第1篇8-3.doc

第一篇 第8章 第三讲

一、选择题
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f(x) (　　)

A．无极大值点、有四个极小值点
B．有三个极大值点、两个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
[答案]　C
[解析]　设f ′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，
当x<x1时，f ′(x)>0，f(x)为增函数，
当x1<x<x2时，f ′(x)<0，f(x)为减函数，
则x＝x1为极大值点，
同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点．
2．圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的高为 (　　)
A.　　　　　 　B.
C. D．3π·
[答案]　C
[解析]　设圆柱底面半径为r，高为h，
∴S＝2πr2＋2πrh∴h＝
又V＝πr2h＝，则V′＝，令V′＝0
得S＝6πr2，∴h＝2r，r＝，∴h＝2＝.
3．函数y＝x＋2cosx在上取得最大值时，x的值为 (　　)
A．0　　　B.　　　C.　　　D．π
[答案]　B
[解析]　y′＝1－2sinx，
令1－2sinx＝0，∵x∈，∴x＝或，
当x∈时，f ′(x)≥0，f(x)单调递增，
当x∈时f ′(x)≤0，f(x)单调递减，
当x∈时，f ′(x)≥0，f(x)单调递增．
∵f＝＋2cos＝＋，
f(π)＝π＋2cosπ＝π－2，且π－2<＋，
∴f(x)max＝f.
4．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为 (　　)
A.cm B.cm
C.cm D.cm
[答案]　D
[解析]　设圆锥的高为x，则底面半径为，
其体积为V＝πx(400－x2)　(0＜x＜20)，
V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝.
当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0
所以当x＝时，V取最大值．
5．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是R＝则总利润最大时，每年生产的产品是 (　　)
A．100 B．150 C．200 D．300
[答案]　D
[解析]　由题意，总成本为C＝20000＋100x.所以总利润为P＝R－C＝
P′＝
令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大．
6．如图，过函数y＝xsinx＋cosx图象上点(x，y)的切线的斜率为k，若k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图象大致为 (　　)

[答案]　A
[解析]　∵y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，
∴k＝g(x)＝xcosx，易知其图象为A.
7．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a(a为常数)，在区间[－2,2]上有最大值20，那么此函数在区间[－2,2]上的最小值为 (　　)
A．－37 B．－7 C．－5 D．－11
[答案]　B
[解析]　f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝0得x＝－1或x＝3(舍去)，∵f(－2)＝2＋a，f(－1)＝－5＋a，f(2)＝a＋22，∴a＋22＝20，a＝－2.故最小值为f(－1)＝－7.
故选B.
8．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f ′(x)、g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时，有 (　　)
A．f(x)g(b)>f(b)g(x)
B．f(x)g(x)>f(b)g(b)
C．f(x)g(a)>f(a)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
[答案]　B
[解析]　令y＝f(x)g(x)，则y′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，所以y在R上单调递减，又x<b，故f(x)g(x)>f(b)g(b)．
9．将函数y＝f′(x)sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)是 (　　)
A．2sinx B．cosx C．sinx D．2cosx
[答案]　A
[解析]　y＝1－2sin2x＝cos2x，向右平移个单位得cos2＝cos＝sin2x＝2cosx·sinx，故f′(x)＝2cosx，∴f(x)＝2sinx，故选A.
10．若a>2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有 (　　)
A．0个根 B．1个根
C．2个根 D．3个根
[答案]　B
[解析]　设f(x)＝x3－ax2＋1，则f′(x)＝x2－2ax，
∵a>2，∴f′(x)≤0⇔0≤x≤2a.
又(0,2)(0,2a)，故f(x)在区间(0,2)上递减，
f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(2)＝－4a<0.
故f(x)的图象在(0,2)上与x轴有一个交点．
二、填空题
11．曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是________．

[答案]　
[解析]　y＝与y＝x2的交点P(1,1)，
如右图易求得KAP＝2，KBP＝－1，
因此可求点A，B(2,0)，故S△ABP＝.
12．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为________．
[答案]　
[解析]　由得x>1，由得，0<x<1.∴f(x)在x＝1时取最小值f(1)＝－ln1＝.
13．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝________.
[答案]　18
[解析]　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意，即，∴或.
但当a＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，故不存在极值，∴a＝4，b＝－11，f(2)＝18.
14．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为________．
[答案]　
[解析]　f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx，
0≤x≤时，f′(x)≥0，
∴f(x)是上的增函数．
∴f(x)的最大值为f＝e，
f(x)的最小值为f(0)＝.
∴f(x)在上的值域为.
三、解答题
15．某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其它三边要砌新的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？
[解析]　解：设场地宽为xm，则长为m，
因此新墙总长度为y＝2x＋(x＞0)，
y′＝2－，令y′＝0，∵x>0，∴x＝8.
因为当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0，
所以当x＝8时，y取最小值，此时宽为8m，长为16m.
即当堆料场的长为16m，宽为8m时，可使砌墙所用材料最省．
16．已知函数f(x)＝x3＋3bx2＋cx＋d在(－∞，0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，且f(x)＝0的一个根为－b.
(1)求c的值；
(2)求证：f(x)＝0还有不同于－b的实根x1、x2，且x1、－b、x2成等差数列；
(3)若函数f(x)的极大值小于16，求f(1)的取值范围．
[解析]　(1)f ′(x)＝3x2＋6bx＋c，
x＝0是极大值点，f ′(0)＝0，∴c＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝x3＋2bx2＋d，
令f ′(x)＝0得，x＝0或－2b，
由f(x)的单调性知，－2b≥2，∴b≤－1，
∵－b是方程f(x)＝0的一个根，则
(－b)3＋3b(－b)2＋d＝0，d＝－2b3，
∴f(x)＝x3＋3bx2－2b3＝(x＋b)(x2＋2bx－2b2)．
方程x2＋2bx－2b2＝0的根的判别式，
Δ＝4b2－4(－2b2)＝12b2>0.
又(－b)2＋2b(－b)－2b2＝－3b2≠0，
即－b不是方程x2＋2bx－2b2＝0的根．
∴f(x)＝0有不同于－b的根x1、x2.
∵x1＋x2＝－2b，∴x1，－b，x2成等差数列．
(3)∵x→＋∞，f(x)→＋∞，且x＝0是极大值点，
∴f(0)<16，即－2b3<16，
∴b>－2，于是－2<b≤－1，
令g(b)＝f(1)＝－2b3＋3b＋1，∴g′(b)＝－6b2＋3，
∵－2<b≤－1时，g′(b)<0，
∴g(b)在(－2，－1]上单调递减，
∴g(－1)≤g(b)<g(－2)，即0≤g(b)<11.
即0≤f(1)<11.
17．已知某厂生产x件产品的成本为c＝25000＋200x＋x2(元)．
(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？
(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
[解析]　(1)设平均成本为y元，则
y＝＝＋200＋(x>0)，
y′＝′＝－＋.
令y′＝0，得x1＝1000，x2＝－1000(舍去)．
当在x＝1000附近左侧时，y′<0；
在x＝1000附近右侧时，y′>0；
故当x＝1000时，y取得极小值．
由于函数只有一个极小值点，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1000件产品．
(2)利润函数为L＝500x－(25000＋200x＋)
＝300x－25000－.
∴L′＝300－.
令L′＝0，得x＝6000，当x在6000附近左侧时，L′>0；当x在6000附近右侧时，L′<0，故当x＝6000时，L取得极大值．
由于函数只有一个使L′＝0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6000件产品．
(本课后强化作业供文科用)