中b可取0,而=-1中b不能取0,因此,两者不等价;a>1,b>1⇒ab>1,反之不能成立,所以a>1,b>1是ab>1的充分条件.
4.(2014·成都高二检测)下列特称命题是假命题的是(　　)
A.存在x0∈Q,使2x0-=0
B.存在x0∈R,使+x0+1=0
C.有的素数是偶数
D.有的有理数没有倒数
【解析】选B.对于任意的x∈R,x2+x+1=+>0恒成立.
5.(2013·安阳高二检测)下列命题中是全称命题并且是真命题的是(　　)
A.每一个二次函数的图象都是开口向上
B.存在一条直线与两个相交平面都垂直
C.存在一个实数x0,使-3x0+6<0
D.对任意c≤0,若a≤b+c,则a≤b
【解析】选D.每一个二次函数的图象都是开口向上是假命题;存在一条直线与两个相交平面都垂直,是特称命题,且是假命题;存在一个实数x0,使-3x0+6<0是特称命题,且是假命题;对任意c≤0,若a≤b+c,则a-b≤c≤0,则a≤b,是全称命题,且是真命题.
6.(2014·大连高二检测)若存在x0∈R,使a+2x0+a<0,则实数a的取值范围是
(　　)
A.a<1　　　　　　　　　 B.a<-1
C.-1<a<1 D.-1<a≤1
【解析】选A.当a≤0时,显然存在x0∈R,
使a+2x0+a<0.
当a>0时,需满足Δ=4-4a2>0,
得-1<a<1,故0<a<1,
综上所述,实数a的取值范围是a<1.
【举一反三】本题中条件若换为“对于∀x∈R,都有ax2+2x+a<0,”其结论又如何呢?
【解析】选B.由题意得所以a<-1.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2014·广州高二检测)命题“对任意一个实数x,x2+2x+1都不小于零”用“∃”或“∀”符号表示为　___________.
【解析】将文字语言用符号语言可表示为∀x∈R,x2+2x+1≥0.
答案:∀x∈R,x2+2x+1≥0
8.下列命题,是全称命题的是　　　　;是特称命题的是　　　　.
①正方形的四条边相等;
②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形;
③正数的平方根不等于0;
④至少有一个正整数是偶数.
【解析】命题①②③中省略了全称量词“所有的”,故①②③是全称命题,命题④中含有存在量词“至少有一个”,故④是特称命题.
答案:①②③　④
9.(2014·宿州高二检测)若∀x∈R,f(x)=(a2-1)x是单调减函数,则a的取值范围是　　　　.
【解析】依题意有:0<a2-1<1⇔⇔⇔-<a<-1或1<a<.
答案:(-,-1)∪(1,)
【变式训练】若“∃x0∈R,=m”是真命题,则实数m的取值范围是　　　　.
【解析】由于“∃x0∈R,=m”是真命题,则实数m的取值集合就是指数函数f(x)=2x的值域,即(0,+∞).
答案:(0,+∞)
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2014·洛阳高二检测)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并用量词符号“∀”“∃”表示. 新|课 |标 |第 | 一| 网
(1)两个有理数之间,都有一个无理数.
(2)有一个凸n边形,外角和等于180°.
(3)存在一个三棱锥,使得它的每个侧面都是直角三角形.
【解析】(1)全称命题:∀两个有理数之间,都有一个无理数.
(2)特称命题:∃一个凸n边形,它的外角和等于180°.xkb1
(3)特称命题:∃一个三棱锥,它的每个侧面都是直角三角形.
11.已知命题p:“任意x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“存在x∈R,x2+2ax+2-a=0”,若命题p与q都是真命题,求实数a的取值范围.t
【解题指南】(1)命题p为真,因此不等式x2-a≥0在x∈[1,2]上恒成立,即a≤(x2)min在x∈[1,2]上恒成立.
(2)命题q为真,因此方程x2+2ax+2-a=0有解,
则Δ≥0.
【解析】由命题p为真,可得不等式x2-a≥0在x∈[1,2]上恒成立,
得a≤(x2)min,x∈[1,2],
所以a≤1,
若命题q为真,则方程x2+2ax+2-a=0有解,
所以判别式Δ=4a2-4(2-a)≥0,
所以a≥1或a≤-2,
又因为p,q都为真命题,
所以http://ww w.xkb1. com
所以a≤-2或a=1.
所以实数a的取值范围是{a|a≤-2或a=1}.

(30分钟　50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)
A.每一个锐角三角形的内角都是锐角w w w .x k b 1.c o m
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x0,使>2
【解析】选B.A是全称命题;B中当x=0时,x2=0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为+(-)=0,所以C是假命题;D中对于任一个负数x,都有<0,所以D是假命题.
2.(2014·长沙高二检测)下列四个命题中,真命题是(　　)
A.∀x∈R,x+≥2
B.∃x0∈R,x0+≥2
C.∃x0∈R,|x0+1|<0
D.∀x∈R,|x+1|>0
【解析】选B.当x=-1时,x+=-2,显然x+≥2不成立,故A错,
当x=2时,x+=2>2,故B正确,对∀x∈R,|x+1|≥0,故C错误,当x=-1时,|x+1|>0不成立,故D错.
【变式训练】下列四个命题中真命题为(　　)
A.任意x∈R,x2-1=0
B.存在x∈Z,3x-1=0
C.任意x∈R,x2+1>0
D.存在x∈Z,1<4x<3
【解析】选C.因为对任意实数x,总有x2≥0,
所以x2+1>0对所有实数都成立.
3.命题p:“∀x∈[1,2],2x2-x-m>0”,命题q:“∃x0∈[1,2],log2x0+m>0”,若“p∧q”为真命题,则实数m的取值范围是(　　)
A.m<1　　　　　　　　　　 B.m>-1
C.-1<m<1 D.-1≤m≤1
【解题指南】解答本题可先求出p与q分别为真命题时,m的取值范围,然后取其交集即可.
【解析】选C.由“p∧q”为真命题,得p,q都是真命题.
命题p:“∀x∈[1,2],2x2-x-m>0”为真命题,
即对于∀x∈[1,2],m<2x2-x恒成立,[来源:Z,xx,k.Com]
得m<(2x2-x)min=1;
命题q:“∃x0∈[1,2],log2x0+m>0”为真命题,
则∃x0∈[1,2],-m<log2x0,
只要-m<(log2x)max=1,得m>-1.
综上所述,-1<m<1.
4.(2014·银川高二检测)有四个关于三角函数的命题:
p1:∃x0∈R,sin2+cos2=;
p2:∃x0,y0∈R,sin(x0-y0)=sinx0-siny0;
p3:∀x∈[0,π],=sinx;
p4:sinx=cosy⇒x+y=.
其中假命题为(　　)
A.p1,p4　　 B.p2,p4　　 C.p1,p3　　 D.p3,p4
【解析】选A.p1是假命题,因为∀x∈R,sin2+cos2=1;p2是真命题,例如:当x0=y0=时,sin(x0-y0)=sinx0-siny0=0.
p3是真命题,因为∀x∈[0,π],sinx≥0,
所以=|sinx|=sinx.
p4是假命题,例如:sin=cosx+y=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2014·长春高二检测)若命题“∀x∈[-1,+∞),x2-2ax+2≥a”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　　　　.
【解析】因为x2-2ax+2≥a,
即x2-2ax+2-a≥0,
令f(x)=x2-2ax+2-a,[来源:学|科|网Z|X|X|K]
所以全称命题转化为∀x∈[-1,+∞),
f(x)≥0恒成立,
所以Δ≤0或
即-2≤a≤1或-3≤a<-2.
所以-3≤a≤1.
综上,所求实数a的取值范围是[-3,1].
答案:[-3,1]
【误区警示】解答本题易忽视Δ>0而导致错误.
6.(2012·北京高考)已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若同时满足条件: ①∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0;②∃x0∈(-∞,-4),f(x0)g(x0)<0,则m的取值范围是　　　　.
【解题指南】根据全称命题的真假以及函数、不等式的关系,结合条件对参数进行分类讨论,然后求交集即可.
【解析】由g(x)=2x-2<0,可得x<1,当x≥1时,g(x)<0不成立,满足条件①时,要使∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,必须使x≥1时,f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0恒成立,
当m=0时,f(x)=m(x-2m)(x+m+3)=0不满足条件,所以二次函数f(x)必须开口向下,也就是m<0,要满足条件,必须使方程f(x)=0的两根2m,-m-3都小于1,即解得m∈(-4,0).
满足条件②时,因为x∈(-∞,-4)时,g(x)<0,所以要使∃x0∈(-∞,-4)时,f(x0)g(x0)<0,只要∃x0∈(-∞,-4)时,使f(x0)>0即可,只要使-4比2m,-m-3中较小的一个大即可,当m∈(-1,0)时,2m>-m-3,只要-4>-m-3,解得m>1与m∈(-1,0)的交集为空集;当m=-1时,两根为-2,-2>-4,不符合;当m∈(-4,-1)时,2m<-m-3,所以只要-4>2m,所以m∈(-4,-2).
综上所述,m∈(-4,-2)为所求.
答案:(-4,-2)
三、解答题(每小题12分,共24分)x k b 1 . c o m
7.判断下列语句是全称命题,还是特称命题,并判断其真假.
(1)没有一个实数α,tanα无意义.
(2)存在一条直线其斜率不存在. 新 课 标 第 一 网
(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径吗?
(4)圆外切四边形,其对角互补.
(5)有的对数函数不是单调函数.
【解析】由于(1)的实质是“所有的实数α,tanα有意义”,含有全称量词,所以(1)为全称命题,是假命题.
(2)中含有存在量词,所以(2)是特称命题,是真命题.
(3)是疑问句,不是命题.
(4)“圆外切四边形,其对角互补”的实质是“所有圆的外切四边形,其对角都互补”,所以该命题是全称命题,是假命题.
(5)中含有存在量词,所以(5)是特称命题.因为y=logax(a>0且a≠1)中,当a>1时,对数函数单调递增,当0<a<1时,对数函数单调递减,不存在非单调的对数函数,所以此命题是假命题.
8.(2014·重庆高二检测)已知函数f(x)=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m0,使不等式m0+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由.
(2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)不等式m0+f(x)>0可化为m0>-f(x),
即m0>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m0>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m0>-4即可.
故存在实数m0使不等式m0+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时需m0>-4.
(2)不等式m-f(x0)>0可化为m>f(x0),
若存在一个实数x0使不等式m>f(x0)成立,
只需m>f(x0)min.
又f(x0)=(x0-1)2+4,所以f(x0)min=4,所以m>4.
所以所求实数m的取值范围是(4,+∞).
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