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有关曲线运动的几个小专题
（一）曲线运动中值得注意的几个问题
问题一：曲线运动的条件
物体做曲线运动的条件：物体所受的合力方向（加速度的方向）跟它的速度方向不在同一条直线上。
概括：
（1）物体必须有初速度；
（2）必须有合力；
（3）速度与合力的方向不在同一条直线上。
合外力对速度的影响：合外力不仅可以改变速度的大小，还可以改变速度的方向。
如图1-甲，与共线的分力改变速度的大小；与垂直的分力改变速度的方向。

图1-甲
如图1-乙、1-丙，将合力F沿着速度方向和垂直速度方向分解为和，沿着速度方向的分力产生加速度改变速度的大小，垂直速度方向的分力产生加速度改变速度的方向。

图1-乙 图1-丙
问题二：运动的合成和分解
1. 怎样确定合运动和分运动？
物体的实际运动——合运动。合运动是两个（或几个）分运动合成的结果。当把一个实际运动分解，在确定它的分运动时，两个分运动要有实际意义。
2. 运动合成的规律
（1）合运动与分运动具有等时性；
（2）分运动具有各自的独立性。
3. 如何将已知运动进行合成或分解
（1）在一条直线上的两个分运动的合成
例如：速度等于的匀速直线运动与在同一条直线上的初速度等于零的匀加速直线运动的合运动是初速度等于的匀变速直线运动。
（2）互成角度的两个直线运动的合运动
两个分运动都是匀速直线运动，其合运动也是匀速直线运动。
一个分运动是匀速直线运动，另一个分运动是匀变速直线运动，其合运动是一个匀变速曲线运动。反之，一个匀变速曲线运动也可分解为一个方向上的匀速直线运动和另一个方向上的匀变速直线运动——为研究复杂的曲线运动提供了一种方法。
初速度为零的两个匀变速直线运动的合运动是一个初速度为零的匀变速直线运动。
总结规律：对于以上这些特例，我们可以通过图示研究会更加简便。具体做法：先将速度进行合成，再合成加速度，通过观察合速度与合加速度的方向是否共线，进而判定是直线运动还是曲线运动。如图2所示。

图2
问题三：关于绳子末端速度的分解
解决此类问题的关键是抓住合运动和分运动的实质，准确地判断出分运动或合运动，而后再根据平行四边形定则进行正确的运动合成或分解。
例：如图3，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高。则：当滑轮右侧的绳与竖直方向成角，且重物下滑的速率为时，小车的速度为多少？

图3
思维点拨：解决此类问题的重要思想就是通过对物体的运动进行分解，找到两个物体速度之间的关系。就本题而言，重物M的速度是它的合速度，绳运动的速度既是小车的合速度又是重物的一个分速度，问题就是另一个分速度是什么。实质上重物在下滑的过程中，既有沿绳向下运动的趋势，同时又有绕滑轮转动的速度，绳的收缩效果与转动效果相互垂直，且为M的两个分运动。
解析：如图4，将重物的速度分解，由几何关系得出小车的速度

图4
问题四：（小船、汽艇等）渡河问题
有关小船渡河问题是运动的合成与分解一节中典型实例，难度较大。小船渡河问题往往设置两种情况：（1）渡河时间最短；（2）渡河位移最短。现将有关问题讨论如下，供大家参考。
处理此类问题的方法常常有两种：
（1）将船渡河问题看作水流的运动（水冲船的运动）和船的运动（即设水不流动时船的运动）的合运动。
（2）将船的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如图5，为水流速度，则为船实际上沿水流方向的运动速度，为船垂直于河岸方向的运动速度。

图5
问题1：渡河位移最短
河宽是所有渡河位移中最短的，但是否在任何情况下渡河位移最短的一定是河宽呢？下面就这个问题进行如下讨论：
（1）
要使渡河位移最小为河宽，只有使船垂直横渡，则应，即，因此只有，小船才能够垂直河岸渡河，此时渡河的最短位移为河宽。渡河时间。

（2）
由以上分析可知，此时小船不能垂直河岸渡河。
以水流速度的末端A为圆心，小船的开航速度大小为半径作圆，过O点作该圆的切线，交圆于B点，此时让船速与半径AB平行，如图7所示，从而小船实际运动的速度（合速度）与垂直河岸方向的夹角最小，小船渡河位移最小。
由相似三角形知识可得
解得
渡河时间仍可以采用上面的方法

图7
（3）
此时小船仍不能垂直河岸渡河。由图8不难看出，船速与水速间的夹角越大，两者的合速度越靠近垂直于河岸方向，即位移越小。但无法求解其最小值，只能定性地判断出，船速与水速间的夹角越大，其位移越小而已。

图8
问题2：渡河时间最短；
渡河时间的长短同船速与水速间的大小关系无关，它只取决于在垂直河岸方向上的速度。此方向上的速度越大，所用的时间就越短。因此，只有船的开航速度方向垂直河岸时，渡河时间最短，即。

（二）如何解决平抛运动中的常见问题
1. 理论基础
平抛运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，因此常用的公式有如下几点：（如图1）

图1
位移公式：
，

速度公式：
，，
两者关系：
，
（P点为OQ的中点）
2. 典型例题分析
（1）利用速度公式解题
如图2所示，球做平抛运动，在球落地前，其速度方向与竖直方向的夹角由变为，求此球做平抛运动的初速度。

图2
解：根据平抛运动速度公式有
①
②
联立①②解得
（2）利用位移公式解题
如图3所示，斜面高，倾角为，在斜面的顶点A以的速度水平抛出一小球，小球刚好落在B点，不计阻力，求抛出速度、小球在空中运动的时间？（）

图3
解：根据平抛运动的位移公式
①
②
③
联立①②③解得，
（3）利用两者的关系公式解题
离开地面高度为1500m处，一架飞机以的速度水平飞行。已知投下物体在离开飞机10s时降落伞张开，即做匀速运动，求物体落到地面时离出发点的水平距离。
解：如图4，飞机投下的物体刚开始做平抛运动，在前内水平位移AB=

竖直位移
被投物体在10s后做匀速直线运动，运动轨迹为图中的OC，根据平抛运动的位移与速度公式的夹角关系

因为
所以
所以

图4
（4）用平抛曲线求初速度的n种方法
在研究平抛物体运动的实验中，用实验描绘出的轨迹曲线求平抛物体的初速度，是本实验的主要目的之一。现简析几种求初速度的方法，供参考。
① 平抛规律法
根据平抛运动的规律，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动。若实验描绘出的轨迹曲线如图5所示，选抛出点为坐标原点O建立坐标系，则有
①
②
二式联立得 ③

图5
由轨迹曲线测出多个点ABCDE的坐标（，），分别代入③式求出多个值，最后求出它们的平均值即为所求初速度。
② 轨迹方程法
由法1中的①、②消去，可得平抛轨迹方程
结合图中轨迹曲线，若测出水平位移，竖直位移，
由轨迹曲线方程可导出，。
推证如下：
因为，，
所以
同理
又，
所以
故
显然，只要测出相等时间内的水平位移和对应的竖直位移的差值，即可求出初速度。
③ 纸带结论法
对于匀变速直线运动，相邻的相等时间T内的位移差都相等，且。这是处理纸带常用的一条重要结论。
对于法2的测量数据，有
④
⑤
联立④、⑤二式可得。
另外，此法还可以扩展，若轨迹曲线上依次还有点D、E等，且水平位移均为，竖直位移依次为、等，则有
⑥
⑦
⑧
……
由⑥与⑦或⑧联立可得
或
……
故（1、2、3、…，2、3、4、…，且）
以上的分析给我们以启示，在处理实验或解题时，不要墨守成规过分依赖课本，要善于开动脑筋思考创新，寻找更好的方法和措施。这样，既提高了解题能力和速度，也有利于培养创新意识和发散思维。
（5）平抛运动中n种常用的时间求解方法
平抛运动是高中物理运动学中一个基本模型，具有典型的物理规律。考查中常常涉及到“速度、位移、时间”等问题，下面针对平抛运动中的时间问题常用的几种方法进行归纳总结，供大家参考。
① 利用水平位移或竖直位移求解时间
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。由合运动和分运动的等时性，平抛运动的时间等于各分运动的时间。
水平方向：，可得
竖直方向：，解得。

图6
② 利用水平位移、竖直位移及倾角求解时间
例1：如图7，AB为斜面，倾角为，小球从A点以初速度水平抛出，恰好落到B点，求物体在空中飞行的时间。

图7
分析及解答：由本题所给的条件，显然直接利用水平位移或竖直位移无法解答，但两个位移可以通过斜面的倾角发生联系。
对于水平方向： ①
对于竖直方向： ②
又由 ③
由以上三式联立可得
③ 利用速度求解时间
由于竖直方向为自由落体运动，则有，可得。
例2：如图8，以的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间为（ ）
A. B. C. D.

图8
分析及解答：根据本题所给的信息，显然无法利用位移求解，但我们可以从速度入手，将物体撞击在斜面上的速度分解，如图9所示，由几何关系可得：

竖直方向做自由落体运动，由可得

图9
④ 利用匀变速直线运动的推论求解时间
例3：如图10，是某次实验记录的小球平抛运动轨迹中的三点，测得A、B间的水平距离和B、C间的水平距离都是，AB间的竖直距离是，BC间的竖直距离是25cm。若取，则小球平抛的初速度等于多少？

图10
分析与解答：在实验《研究匀变速直线运动》中，设初速度为，加速度为，在两个连续相等的时间间隔内的位移分别为和，可以推出。本题中，由于物体水平方向做匀速直线运动，而且AB、BC两段水平位移相等，由此可知，这两段距离所用的时间相等均为，根据上述结论可得：
在竖直方向上：，解得
由水平方向：，可得
⑤ 利用平抛运动的推论求解时间
推论：平抛运动中以抛出点为坐标原点的坐标系中任一点P（，）的速度的反向延长线交于轴的处。
例4：如图11，将一小球从坐标原点沿着水平轴以的速度抛出，经过一段时间到达P点，M为P点在轴上投影，做小球轨迹在P点的切线并反向延长，与轴相交于Q点，已知，则小球运动的时间为多少？

图11
分析与解答：由上面的结论可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P点的过程中，小球发生的水平位移
由于水平方向做匀速直线运动，则小球在这段过程中运动的时间为。
（6）平抛运动中偏转角的应用
在平抛运动中涉及角度问题常有两类：位移偏转角和速度偏转角。
例如：如图12是初速度为的物体做平抛运动的轨迹图，OA是物体运动到A点时的位移，是物体在A点时的速度，其中为位移偏转角，为速度偏转角，则有
，。

图12
如能恰当的应用这一规律，解题就可事半功倍，应用如下：
例：如图13，小球在斜面上A点以速度水平抛出，落在斜面上的C点，已知斜面倾角为，求：
（1）小球何时离斜面最远；
（2）小球何时落在斜面上的C点？
（3）小球刚要落到斜面上时，速度方向与斜面间的夹角？

图13
分析：
（1）当小球的运动方向与斜面平行时，小球与斜面相距最远，此时，小球的运动方向与水平方向间的夹角为，如图14由上面结论可得

所以

图14
（2）当小球落在斜面上时，小球的位移方向与水平方向间的夹角为，故可得

所以
（3）设小球的速度方向与斜面间的夹角为，小球的速度方向与水平面的夹角为，如图15，则可得，且为小球落到斜面上的时间，，又，所以可得。

【模拟试题】
一. 选择题（在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确）
1. 关于物体的运动下列说法正确的是（ ）
A. 物体做曲线运动时，它所受的合力一定不为零
B. 做曲线运动的物体，有可能处于平衡状态
C. 做曲线运动的物体，速度方向一定时刻改变
D. 做曲线运动的物体，所受的合外力的方向有可能与速度方向在一条直线上
2. 做曲线运动的物体，在运动过程中一定变化的物理量是（ ）
A. 速率 B. 速度 C. 加速度 D. 合外力
3. 关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ）
A. 合运动的速度一定比每一个分运动的速度大
B. 两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动（速度大小相等，方向相反除外）
C. 只要两个分运动是直线运动，那么它们的合运动也一定是直线运动
D. 两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等
4. 将一小球从距地面高处，以初速度水平抛出，小球落地时速度为，它的竖直分量为，则下列各式中计算小球在空中飞行时间正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 在高度为的同一位置向水平方向同时抛出两个小球A和B，若A球的初速度大于B球的初速度，则下列说法中正确的是（ ）
A. A球比B球先落地
B. 在飞行过程中的任一段时间内，A球的水平位移总是大于B球的水平位移
C. 若两球在飞行中遇到一堵墙，A球击中墙的高度大于B球击中墙的高度
D. 在空中飞行的任意时刻，A球总在B球的水平正前方，且A球的速率总是大于B球的速率
6. 如图1所示，人在河岸上用轻绳拉船，若人匀速行进，则船将做（ ）
A. 匀速运动
B. 匀加速运动
C. 变加速运动
D. 减速运动

图1
7. 如图2所示，在研究平抛运动时，小球A沿轨道滑下，离开轨道末端（末端水平）时撞开轻质接触式开关S，被电磁铁吸住的小球B同时自由下落，改变整个装置的高度H做同样的实验，发现位于同一高度的A、B两球总是同时落地，该实验现象说明了A球在离开轨道后（ ）
A. 水平方向的分运动是匀速直线运动
B. 水平方向的分运动是匀加速直线运动
C. 竖直方向的分运动是自由落体运动
D. 竖直方向的分运动是匀速直线运动

图2

二. 填空题（把答案填在题中的横线上）
8. 已知船在静水中行驶速度为，河水的速度为（），要求船在河水中行驶的速度为，则可利用 法则求得。如果和垂直，则等于 。如果使船到达正对岸，的方向应偏向河水的 游。要使船到达对岸时间最短，则的方向应 。
9. 以16m/s的速度水平抛出一石子，石子落地的速度方向与抛出时速度方向成角。不计空气阻力，那么石子抛出点与落地点的高度差为 m，石子落地时速率为
m/s。（，，）
10. 如图3所示，在倾角为的斜面上A点，以初速度水平抛出一小球，小球落在斜面上的B点，不计空气阻力，求小球落到B点的速度大小为 。

图3

三. 解答题（解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，答案中必须明确写出数值和单位。）
11. 一物体做平抛运动，在落地前内，它的速度与水平方向的夹角由变为，求物体抛出时的初速度和下落的高度。（）
12. 有A、B两小球，用长为L=4m的细绳连接，现将A、B两球从同一点以相同的水平速度先后抛出，A球先抛，相隔的时间为，取。求A球抛出后，经过多少时间，两球间的细绳恰可拉直？

【试题答案】
1. AC 2. B 3. BD 4. ACD 5. BCD 6. C 7. C
8. 平行四边形，，上；与河岸垂直 9. 7.2；20
10.
11. ； 12. 1.0秒