一道中考题的几种解法.doc

一道中考题的几种解法
湖北省襄阳襄州区黄集镇初级中学 赵国瑞 441123
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题目 已知实数a，b分别满足a2-6a+4=0①，b2-6b+4=0②，且a≠b，则的值是( )
A．7 B．-7 C．11 D．-11
这是2013年山东烟台的一道中考题，我们可以用八年级、九年级的知识把已知条件变形，这样可以得到多种解法．
先将两个已知等式写成方程组的形式．
解法1：①-②，得a2-b2=6(a-b)，即(a+b)(a-b)=6(a-b)．
∵a≠b，∴a-b≠0，∴a+b=6．
①+②，得a2+b2=6(a+b)-4，即(a+b)2-2ab=6(a+b)-4，62-2ab=6×4-4，∴ab=8．
∴====7，答案选A．
解法2：①×b，得a2b=6ab-4b．③
②×a，得ab2=6ab-4a．④
③-④，得a2b-ab2=4a-4b，即ab(a-b)=4(a-b)．
∵a≠b，∴a-b≠0，∴ab=4．
③+④，得a2b+ab2=12ab-4b-4a，即ab(a+b)=12ab-4(a+b)，4(a+b)=12×4-4(a+b)．
∴a+b=6．
∴====7，答案选A．
解法3：①-②，得a2-b2=6(a-b)，即(a+b)(a-b)=6(a-b)．
∵a≠b，∴a-b≠0，∴a+b=6．
①×②，得a2b2=36ab-24(a+b)+16，即a2b2=36ab-24×6+16．
即a2b2-36ab+112=0，(ab-4)(ab-32)=0．∴ab=4或ab=32．
当ab=32时，a2+b2=(a+b)2-2ab=62-2×32=-28＜0，舍去．
∴ab=4．
∴====7，答案选A．
解法4：①-②，得a2-b2=6(a-b)，即(a+b)(a-b)=6(a-b)．
∵a≠b，∴a-b≠0，∴a+b=6．
∵ab≠0，①÷②，得，即6ab2-4b2=6a2b-4a2，6ab(a-b)=4(a+b)(a-b)．
∵a≠b，∴a-b≠0，∴6ab=4(a+b)．∴6ab=4×6，从而ab=4．
∴====7，答案选A．
解法5：由已知，知a，b是一元二次方程x2-6x+4=0的两个实根，∴a+b=6，ab=4．
∴====7，答案选A．
综上，如果把已知条件进行适当变形，就会得到一些新颖、独特的解法．其中解法1至解法4是常规解方程组的方法，解法5则是直接应用一元二次方程根与系数的关系，十分简捷．希望同学们在今后的学习中要勤于思考，善于总结，通过一题多解，探索出一些巧妙的解法，从而提高自己的解题能力．
针对练习：设x1、x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根，则的值为( )
A．5 B．-5 C．1 D．-1