无愧为思维的“体操”彰显新的课程理念——记一道中考题的多种解法.doc

无愧为思维的“体操”，彰显新的课程理念
——记一道中考题的多种解法
安徽省安庆市宜秀区五横初中 戴向阳
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【题目】
（兰州中考） 已知边长为4的正方形 E A F
截去一个角后成为五边形ABCDE M P
（如图1所示），其中AF=2，BF=1。 B
试在AB上求一点P，使矩形PNDM
有最大面积。 D N C
笔者从不同角度对该题作了有效探索，总结出如下五种解法，以飨读者并与读者共勉之。
从相似角度寻找DN、PN间关系 图1
欲求矩形PNDM的面积，须找到PN与DN间的关系式，而图形中隐藏着大量的三角形相似，所以可尝试通过三角形相似，建立DN与PN间等量关系。
解法1：如图1所示，令DN=x，PN=y，矩形PNDM面积为S， E A F
并延长MP交BF于G点。则有△PBG∽△ABF，PG=4-x ， M P G
BG=y-3 。 ∴ BG∶PG=BF∶AF，即（y-3）∶（4-x）=1∶2 ， B
∴ y=-0.5x+5 ，∴S=xy=-0.5x2+5x（2≤x≤4），
此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5 。∴当x≤5时，
函数的值是随x的增大而增大，对2≤x≤4来说，当x=4时 D N C
，S有最大值，S最大=-0.5×42+5×4=12 。 图1
从函数概念角度思考 。 A
若令DN=x，NP=y，矩形PNDM面积为S。很明显 M P
当x变化时，y也随着变化。所以y是x的函数。 B
那么y是x的什么函数呢？由于P点在直线AB上，
因此y是x的一次函数。于是S=xy必是x的二
次函数。再利用P点的三个特位置，问题便顺利解决。 D N
解法2：如图2所示建立直角坐标系，设矩形PNDM面积 图2
为S。因P点在线段AB上运动，令P（x，y），则y是x
的一次函数。于是S=xy，显然S是x的二次函数，不妨设S= ax2+bx+ c 。当P点在A点（即x=2）时，S=2×4=8；当P点在B点（即x=4）时，S=4×3=12；当P点在AB的中点（即x=3）时，S=3×3.5=10.5 。从而有：
4a+2b+c=8 a= -0.5
16a+4b+c=12 解得 b=5 所以S=-0.5x2+5x（2≤x≤4），
9a+3b+c=10.5 c=0
此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5 。∴当x≤5时，函数的值是随x的增大而增大，对2≤x≤4来说，当x=4时，S有最大值，S最大=-0.5×42+5×4=12 。
从选择合理坐标系建立函数模型来思考
因矩形PNDM的面积与DN、PN有关，即与直线AB上P点有关，而直线AB对应于一次函数，所以只要建立适当坐标系，矩形的长与宽间的一次函数关系便明确了。从而有了如下解法：
解法3，如图2所示建立直角坐标系，则有A（2，4）、B（4，3），
于是AB的解析式为y=-0.5x+5 ,故令DN=x时，DM=-0.5x+5 。
若设矩形PNDM面积为S，于是S=x（-0.5x+5）=-0.5x2+5x（2≤x≤4），此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5 。∴当x≤5时，函数的值是随x的增大而增大，对2≤x≤4来说，当x=4时，S有最大值，S最大=-0.5×42+5×4=12 。
从面积关系审视
因本题与面积相关，而图形中存在大量的面积，所以不妨从图形间面积关系，来寻找
矩形PNDM的长与宽之间联系，打开问题思路。
解法4：如图3所示，设DN=x，PN=y，矩形PNDM面积为S，根据：
矩形PNDM面积=矩形FCDE面积-梯形EAPM-梯形BCNP-△AFB面积 E A F
有：xy=16-0.5（x+2）（4-y）-0.5（y+3）（4-x）-1 M P
经整得y=-0.5x+5 。从而S=xy=-0.5x2+5x（2≤x≤4）， B
此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5 。∴当x≤5时，
函数的值是随x的增大而增大，对2≤x≤4来说，当x=4时，
S有最大值，S最大=-0.5×42+5×4=12 。 D N C
从整体上考虑 图3
上述4种解法都是通过两大步完成的，先确定y与x关系式（或函数关系），再探索S与x之间函数关系，从而解决问题。那么，是否有一种直接确定S与x之间函数关系的方法呢？回答是肯定的：
解法5，如图4所示，延长BA交DE延长线于H点， H
令DN=x，PN=y，矩形PNDM面积为S，易得EH=BF=1，EA=2， E A F
△HEA面积=0.5×2×1=1，△HMP面积=0.5×HM×PM= M P
0.5（1+4-y）x=0.5（5-y）x 。根据面积比等于 B
相似比有： EA2∶MP2=1∶0.5（5-y）x ，
即4∶x2=1∶0.5（5-y）x ∴ 10x-2xy=x2
∴ xy=-0.5x2+5x ，故有： D N C
S=xy=-0.5x2+5x（2≤x≤4） 图4
此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5 。∴当x≤5时，函数的值是随x的增大而增大，对2≤x≤4来说，当x=4时， S有最大值， S最大=-0.5×42+5×4=12 。
不难明白，这是一道训练思维、考察思维能力的好题。既有常规解法1，又有独特的奇思妙想2へ5。每一解法的思维方法都别出心裁，且超越了解法1。解法2体现了学生对函数概念深刻理解，解法3体现学生对直角坐标系工具作用的深切体会与灵活驾驭的技巧，解法4表现了学生在看似无关的事物中把握内在联系的能力，解法5反映出学生对问题整体构思，运用整体思想观念考虑、处理问题的能力。喻其为“思维的体操”，当之无愧！
解法1是中考试卷提供的参考答案，一方面它既考查了相似三角形、二次函数等有关基础知识、基本技能，考查了学生综合运用的能力；另一方面它又考查了数形结合的数学思想，检测了学生抽象思维和形象思维品质。然而这道题目的亮点，又远远超出了命题专家的初衷。可贵之处在于：它的解法是开放的，思维的视角是多样的，数学思想方法是富饶的。该题有利于考查学生的创新意识和创造性思维能力。
本题体现了“不同人学不同数学，不同人在数学上得到不同发展”的新理念，强调了新课程注重“数学思考”这一教学目标。这不愧是中考中，对上述新理念进行设计、考核、评价的典型题、范例。然而遗憾的是，中考试卷中并没出现2へ5诸种解法。作为教师的我们，是不是该有所反省呢？